数值计算方法

复习：1.数值计算方法的含义2．误差及误差限3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章插值方法一．插值的含义问题提出：函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。说明：函数可能是未知的；也可能是的，但它比拟复杂，很难计算其函数值。解决方法：构造一个简单函数来替代未知〔或复杂〕函数，那么用作为函数值的近似值。二、泰勒〔Taylor〕插值1.问题提出：复杂函数在点的函数值，求附近另一点的函数值。2.解决方法：构造一个代数多项式函数，使得与在点充分逼近。泰勒多项式为：显然，与在点，具有相同的i阶导数值〔i=0,1,…,n〕。3.几何意义为：与都过点；与在点处的切线重合；与在点处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由以下图描述，显然函数能相对较好地在点逼近。4.误差分析〔泰勒余项定理〕：，其中在与之间。5.举例：函数，求。分析：此题理解为，“复杂”函数在=100点的函数值为，求的附近一点+15的函数值。解：〔1〕构造1次泰勒多项式函数：。其中，，，那么有：故有误差分析：函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，那么有：于是近似值10.75有三位有效数字。几何意义：显然，也过点〔100,10〕，且就是函数在点〔100,10〕处的切线，如以下图所示。〔2〕构造2次泰勒多项式函数：。把，及代入，有。分析误差函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，那么有于是近似值10.721875有四位有效数字。运行文件taylor.m：%函数f(x)=x^(1/2)，求f(115)%一次泰勒插值subplot(1,2,1);f=inline('x^(1/2)');p1=inline('5+0.05*x');fplot(f,[-50,300]);holdonfplot(p1,[-50,300]);plot(115,10.75,'*')line([115,115],[0,10.75])%二次泰勒插值subplot(1,2,2);p2=inline('10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)^2');fplot(f,[-30,300]);holdonfplot(p2,[-30,300]);plot(115,10.72,'*')line([115,115],[0,10.72])可以得到以以下图形：6.泰勒插值存在的问题：1.函数必须存在n+1阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比拟大；2.要求h为个小量，假设h较大，那么计算的误差就很大。三．拉格朗日〔Lagrange〕插值1.问题提出：函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。说明：函数可能是未知的；也可能是的，但它比拟复杂，很难计算其函数值。2.解决方法：构造一个n次代数多项式函数来替代未知〔或复杂〕函数，那么用作为函数值的近似值。设，构造即是确定n+1个多项式的系数。3.构造的依据：当多项式函数也同时过的n+1个点时，我们可以认为多项式函数逼近于原来的函数。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：其系数矩阵的行列式D为范德萌行列式：故当n+1个点的横坐标各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于零，故方程组有唯一解。即有以下结论。结论：当的n+1个点的横坐标各不相同时，那么总能够构造唯一的n次多项式函数，使也过这n+1个点。4.几何意义5．举例：函数，求。分析：此题理解为，“复杂”函数，当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值。解：〔1〕线性插值：过的〔100,10〕和〔121,11〕两个点，构造1次多项式函数，于是有那么。〔2〕抛物插值：构造2次多项式函数，使得它过的〔100,10〕、〔121,11〕和〔144,12〕三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：那么有10.722755505364206.拉格朗日n次插值多项式公式：其中称为基函数〔k=0,1,….,n〕，每一个基函数都是关于x的n次多项式，其表达式为：拉格朗日公式特点：1．把每一点的纵坐标单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.误差分析〔拉格朗日余项定理〕，其中在所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，那么有：于是近似值有三位有效数字。针对以上例题的抛物线插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，那么有于是近似值10.72275550536420有四位有效数字。8.拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。9.