2024年上海市浦东新区高三年级上册期末高考与等级考一模数学试卷含详解

浦东新区2023学年度第一学期期末教学质量检测

高三数学试卷

考生注意：1、本试卷共21道试卷，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1设全集U={123,4},A={1,3},则J=

5

2.若复数l+2i（其中i表示虚数单位），则Imz=.

3,已知事件A与事件B互斥,且尸（A）=S3,P（6）=0.4,则P（4_3）=.

兀

4.已知直线/的倾斜角为请写出直线/的一个法向量____.

5.已知S”是等差数列{%}的前〃项和，若4=2"-3,贝嗨足Sm=24的正整数m的值为.

6.已知向量"=（3,4）,向量匕=（1，°）,则向量1在向量6上投影向量为.

兀

7.已知圆锥的母线与底面所成的角为孑，体积为3兀，则圆锥的底面半径为.

8.在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为

（结果精确到0.01）.

9.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min）,连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶

图，则这组数据的第60百分位数是.

427

5458

70

96

人•/、A>O,（2?>O,O<69<—m八

10.如图，已知函数y=Asin（w+°）（2）的图像与>轴的交点为“刃，并已知其在y轴

右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（九°'2）和（1+2兀2）.记y=/（X）,则

ii.已知曲线G：9=4x(xWl),曲线C2：2x+y2_28=0(x»6),若一相。的顶点的A坐标为

(1'°)，顶点昆°分别在曲线G和02上运动，则ABC周长的最小值为.

12.已知数列{叫满足且对任意正整数九，关于x实系数方程*+2向〉+2a〃(2—4)=°都有两

个相等的实根.若%。24=0,则满足条件的不同实数。的个数为个.

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则

一律得零分.

13.如果。>°>,则下列不等式中一定成立的是()

A.y/a>y/^bB.«2>b1C.a2<abD.a3>b3

14.一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则

().

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本方差相同

C,两组样本数据的样本中位数相同

D.两组样本数据样本极差相同

15.已知棱长均为1的正九棱柱有2”个顶点，从中任取两个顶点作为向量£的起点与终点，设底面的一条棱为

AB.若集合4={x|x=a-AB},则当从中的元素个数最少时，九的值为()

A.3B.4C.6D.8

16.对于函数y=/(x)和y=g(x),及区间。，若存在实数％、b,使得/(%)之Ax+〃2g(x)对任意尤eZ)恒成

立，则称>=/(》)在区间。上“优于"y=g(x).有以下两个结论：

①/(x)=log2］在区间。=口,2］上优于g(x)=%2-2%+l；

②当mW-2时，/(x)=x3在区间上优于g(x)=e'+m.

那么()

A.①、②均正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①、②均错误

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域

内写出必要的步骤.

17.已知函数y=/(%),其中/(%)=2苛(左611).

(1)是否存在实数左，使函数y=/(x)是奇函数？若存在，请写出证明.

(2)当％=1时，若关于x不等式/(%)»。恒成立，求实数。的取值范围.

18.如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面A3CD,AB//CD,ZADC=90°,DP=3,CD=2,

A3=AD=1,点产为中点.

(1)求证：直线A尸//平面P5C；

(2)求点。到平面尸5c的距离.

19.某街道规划建一座口袋公园.如图所示，公园由扇形AOC区域和三角形C8区域组成.其中4、0、D三

点共线，扇形半径。4为30米.规划口袋公园建成后，扇形AOC区域将作为花草展示区，三角形COD区域作为

亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道.

JT

(1)若NAOC=—,OD=2OA,求休闲步道总长(精确到米)；

3

7T

(2)若NODC=—,在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣.请你根据民意调查情

6

况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD的形状.

2

20.已知双曲线C:必-乙=1的左、右焦点分别为白、居，P为双曲线右支上一点.

3

(1)求双曲线。的离心率；

(2)设过点尸和B的直线,与双曲线。的右支有另一交点为Q，求OP-OQ的取值范围；

(3)过点尸分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P,使得

|PM|+|PN|=夜？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

21.设y=/(x)是定义在R上的函数,若存在区间［a,句和毛6(。力)，使得y=/(x)在［a,x0］上严格减,在

［不,切上严格增，则称y=/(x)为“含谷函数”，不为“谷点”，［a,可称为y=/(x)的一个“含谷区间”.

