2023-2024学年人教A版必修第一册 两角和与差的余弦 学案

两角和与差的余弦

学习目标抬头望青山

1.能利用单位圆与向量的数量积推导证明两角差的余弦公式.（逻辑推理）

2.能利用两角差的余弦公式与诱导公式推导证明两角和的余弦公式.（逻辑推理）

3.理解两角和与差的余弦公式，并能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化

简和证明问题.（数学运算）

教材认知•内化必备知识/

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点

A,测得A,C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角（NCA。）约为

45。,NCA5=15。,你能否求出这座电视发射塔的高度?如何用两角的正弦、余弦值

来表示两角和与差的余弦值？

D

/

//!

/X

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zdo60C

缎二二

4'15。B

两角和与差的余弦公式

简记符号公式使用条件

cos（a-夕）=cosacos£+

CQ/

sinasinB

cos（a+夕）=cosacos£-

Ca+B

sinasinB

国思考

（1）两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？

提示:在两角差的余弦公式cos（a/）=cosacos夕+sinasin夕中，只要用/替换便可

以得到两角和的余弦公式.

（2）两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆？

提示:可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余

弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.

教师专用@【教材深化】

1.对公式Ca/和Ca+夕的三点说明

⑴公式的结构特点:公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之

积的和(差)式，可用两角和与差的余弦公式口诀，结构是“余余正正,加减相反”.

⑵公式的适用条件:公式中的a/不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,

如中的“呼”相当于公式中的a,“竽相当于公式中的小

⑶公式的“活”用:公式的运算要“活”，体现在正用、逆用、变用.而变用又涉及两个

方面：

①公式本身的变用，如cos(a/)-cosacosQ=sinasin..

②角的变用，也称为角的变换，如cosa=cos[(a+夕)£等.

2.辨明一个易错点

利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时,易忽视角的范围而导致解题错误.

【自我小测】

1.辨析(正确的打y”,错误的打口”)

(l)cos(70°+40°)=cos700-cos40°.(x)

提示:cos(70°+40°)=cos110°#cos700-cos40°.

(2)对于任意实数a/,cos(a/)=cosa-cos夕都不成立.(x)

提示:当打=-45。/=45。时,cos(a/)=cos(-45O-45o)=cos(-9()o)=0,cosa-cos£=

cos(-45°)-cos45。=0,止匕时cos(a/)=cosa-cos£.再如打=0。/=60。时也成立.

(3)对任意a/WR,cos(a+份=cosacos夕-sinasin4都成立.(d)

提示:结论为两角和的余弦公式.

(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=l.(x)

提示:cos30°cos600+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=?.

2.(教材改编例4)5由70飞布40。与1150。(：0$110。=()

A-1B-|CTD-f

【解析】选C.sin50°=sin(90°-40°)=cos40°;

cos110°=cos(1800-70°>-cos70°;

所以原式=$11170°sin40°+cos40°cos70°=cos(700-40°)=cos30°=当

3.(教材改编,例3)已知a£(0,7i),tana=-2，则cos(a-；)=.

[

【解析】由tana=-2得sinot=-2cos。，又sin2a+cos2ot=1cos2ot=-,

因为a(0,7i),tana=-2,所以a£(辛冗),所以cosa=--y,sin

因为cos(a-：)=cosacos：+sinasin-,

匚匚I”/K\VsV22V5V2VTo

所以cos(a--)=-yxT+—xT=—.

软安.yiu

口木•10

合作探究•形成关键能力怀山之水，必4其源

类型一给角求值问题(数学运算)

[例1](1)(2023济南高一检测)cos导()

V6+V2「V6-V2

xTL.D.-----------

4_4

V6+V2nV6-V2

L).-

44_

【解析】选A.cos导cos联)=|x曰+争经等.

(2)化简下列各式：

①cos(6»+21°)cos(824°)+sin((9+21°)sin(19-24°);

②-sin1670-sin223°+sin2570-sin313°.

[解析】①原式=cos[(e+21°)-(0-24°)]=cos45°=y.

②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin13°sin43°

+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=苧.

【总结升华】

两角和与差的余弦的一般思路及注意点

(1)一般思路：

①把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.

②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然

后逆用公式求值.

⑵注意点:在两角和与差的余弦公式中,a/可以是单个角，也可以是两个角的和或

差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.