拉格朗日插值通用程序程序流程图如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值closealln=input('的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值点=？');symst%定义t为符号量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp=inline(p);%把符号算式p变为函数形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]);%画多项式函数holdonp(xx)%显示插值点plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%画点和插值点在MATLAB命令窗口输入：lagrange然后有以下对话过程和结果，的坐标点数n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值点=？8ans=有以以下图形：10.作业1，函数sin(x)过以下数据点：x0.791.01.6sin(x)0.7103530.8414710.999574请用线性插值和抛物插值，计算sin(0.63)的值，并分析误差。四．牛顿〔Newton〕插值复习：〔1〕问题提出：函数在n+1个点的值(x0,y0),(x1,y1),….(xn,yn),求当x=x’时，y’的值。〔2〕解决方法：构造n次多项式函数，使它也过的n+1个点。〔3〕拉格朗日公式：，〔4〕拉格朗日公式的优点：结构规律性强，便于编写程序。〔5〕拉格朗日插值的缺点：无承袭性〔继承性〕假设算出3点的抛物插值精度不够，再进行4点的3次多项式插值时，必须从头算起，前面算出的3点抛物插值的计算结果不能利用。而泰勒插值却是具有承袭性的，如线性插值的结果不精确，那么再加上一项，就变成了泰勒抛物插值，如：泰勒1次插值：泰勒2次插值：。而牛顿插值就是具有承袭性的插值公式1.差商的概念设n+1个点互不相等，那么定义：和两点的一阶差商为：,三点的二阶差商为：,四点的三阶差商为：……n+1个点的n阶差商为：差商具有对称性：；2.牛顿插值解决的问题与拉格朗日插值解决的问题相同只是表述n次多项式的公式不同。3.牛顿插公式的推导根据差商的概念，有：…是两点的一阶差商；……是三点的二阶差商；……把以上各式从后向前逐次代入，可以得到：其中以上的表达式称为牛顿插值公式，可以证明，n次牛顿插值多项式与n次拉格朗日插值多项式完全相同，只是表达形式不同。故，拉格朗日余项定理与牛顿余项定理相同：，其中在所界定的范围内。那么有公式：4.牛顿插值差商表xiyi一阶差商二阶差商n阶差商*x0y01x1y1f[x0,x1](x-x0)x2y2f[x1,x2]f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)x3y3f[x2,x3]f[x1,x2,x3](x-x0)…(x-x2)……xn-1yn-1xnynf[xn-1,xn]f[xn-2,xn-1,xn]…f[x0,…,xn](x-x0)…(x-xn-1)5.举例例1：函数f(x)当x=-2,-1,0,1时，其对应函数值为f(x)=13,-8,-1,4。求f(0.5)的值。解：根据点，填写以下差商表：xiyi一阶差商二阶差商三阶差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x那么四点三次牛顿插值多项式为：故，=3.625可以在MATLAB下运行程序newton01.m：p3=inline('13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x');fplot(p3,[-2.5,2.5]);holdonxi=[-2,-1,0,1];yi=[13,-8,-1,4];plot(xi,yi,'*');plot(0.5,p3(0.5),'o');可以得到以以下图形：例2：函数f(x)当x=-2,-1,0,1,2时，其对应函数值为f(x)=13,-8,-1,4,1。求f(0.5)的值。解：该题目与例1相比，就是多了一个点，所以和例1的差商表相比，只需多一列，多一行：xiyi一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5个点的4次牛顿插值多项式是在的根底上多增加1项：那么可以在MATLAB下运行程序newton02.m：p4=inline('13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1)');fplot(p4,[-2.5,2.5],'r');holdonxi=[-2,-1,0,1,2];yi=[13,-8,-1,4,1];plot(xi,yi,'*');plot(0.5,p4(0.5),'o');可以得到以以下图形：6.牛顿插值的优点〔1〕具有承袭性质〔2〕利用差商表，计算多点插值，比拉格朗日公式计算方便。7.牛顿插值算法的通用程序以下是程序流程图：MATLAB的通用程序newton.m为：%牛顿插值closealln=input('的坐标点数n=?');x=input('x1,x2,...,xn=?');y=input('y1,y2,...,yn=?');xx=input('插值点=？');%计算差商：f[x1,x2],f[x1,x2,x3],...,f[x1,x2,...,xn]f=y;fori=1:n-1%计算第i阶差商fork=n:-1:i+1f(k)=(f(k)-f(k-1))/(x(k)-x(k-i));endendsymst%定义t为符号量p=f(1);fork=2:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j));endp=p+l*f(k);endp=inline(p);%把符号算式p变为函数形式fplot(p,[min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1]);%画多项式函数holdonp(xx)%显示插值点plot(x,y,'o',xx,p(xx),'*');%画点和插值点在MATLAB命令窗口输入：newton然后有以下对话过程和结果，的坐标点数n=?6x1,x2,...,xn=?