(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：

(i)y=2国，(ii)y=x+cosx；

(2)已知实数m>0,y=f—2x—mln(x—1)是含谷函数，且［2,4］是它的一个含谷区间，求用的取值范围;

⑶设P，qeR，/i(x)=-x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x.设函数y=/z(x)是含谷函数，［a,可是它的一个

含谷区间，并记b—a的最大值为L(p,q).若力(l)W/z(2),且/z(l)<0,求L(p,q)的最小值.

浦东新区2023学年度第一学期期末教学质量检测

高三数学试卷

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1,设全集0={123,4},"={1,3},则无=

【答案】{2,4}

【分析】根据补集定义直接求解.

【详解】由题全集。={12,3,4},A={1,3},所以Z={2,4},

故答案为:{254}.

2.若复数z=±7（其中i表示虚数单位），则Imz=

1+21

【答案】-2

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=l-2九结合虚部的定义即可求解.

55(1-2i)5-10i,〜

【详解】由题意知,z=------=------------------=---------=1—21

l+2i(l+2i)(l-2i)5

复数Z的虚部为—2,所以Imz=—2.

故答案为：-2

3.已知事件A与事件B互斥，且尸（A）=0.3,P（B）=0.4,则尸（A._B）=

7

【答案】0.7##—

10

【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【详解】因为随机事件A与3互斥，且P（A）=0.3,0（3）=04,

所以尸(AB)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.

故答案：0.7.

TT

4.已知直线/的倾斜角为一，请写出直线/的一个法向量____.

3

【答案】（、回1）（答案不唯一）

【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可.

【详解】因为直线/的倾斜角为四，所以直线/的倾斜角为tan四=6,

33

所以直线/的一个法向量为（6,-1）,（答案不唯一，只要满足与向量（1,不）垂直即可）.

故答案为：（、行1）（答案不唯一）

5.已知S,是等差数列｛4｝的前九项和，若4=2〃-3,则满足5〃=24的正整数加的值为.

【答案】6

【分析】由等差数列的通项公式。“=2”-3,然后利用等差数列的求和公式即可求解.

【详解】由题意得等差数列=2〃—3,得q=-1,

所以其前〃项和为S〃=笔山=*出=i-2）,

由鼠=24,即加（机―2）=24,解得加=6,m=-4（舍），

所以加的值为6.

故答案为：6.

6.已知向量a=（3,4）,向量6=（1,0）,则向量a在向量方上的投影向量为.

【答案】（3,0）

I.1a・bc

【分析】根据题意，求得。力=3,恸=1,结合投影向量公式，求得可=3,即可求解.

IIa-b小

【详解】由向量a=（3,4）,6=（1,0）,可得a力=3,性=1,可得恸=3，

所以向量a在向量B上的投影向量为3b=（3,0）.

故答案为：（3,0）.

TT

7.已知圆锥的母线与底面所成的角为工，体积为3兀，则圆锥的底面半径为.

【答案】73

【分析】由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解.

【详解】圆锥的轴截面图如图所示：

由题意丸=厂-2115=石厂,丫=工兀r2/7=也兀/3=3兀，解得厂=君，即圆锥的底面半径为百.

333

故答案为：5

8.在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为

（结果精确到0.01）.

【答案】0.25

【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.

【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为C：。。,

其中恰好有一件二等品的事件有C富C；°,

所以恰好有一件二等品的概率为P=鬻1=，0.25.

故答案为：0.25

9.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min）,连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶

图，则这组数据的第60百分位数是.

427

5458

70

96

【答案】58

【分析】把茎叶图的数据从小到大排列，结合百分数的计算方法，即可求解.

【详解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42,47,54,55,58,70,96,

则7x60%=4.2,所以这组数据的第60百分位数是58.

故答案为：58.

10.如图，已知函数尸Asin（s:+。）（人＞0,。＞0,0＜。苦）的图像与＞轴的交点为（0,1）,并已知其在V轴

右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（不，2）和（为+2兀2）.记y=/（x）,则f

【答案】V3

【分析】由图象可知A=2且T=4兀，根据T=—求出。，将点（0,1）代入Ax）解析式求出9,进而求出Ax）的解

a）

析式，即可求解.

【详解】由题意知，函数/⑺图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（%,2）,（%+2兀，-2）,

T

则A=2,且(/+2兀)—/=于得7=4兀，

2兀-2兀2兀1

又T=——，所以刃=一二一二—,

①T4兀2

所以=2sing尤+°),又函数图象过点(0,1),

所以l=2sin（O+0）,由0<°<—TT解得0=7—T,

26

|7T

故/（x）=2sin（5X+k），

所以2sin（—X—+—）=2sin—=石.