【即学即练】

1.(2023•本溪高一检测)cos525。=()

AV6+V2DV6+V^

A.---------B・--------

44

C逐一-D显-显

44

【解析】选A.利用诱导公式得cos525°-cos(360°+165°)=cos165°-cos(180°-15°)

=-cos15°—cos(45°-30°)—(cos45°cos30°+sin45°sin30O)=-(YX~~+~X|)--^^^

2.sin40°sin500-cos40°cos50°等于()

A.-lB.l

C.OD.-cos10°

【解析】选C.由两角和的余弦公式得:sin40°sin50°-cos40°cos50。=

-(cos40°cos500-sin40°sin50°)=-cos(40°+50°)=-cos9Q0-0.

类型二给值求值问题(数学运算)

[例2](教材提升.例3)(1)(2023•沈阳高一检测)若cos(a+份=|屈此-6=2,。/£(。三),

则cos(a+：)=()

.33-33

A.—B—

6565

C.-D.--

6565

【解析】选C.因为(a+£)-(/?T)=a+T，

所以cos(a+^)=cos[(a+^)-(^-^)]=cos(a+^)-cos(^-^)+sin(a+^)-sin(^-^),

因为a/£(0,9,所以0<a+£<7T,有所以sin(«+^)=|,cos(/?-^)=if,

L44454±D

匚匚[\]/TC、3124556

所以cos(a+-)=-x—+-x—.

451351365

⑵已知cos"],。£(|TI,27I)则cos(a?)=.

【解析】因为cosa=|,a£(|TI,27I),

所以sina=-*

r-r*I\I/TUTC..TU31/4、y/33-4V^

所以cos(a--)X=cosacos-+sinasin-=-x-+(--)x—=.

父安.3-48

u木.10

【总结升华】

1.解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示

⑴当'已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个'已知角”的和或差的形式;

(2)当，已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后

应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

2.常见的配角技巧

2a=(a+份+(af),a=(a+阶四衅手-号。彗+号号=(a++0)等.

【即学即练】

1.(2023•济宁高检测)已知cos(a+9=|,a£(0,1则cos(a+])=

3-4V34

JLV.(B.-

105

c•噂D*

【解析】选c.因为a£(0,5所以a+医G*与，又cos(a+J=|,

所以sin(a+^|)=Jl-cos2(a+

所以cos(a+^)=cos[(a+守+斗

/11、71•/11.113V24-\/2V2

=cos(a+—)cos-sin(ot+—x)sin-=-x——x—=—-.

'12，4x1274525210

2.设a,13都是锐角，且cosa=,,sin（a+夕）=|,求cos£的值.

【解析】依题意得sina=Vl-cos2a=等,

cos（a+夕）=±Jl-sin2（a+6）=±±

又a/均为锐角，

所以0<a<a+4<7i,cosa>cos(a+,).

因为4所以cos(a+£).

所以cosQ=cos[(a+夕)-a]=cos(a+夕)cosa+sin(a+份sina=--x—

555525

类型三给值求角问题(逻辑推理)

[例3]⑴(2023•沈阳高一检测)若sin2a=^sin0-a)=*，且ET4卜，胃则

a+/3的值是()

A.—B,—

44

C号或rD.斗或广

4444_

【解析】选B.因为不引：,口|,所以2a目22。,又因为sin2听唱所以2a£

.4LNJ5Lz

£(,外，所以cos2a=-7l-sin?2a=-等.

又赢何咤]，所以B-a:

所以cos3-a)=-Jl-sin2(/?-a)=-^|^

于是cos(a+夕)=cos[2a+(/?-«)]=cos2acos(^-a)-sin2asin(^-a)

二咨(-鬻)-3票当易得"蚱仔词，则a+B(.

⑵已知cosa=g,sin0-a)=-呼,a/均为锐角,求少.

【解析】因为a/均为锐角，即a/G(04)，

所以6a

所以cos(j3-a)-y/l-sin2(/?-a)=^|^,JZ.sina=Vl-cos2a=^^,

所以cos^=cos[(^-a)+a]=cos(^-a)cosa-sin(^-a)sina=^^x立-(-^^)义^^=立，又眸

1051052

(0,2所以外也

Z41

【总结升华】

解决给值求角问题的步骤

⑴求角的某一个三角函数值；

(2)确定角的范围；

⑶根据角的范围写出要求的角.

提醒:在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误的答案.

【即学即练】

1.