[1,3,5,7,9,11]y1,y2,...,yn=?[-1,20,0,-1,12,3]插值点=？8ans=有以以下图形：8.作业〔1〕过(0,6)，(1,7)，(2,20)，(3,81)，(4,250)五个点做多项式函数p(x)，并求p(-2)的值。〔2〕给出以下函数表，函数f(x)是一个多项式函数，试求其次数及x的最高幂的系数。x012345f(x)-7-452665128〔3〕请写出下面数列中？的值①2,5,9,15,23,？②2,8,15,29,50,？,125五埃尔米特〔Hermite〕插值1．问题提出函数在n+1个点上的函数值及一阶导函数值，求任意一点的函数值。2.解决方法：构造一个2n+1次代数多项式函数，使得即，多项式函数也过这n+1个点，且函数f(x)和在这n+1个点上具有相同的切线。3.埃尔米特插值公式：当节点横坐标各不相同时，存在唯一的n+1次代数多项式函数：其中，，4.举例例1．求满足以下条件的埃尔米特插值多项式。12231-1解：根据埃尔米特插值公式有：把表中值代入，得：例2．函数满足以下数据表：121/30.20-0.14构造3次埃尔米特插值多项式。解：根据埃尔米特插值公式可以构造为：在Matlab命令窗口输入：f=inline('x/(x^3+2)');p3=inline('19/150*x^3-16/25*x^2+9/10*x-4/75');fplot(f,[0,3]);holdonfplot(p3,[0,3],'r');plot([1,2],[1/3,0.2],'*');绘出如以下图形例3.求二次多项式满足，，。其中为常数。解：设，根据条件有，，，于是基函数一定含有因子，基函数一定含有因子，基函数一定含有因子。设，那么有解得：，那么有：，，六分段插值1．龙格(Runge)现象〔高次多项式插值的缺陷〕针对函数选取6个节点:xi：[-5,-3,-1,1,3,5]；yi：[1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26]可以构造5次多项式函数假设选项11个节点xi：[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]；yi：[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26]可以构造10次多项式函数利用用拉格朗日插值的通用程序〔或牛顿插值的通用程序〕可以画出f(x),P5(x)和P10(x)的图形。程序runge.m如下：%用拉格朗日插值公式分析龙格现象closealln=6;x=[-5,-3,-1,1,3,5];y=[1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26];x6=x;y6=y;symst%定义t为符号量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp5=inline(p);%把符号算式p变为函数形式f=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5]);%画原来的函数holdonfplot(p5,[-5,5],'g');%画5次多项式函数n=11;x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];symst%定义t为符号量p=0;fork=1:nl=1;forj=1:k-1l=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endforj=k+1:nl=l*(t-x(j))/(x(k)-x(j));endp=p+l*y(k);endp10=inline(p);%把符号算式p变为函数形式fplot(p10,[-5,5],'r');%画10次多项式函数legend('f(x)','P_5(x)','P_1_0(x)')plot(x6,y6,'*');%画6个节点plot(x,y,'o');%画10个节点plot([-5,5],[0,0],'k');%画坐标轴plot([0,0],[-0.5,2],'k');运行该程序，可以绘制出如以下图形：从图中可以看出，随着节点的增加，采用高次多项式插值，可以在某些区域较好的逼近原来的函数〔如在[-2,2]区间〕；但在高次多项式的两端出现了剧烈震荡的现象，这就是所谓的龙格现象。从该图可以看出，在附近时，与f(x)偏离很远。例如，而。这就说明用高次插值多项式来近似f(x)的效果并不好，因而通常不用高次插值。2．分段线性插值当节点较多时，可以采用分段线性插值，公式如下：，以上公式即为两点的线性拉格朗日插值公式。例如针对龙格现在的函数选取11个节点:xi：[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]；yi：[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26]可以构造10个1次多项式函数，即分段线性函数。在MATLAB命令窗口输入：f=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5]);%画原来的函数holdonx=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];plot(x,y,'o')plot(x,y,'r')可以得到以以下图形：显然和龙格现象相比，分段线性插值函数比和都能更好的逼近原函数f(x)。3．三次样条插值〔1〕样条函数的概念分段线性插值在节点处没有连续的一阶导函数，其光滑性较差。对于飞机的机翼的型线及船舶型往往要求有二阶光滑度〔即在节点处要求二阶导函数连续〕。样条函数的概念来源于工程设计的实践。所谓“样条”〔spline〕是早期工程设计中的一种绘图工具，它是富有弹性的细长条。绘图时，用压铁迫使样条通过指定的型值点，并保证样条的光滑外形。