【数学】山东省部分名校2024届高三下学期2月大联考试题（解析版）

山东省部分名校2024届高三下学期2月大联考数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得或因此．故选：D．2.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，即虚部为．故选：A．3.若的展开式中常数项的系数是15，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】二项展开式通项为则时常数项为．故选：C．4.已知在中，，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由余弦定理得，所以．故选：D．5.椭圆与双曲线的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C6.数列的前n项和满足，设甲：数列为等比数列；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，，当时，，因为数列为等比数列，所以，即，解得且，即且．因此充分性成立；若，当且时，，甲不成立，故必要性不成立．故选：A．7.圆和圆的公切线方程是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，由，．故选：C二、选择题9.已知一组样本数据满足，下列说法正确的是（）A.样本数据的第80百分位数为B.样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于120C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数【答案】BD【解析】对于A中，由，可得第80百分位数为，所以A错误；对于B中，由，则，所以,故这组样本数据的总和等于，所以B正确；对于C中，去掉等平均数的数据，n变为，平方和不变，分母变小，所以方差变大，所以C错误；对于D中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D正确．故选：BD．10.函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（）A. B.关于对称 C. D.减函数【答案】ABC【解析】由对于任意实数，令，则，即,故A正确；令，则，即，故B正确；令，，则，即，故C正确；对于任意，则设，当时，，则，即，所以单调递增，故D错误．故选：ABC.11.如图，在棱长为1的正方体中，M为平面所在平面内一动点，则（）A.若M在线段上，则的最小值为B.过M点在平面内一定可以作无数条直线与垂直C.若平面，则平面截正方体的截面的形状可能是正六边形D.若与所成的角为，则点M的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】选项A：将平面展开到与同一平面如图所示，连接交于M,此时为最小值，计算可得，故A正确；选项B：当M点在D处时，因为平面，所以过M点可作无数条直线与垂直，当M点在A处时，过M点只能作一条直线,故B不正确；选项C：当M与B重合时，平面，分别取的中点E，F，G，H，P，Q，则六边形是正六边形，且此正六边形所在平面与平面平行，所以当平面为平面时满足题意，故C正确；选项D：以D为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则,得，，整理得为双曲线方程，故D正确．故选：ACD．三、填空题12.已知函数的图象关于直线对称，则实数_________．【答案】1【解析】由于函数的图象关于直线对称，且，得：，其中，，得：．故答案为：1．13.已知函数与相切，则____________．【答案】【解析】显然该函数的定义域为全体正实数，设切点为，则，由题知，解得，舍去，所以切点为，代入直线方程得．故答案为：．14.抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心,交y轴于M,且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则____________．【答案】【解析】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上，故，I是的内心，连接，则平分，在中，由正弦定理得①，在，由正弦定理得②，其中，故，又，式子①与②相除得，故，同理可得，，由椭圆定义可知，，，即焦点坐标为，所以抛物线方程为，，故在处的切线方程为，即，又，故，所以在点的切线为：，令，又，即，所以是首项16，公比的等比数列，．故答案为：．四、解答题15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．附：若，则．解：（1）因为，所以，则，所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)．（2）依题意可得，，设，所以，所以所以，因为整数，所以，所以当取得最大值时的值为8．16.如图，在圆锥中,若轴截面是正三角形，C为底面圆周上一点,F为线段上一点，D（不与S重合）为母线上一点,过D作垂直底面于E,连接，且．（1）求证：平面平面；（2）若为正三角形，且F为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为，所以，因为平面，平面，所以平面，因为垂直底面于垂直底面于O，所以，同理平面，因为，且平面，平面，所以平面平面．（2）解：不妨设圆锥的底面半径为2，因为轴截面是正三角形，所以，如图，设平面与底面圆周交于G，因为为正三角形，且F为的中点，所以，所以E为的中点，所以为的中位线，所以，如图，在底面圆周上取一点H，使得，以直线为x，y，z轴建立空间坐标系，由已知得，，，设的中点为M，则平面的法向量为，所以，设平面的一个法向量为，所以，，令，则，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知．（1）若在恒成立，求a的范围；（2）若有两个极值点s，t，求的取值范围．（1）解：由函数，因为在上恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得，所以在单调递减，所以，所以恒成立，所以在单调递减，所以，所以，所以实数的取值范围为.（2）解：因为有两个极值点，可得是的两不等正根，即是的两不等正根，则满足，解得，则，所以的取值范围为．18.已知圆，与x轴不重合的直线l过点，且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．解：（1）圆，，，，，，∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．（2）设直线，由题意知且，设，，由，则，所以，令且，，当时，；当，；当时，；，且，，且．19.在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭？（2）设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；（3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．（1）解：不是的，理由如下：如等差数列，所以不是任意一个无穷等差数列对前项之积是封闭的．（2）解：是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由已知得，对任意正整数，总存在正整数，使得成立，即对任意正整数，总存