2363

故答案为：上

11.已知曲线G：/=4%(%<1),曲线。2：X2-2^+/-28=0(%>6),若的顶点的A坐标为

(1,0),顶点反C分别在曲线C1和G上运动，则.ABC周长的最小值为

【答案】7+亚##回+7

【分析】画出图形利用抛物线的定义，圆的定义、三角形三边关系以及注意取等条件即可求解.

作直线PA为抛物线G：V=4MxWl)的准线，作出。2：X2-2X+/-28=0(X>6),它为圆的一部分,

其中4,5,。三点共线且垂直抛物线的准线，同理P,M,N也三点共线且垂直抛物线的准线，其中

P（-1,2）,M（1,2）,7V（6,2）,

所以|AB|+忸c|+|c4|=|4同+忸1+月.4.+风习4。|+屈习山|+用，

在(%—仔+/=29中令1=6,则y=i2,即尸(T2),M(L2),N(6,2),

从而|A@+忸q+|C4|2|PN|+J芯=7+阴，等号同时成立当且仅当5c分别与M,N(或与M,N关于x轴

的对称点)重合，

所以当5c分别与M,N重合时，_ABC周长有最小值，且最小值为7+闻.

故答案为：7+回.

12.已知数列｛。"｝满足q=a,且对任意正整数〃，关于x的实系数方程炉+2北二x+2a〃(2—a“)=0都有两

个相等的实根.若々024=。，则满足条件的不同实数。的个数为个.

【答案】22022+1

【分析】先根据题意得到q+1=2。”(2-4)(*),记满足(*)式的不同实数4个数为62024.“，再结合二次函数的性

质即可逐个求得伪，b2,4，a,再通过观察得到数列也｝的递推公式2+1=2d-1,再构造等比数

列，从而得到它的通项公式，进而即可求解.

【详解】依题意可得△=4a“+「84(2—4)=0,即4+1=2%(2—4)(*),

记满足(*)式的不同实数里,个数为仇024-“，

将％看成自变量，。“+1看成参数，则“2024-”为y=a“+i与丁=2。”(2-4)的交点个数，

当4+1=2时，有一个交点，即有一个根4=1；

当0<a"+i<2,有2个交点，即有两个不同的根q=4'和4=%，，且0<%'<1<。""<2，

当a“+i=。，有2个交点，即有两个不同的根。”=0和。“=2,

由。2024=°，则“2023=。或。2023=2,即仇=2；

则a2022=。或。2022=2或％022=1，即仇=3;

同理可得4=5,仇=9,4=17,…

通过观察可得％1=2〃-1,则2+]-1=2(2-1),n=1,2,3,■■•,2023,

所以数列｛优—1｝是以4-1=1为首项，q=2为公比的等比数列，

所以数列也—1｝的通项公式为/―1=1x2"—,即々=2"T+1,〃=1,2,3/，2023,

所以满足(*)式的不同实数«1个数为瓦024.1=d023=22022+1,

故满足条件的不同实数。的个数为2.2+1个.

故答案为：22022+1.

【点睛】关键点点睛：记满足(*)式不同实数a“个数为4024.“，结合二次函数的性质求得4，b],4,瓦,

b5,再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键.

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸

的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则

一律得零分.

13.如果。>0>。，则下列不等式中一定成立的是()

A.y/a>B.a2>b1C.a2<abD.a3>b3

【答案】D

【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断.

【详解】对A、B：由。>0>6，不妨设a=l,b=-4,则&<「(-4)=2,12<(^)2,故A、B项错误；

对于C：由a〉O〉Z?,所以故C项错误；

对于D：由。>0>6，所以/>53,故D项正确.

故选：D.

14.一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则

().

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本方差相同

C.两组样本数据的样本中位数相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】C

【分析】根据平均数，方差，中位数和极差的定义，逐个选项进行判断，可得答案.

【详解】去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据的平均数可能与原数据的平均数不同，新数据的方

差变小，数据的中位数不变，数据的极差变小，故c正确.

故选：c

15.己知棱长均为1的正九棱柱有2〃个顶点，从中任取两个顶点作为向量£的起点与终点，设底面的一条棱为

AB.若集合=则当4中的元素个数最少时，”的值为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】建立如图空间直角坐标系A-孙z,设°(x,y,z),根据正力棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的尤坐

标，由=x可得对应的集合，进而得出对应的4，即可求解.