在绕度不大的情况下，样条的曲线即为三次样条函数。〔2〕几何意义〔3〕构造三次样条函数的理论分析如上图所示，通过的六个点，构造5个三次多项式函数分别是：红色、蓝色、黑色、紫色和绿色5根曲线。为确定一根曲线，就需要确定4个待定系数，所以总共需要4*5=20个待定系数。另外，分析需要的约束条件。每一根函数都要过的左右两个点，那么有5*2=10个约束条件。此外，每两个相邻曲线在相邻点处要求充分光滑，即在连接点处左右两个函数在该点具有1次和2次的导函数连续，图中有4个“中间点”，故又有4*2=8个约束条件。假设在整个图形的两端在加2个约束条件，整个3次样条函数就确定了。如：①左右两端点上的1阶导函数；②左右两端点上的2阶导函数，如〔称为自然边界条件〕；③假设原来的函数f(x)是以xn-x0为周期的周期函数，那么y0=yn，且。〔4〕用MATLAB函数interp1进行三次样条函数的插值例1.对龙格现象中的函数进行11个点的三次样条插值：x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26];xi=-5:0.01:5;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,x,y,'o')holdonf=inline('1/(x^2+1)');fplot(f,[-5,5],'r')可以绘出以下图：红色为原来的函数f(x)，蓝色为通过曲线f(x)上的11个点而构成的三次样条函数。从图中可以发现三次样条函数很好的地描述了函数f(x)。例2.随机构造15个点，用牛顿法〔或拉格朗日法〕构造14次代数多项式函数，然后再根据这15个点构造3次样条函数。现在在MATLAB命令窗口输入：x=1:15;y=round(10*randn(1,15));然后运行程序newton，有以下对话过程：的坐标点数n=?15x1,x2,...,xn=?xy1,y2,...,yn=?y插值点=？2ans=0xi=1:0.01:15;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi,'r')可以绘出如以下图形：显然图中可以看到龙格现象，如果，在另一个图中重新画3次样条函数：closeplot(xi,yi,x,y,'o')可以得到：七、小结本章学习了1．泰勒插值2．拉格朗日插值3.牛顿插值4.埃尔米特插值5.龙格现象6.分段线性插值7.分段三次插值(3次样条函数)作业：〔1〕单调连续函数y=f(x)的以下数据xi-1.10.01.22.1yi-2.2-1.l1.02.1用插值法计算，x为多少时，f(x)=0。提示：把xi和yi“颠倒”理解。〔2〕用插值法计算矩阵的特征多项式。提示：为3次多项式函数，故让分别取0,1,2,3时，求出的函数值，再构造3次多项式函数。第三章曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合1.问题提出：多组数据，由此预测函数的表达式。数据特点：〔1〕点数较多。〔2〕所给数据存在误差。解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。2.直线拟合的概念设直线方程为y=a+bx。那么残差为：，其中。残差是衡量拟合好坏的重要标志。可以用MATLAB软件绘制残差的概念。x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1);xi=0:0.01:7;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');y1=polyval(p,x);holdonfori=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)],'r');end可以绘制出如以下图形：三个准那么：〔1〕最小〔2〕最小〔3〕最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点，求一次多项式y=a+bx，使得总误差Q最小。其中。根据故有以下方程组〔正那么方程〕：例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式xi165123150123141yi187126172125148解：N=5，=702，=758，=99864，=108396。那么有方程组解得a=-60.9392，b=1.5138，那么一次多项式为y=-60.9392+1.5138b用MATLAB计算并画图如下：x=[165,123,150,123,141];y=[187,126,172,125,148];A(1,1)=5;A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=x*y';B=rref(A);a=B(1,3);b=B(2,3);p=[b,a];%以上四行，可以用一行命令p=polyfit(x,y,1);替代。xi=min(x)-1:0.01:max(x)+1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制如以下图形4.最小二乘法的多项式拟合问题：对于给定的数据点，求m次多项式〔m<<N〕，使得总误差Q最小。其中。根据故有正那么方程：当m=2时，有例2.求数据表的最小二乘法拟合的二次多项式函数xi-1-0.75-0.5-0.2500.250.50.751yi504025201821355666在MATLAB命令窗口输入：x=-1:0.25:1;y=[50,40,25,20,18,21,35,56,66];A(1,1)=length(x);A(1,2)=sum(x);A(1,3)=sum(x.^2);A(1,4)=sum(y);A(2,1)=sum(x);A(2,2)=sum(x.^2);A(2,3)=sum(x.