【详解】如图，设A8所在的直线为x轴，过点A且与A8垂直的直线为y轴，

过点A且与平面xAy垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系A-孙z,

则4(0,0,0),3(1,0,0),得A3=(1,0,0),设“(x,y,z),

则a-AB=(x,y,z)-(1,0,0)=x.

因为该几何体为正〃棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等.

当〃=3时，该几何体为正三棱柱，作出其底面ABC的示意图，如图，

则=0,/=1,%=g,所以x={0,土;,±1},

即A={0,土;,±1}，共有5个元素；

当〃=4时，该几何体为正方体，作出其底面A3CD的示意图，如图,

贝U乙==1,=LXD=0,所以％=(0,±1},

即4={0,±1},共有3个元素;

3113

贝！J4=°，/=1，%=于程=1，%E=0,%尸=--，所以x={0,±5，±1,±万,±2},

13

即&={0,±—,±1,±—,±2),共有9个元素；

当〃=8时，该几何体为正八棱柱，作出其底面A5cDEFGH的示意图，如图,

则xA—0,—1,XQ—1+—^―,xD—1+—,xE—1,Xp—0,,XH——，

所以x=<0,+^,±l,±^l+

-J2（亚、'

即4=<0,土《-,±1,土1+—，土+共有9个元素；

综上，当〃=4时，4中的元素数量最少.

故选：B

16.对于函数y=/(x)和y=g(x),及区间。，若存在实数依b,使得对任意xeD恒成

立，则称＞=/(尤)在区间。上“优于"y=g(x).有以下两个结论:

①/(x)=log2%在区间。=口,2］上优于g(x)=x?—2x+l；

②当mW—2时，/(x)=%3在区间D=［-1,1］上优于g(x)=e'+m.

那么()

A.①、②均正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①、②均错误

【答案】B

【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数y=/(x),y=g(x)在区间。上的图形，由题意给的定义，根据数形结

合的数学思想依次判断即可求解.

【详解】①：当X=1时，/(l)=o,g(l)=o；当x=2时，/(2)=1,g(2)=1,

所以函数/(X)、g(x)图象都经过点A(l,0),B(2,l),

则直线A3的方程为y—0=匕°(%—1),即丁=』1—工，

2-122

在同一个平面直角坐标系作出函数y=/(%),y=g(%)在区间［1,2］上的图形，如图,

2

由图可知，/(x)=log2x>y=^x-^>g(x)=x-2x+l,

即存在k=-.b=-工使得/(x)>y=kx+b>g(x)在区间［1,2］上恒成立，

22

所以/(%)=log2x在区间。=［1,2］上优于g(x)=V—2x+1,故①正确;

②:当m=-2时，

在同一个平面直角坐标系作出函数y=f(x),y=g(x)在区间［-1,1］上的图形，如图,

由图可得，g⑴=e-2,g(-L)=e--2,即A(l,e-2),8(-1,e7-2),

所以直线AB的方程为y—(e—2)=匕带上(x-l),即〉=旨1工+6—2—3二.

设曲线/(x)=d在(x°,£)(x。＞0)处且平行于直线AB的切线为I,

由勺=((%)=3%，1//AB,得3x；=\^,解得/=冲手,

所以切线/位于直线A5的下方，则当m=-2时存在实数左力使得/(%)=92丁=丘+628(力=炉+”

当田＜-2时，切线/位于直线的上方，此时在区间［-1,1］上,

不等式f(x)=x3>y=kx+b>g(^x)=ex+m不恒成立，

所以当mW-2时，/(x)=/在区间。上不一定优于g(x)=e*+加，故②错误；

故选：B

【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意

义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题.

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域

内写出必要的步骤.

17已知函数丁=/W-其申〃x)=3=(左CR).

(1)是否存在实数左，使函数y=/(x)是奇函数？若存在，请写出证明.

(2)当k=1时，若关于x的不等式恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)k=-l,证明见解析

⑵(-8,2]

【分析】(1)/(%)是奇函数，利用/(0)=0解出左并检验即可.

(2)利用基本不等式求/(%)的最小值解决恒成立问题.

【小问1详解】

函数=定义域为R，若/(%)是奇函数，则/(0)=1+%=0,解得上=—1,

此时/(劝=，^=2£—2一,,/(—x)=2-*—2'=—(2'—2一，)=—/(%),符合题意，

故左=—1.

【小问2详解】

4*+1x1

当上=1时，f^=___=2+—,

由2工>0,则2*+,22卜—=2,当且仅当2'=二，即x=0时等号成立，

2XV2X2A

所以/(x)22,又不等式。恒成立，得aW2,

则实数。的取值范围为(-8,2].

18.如图，在四棱锥P—A6CD中，底面ABC。，AB//CD,NADC=90°,DP=3,CD=2,

A3=AD=1,点尸为尸。中点.

AB

(1)求证：直线A尸//平面尸5C；

(2)求点。到平面尸5c的距离.

【答案】18.证明见解析

3722

19.

11

【分析】(1)根据线面垂直的性质可得建立如图空间直角坐标系。-孙z,利用空间向量

法证明平面尸5c的法向量〃满足A6w=0，即可证明；

UUU

(2)由(1)可得。P=(0,0,3),利用向量法求点面距即可求解.

【小问1详解】

由PD_L平面ABC。，AD,CDu平面ABCD,

得PDLARPDLCD,又AOLCD,建立如图空间直角坐标系。—孙z,

3

则£>(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,2,0),P(0,0,3),F(0,0,-),

3

所以尸C=(0,2,-3),8C=(-1,1,0),AF=(-l,0,~),

设平面尸5c的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-PC=2y-3z=0

则,令>=3,则x=3,z=2,所以“=(3,3,2),

n-BC=-x+y=0

3_______

所以AF-n=(-1,0,—)-(3,3,2)=-3+3=0,故AF_Ln>

且Aba平面BBC,即AF//平面P5C；

【小问2详解】

ULUU

由(1)知，DP=(0,0,3)-所以点。到平面尸5。的距离为

“|3X2|3后

一|n|一.9+9；4-11，

即点。到平面PBC的距离为拽2.

11

19.某街道规划建一座口袋公园.如图所示，公园由扇形AOC区域和三角形COD区域组成.其中4、0、D三

点共线，扇形半径。4为30米.规划口袋公园建成后，扇形AOC区域将作为花草展示区，三角形C。。区域作为

亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道.

7T

(2)若NODC=—,在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣.请你根据民意调查情

6

况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD的形状.

【答案】(1)120+30«+10?r(m)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意，在△(%)£)中，由余弦定理得求得CD=30近，再由弧长公式，求得AC的长

/=10兀，进而求得总周长，得到答案.

5兀

(2)若选择面积最小：设4cOD=e,得到NOCO=——3,在△口?£)中，由正弦定理，求得

6

OD=30cos8+30/sin。，DC=60sin6>,根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到

5con=450sin(20-1)+22573,结合三角函数的性质，即可求解；

若选择周长最长：由正弦定理，求得OD=30cos8+30/sine，DC=60sin6»,利用三角恒等变换的公式，

化简得到周长为L=30+60j2+Gsin(d+9)，结合三角函数的饿性质，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意知，OA=30m,所以。D=2Q4=60m,OC=Q4=30m,

jr2冗

因为NAOC=—,所以NCOD=—，

33

在4cOD中，由余弦定理得CD2=OC2+OD--2OCODcosZCOD

=302+602-2x30x60xcos—=900+3600+2x30x60x-=6300,

32

所以CD=3OJ7,又由弧长公式，可得AC的长/=gx30=10兀(m),

所以总周长为：OA+OC++OD+CD+/=30+30+60+3077+1071=120+30救+107t(m).

【小问2详解】

解：若选择面积最小：

TT571

设4COD=e,因为NODC=—,可得NOCD=——0,

66

OD_CD_OC_30_6()

由正弦定理知sinZOCD-sinZDOC-sinZODC一•兀一，

sin—

6

所以0。=60sinZOCD=60sin(—-0)=30cos6+3073sin0,

6

DC=60sinZ.COD=60sin0,

所以s.COD=aOD.DCSinZODC=g(30cos8+306sin8)•60sin8义g

=450sin0cos0+450百sin20=225sin20+22573(1-cos20)

225(sin20-^3cos26)+2256=450-(|sin29—与cos26)+225石

=450sin(2^-1)+22573,

.一.、t八八5兀LL.71c八兀4兀

因为0<。<——,所以——<2。—<——,

6333

所以，当28-时，即6=时，面积取得最大值，最大值为450+2256(m2),

▽国力.5兀71n1s/2y/3y/2a+正

乂因为sin——=sm(—+—)=—x-----1-----x-----=------------,

126422224

5兀,兀兀、百四1&V6-V2

cos—=cos(—+—)=——x---------X=------------,

126422224

所以8=60sin||=15(6+后)，DC=60sin||=15(76+72).

若选择周长最长：

冗57r

设4C0D=e,因为NODC=—,可得NOCD=——6,

66

ODCDOC30小

-----------------—------------------—------------------—------—6(j

由正弦定理知sinZOCD-sinZDOC-smZODC一P-'

Sm6

所以0。=60sinZOCD=60sin(—-6»)=30cos6+30®sin0,

6

DC=60sinNCOD=60sin6,

则△COD的周长为L=OC+OD+CD=30+30cos8+3073sin9+60sin6

=30+30[(6+2)sin8+cos8]=30+30[，8+4百(-?^+2sin6+】cos0]

48+4678+473

=30+30^8+4百sin(6>+^)=30+60小2+石sin(。+g

其中tan(p=—尸=2—yj3,

V3+2

因为sin(，+9)的最大值为1，所以△COD的周长的最大值为

30+60,2+6=30+30A/2XJ(73+1)2=30+30#+300，

JTTT

即e+0=5时，即。=,一0时，

..(兀)6+2+^^6+A/2

所以sm，=sm——(p=cos(p=.=--------=---------时，

V2)78+47324

△COD的周长的最大值为30+6072+7330+30A/6+3072•

2

20.己知双曲线C:好一]_=1的左、右焦点分别为白、F],尸为双曲线右支上一点.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)设过点尸和工的直线,与双曲线C的右支有另一交点为Q,求OP-OQ的取值范围；

(3)过点尸分别作双曲线C两条渐近线垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P,使得

|PM|+|PN|=夜？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2(2)(-oo,-5]

(3)不存在满足题意的点P,理由见解析

【分析】(1)根据双曲线的方程直接得出a、b,结合公式c2=a2+〃和e=f计算即可求解；

a

(2)易知直线/的斜率不为0,设/:x=my+2,P(X]，M),Q(X2，%)，联立双曲线方程，利用韦达定理表示

4

乂+y、％%、百马，根据平面向量的坐标表示化简可得。POQ=-—7，求出3加之一1的取值范围即可求解；

3m-1

(3)设p(%,%)，由渐近线方程和点线距公式建立方程1PM+|PN|」瓜；%1*[+闻=0，解得

x0=g<l,与题意中的不矛盾，即可下结论.

【小问1详解】

由题意知，。2=112=3,则°2="+/=4,

所以C=2,4=1,得6=£=2,

a

即双曲线的离心率为2；

小问2详解】

由⑴知，由（2,0）,

若直线/的斜率为0,则直线/与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意;

所以直线/的斜率不为0,设/：X=7利+2,P（XI，X）,Q（%2，%），

x=my+2

2y2_,消去彳，得(3机2—1)/+12机y+9=0,

x"—"—=1

3

A=(12m)2—36(3m2—1)=36m2+36>0,

12m9

9m224m2.—3m2-4

贝!Jxx=(my+2)(my+2)=>y%+2根(必+%)+4=+4=——-——

{2l23m2-13m2-13m2-1

二匚［、1—3zzz2—49—3T?22+54

所以OP.OQ=XjX2+%,2=-------2------------1--------2=--------7---------=—1H----------2--

12123m2-13m2-13m2-13m2-1

9

又X%=-o一〈°，贝（13加2-1<0，由3加之。，得3”一1之一1,

3m-1

44

所以一1<3疗一IvO,有°21所以-1+c2।工―5,

3m2-13m2-1

即OP•OQW-5,所以。P•OQ的取值范围为（-oo,-5]；

【小问3详解】

由题意可知双曲线的渐近线方程为:y=氐,4：y=-#>x,

即4:叵x-y=0，k:gx+y=0,设尸(玉,为),

瓜-尤/o+%

则点尸到直线4的距离为忙闾=，点P到直线4的距离为|PN|=

22

所以=叵/+叵/=应,

\PM\+\PN\

又点P位于直线4的上方且直线k的下方，所以6%-%>。,瓜。+%>o,

贝瓜。+%=2也，解得/=彳<1,

又点尸在双曲线上，则与x0=g<l矛盾，

故不存点尸使得|PM|+|7W]=8.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用设线法得到韦达定理式，再代入计算出由向量得出的式子里，从而

得出范围，第三问的关键是根据点与直线的位置关系去绝对值得到方程，解出方程即可.

21.设y=/(x)是定义在R上的函数，若存在区间可和毛6(。力)，使得y=/(x)在［。,即上严格减，在

［%,切上严格增，则称y=/(x