^3);A(2,4)=y*x';A(3,1)=sum(x.^2);A(3,2)=sum(x.^3);A(3,3)=sum(x.^4);A(3,4)=y*(x.^2)';B=rref(A);p=[B(3,4),B(2,4),B(1,4)];%以上五行可以用p=polyfit(x,y,2);替代xi=min(x)-0.1:0.01:max(x)+0.1;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以绘制出如以下图形：例3.从三次多项式上找出21个点，然后对这21个点进行“过失处理”，得到新的21个点，根据新的21个点拟合一个新的3次多项式函数，然后和原函数进行比拟。解：在MATLAB命令窗口输入：p3=inline('2.*x.^3-3.*x.^2+4.*x-5');x=-10:10;y=p3(x);e=randn(1,length(x))*80;y=y+e;p=polyfit(x,y,3);xi=-10:0.01:10;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');holdonfplot(p3,[-10,10],'r');5.利用MATLAB的多项式拟合命令polyfit来实现多项式的插值例1.过随机6个数据点，构造5次多项式函数。解：在MATLAB命令窗口输入：x=1:6;y=round(10*randn(1,6));p=polyfit(x,y,length(x)-1);xi=1:0.01:6;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');可以得到以以下图形：6.利用最小二乘法解超定方程组例1．解以下超定方程组解：设超定方程的解为。方法一：点到4条直线的距离平方分别为：，，，设，根据，有：=0=0化简有：解得方法二：最小二乘法：点关于4条直线的残差平方和为：+根据，有：=0=0化简有：解得用MATLAB命令有：symsx0y0f1=4*(2*x0+4*y0-11)+2*3*(3*x0-5*y0-3)+2*(x0+2*y0-6)+2*2*(2*x0+y0-7)f2=8*(2*x0+4*y0-11)-2*5*(3*x0-5*y0-3)+4*(x0+2*y0-6)+2*(2*x0+y0-7)解得：f1=36*x0-6*y0-102f2f2=-6*x0+92*y0-96继续在MATLAB命令窗口输入：A=[36,-6,102;-6,92,96];B=rref(A)x0=B(1,3)y0=B(2,3)解得：x0=3.04029304029304y0=方法三：最小二乘法〔矩阵运算〕针对方程组的最小二乘近似解即为方程组的解于是，在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=inv(A'*A)*A'*b计算结果为：x=3.04029304029304方法四：用MATLAB左除命令“\”在MATLAB命令窗口输入：A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\b即可以得到答案x=3.04029304029304可以看出用MATLAB的左除“\”命令计算得到的答案与最小二乘法得到的答案是一致的。其实，MATLAB的左除“\”命令就是按照最小二乘法的原来来编写的。另外，可以用MATLAB的ezplot命令绘制四条直线的图形ezplot('2*x+4*y=11');holdonezplot('3*x-5*y=3');ezplot('x+2*y=6');ezplot('2*x+y=7');plot(2.99,1.30,'o');A=[2,4;3,-5;1,2;2,1];b=[11;3;6;7];x=A\bplot(x(1),x(2),'*');绘制图形如下：二．函数逼近问题，函数f(x)，求一个多项式函数在区间[a,b]上逼近f(x)。解决方法：函数的最正确平方逼近。令，使Q最小，那么有例1.求一次多项式在上逼近函数。解：构造直线为：，，那么有，解得：a=0.6644389，b=0.1147707在MATLAB命令窗口输入：xi=0:0.01:pi/2;yi=sin(xi);p=polyfit(xi,yi,1);pi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,xi,pi);可以绘制以以下图形：作业：〔1〕用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与以下数据表拟合。xi1925313841yi19.032.349.073.397.8解：方法一，最小二乘法；方法二，用解超定方程组的思路来解题。，根据，有：在MATLAB命令窗口输入：x=[19,25,31,38,44];y=[19,32.3,49,73.3,97.8];A=[5,sum(x.^2),sum(y);sum(x.^2),sum(x.^4),x.^2*y'];B=rref(A);p=[B(2,3),0,B(1,3)];xi=min(x):0.01:max(x);yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi,x,y,'o');绘制图形如下：〔2〕数据表如下，试用二次多项式拟合。xi0123456yi15141414141516〔3〕求一个形如〔a，b为常数，a>0〕的经验公式，使它能和下表数据拟合。xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46解：公式可以变为：lny=lna+bx，进一步可以写为Y=A+bx。其中Y=lny，A=lna，对应表格为：xi11.251.51.752yi5.15.796.537.458.46Yi1.6291.7561.8672.0082.135〔4〕求函数在区间[1/4,1]上的最小一次式。第四章数值积分一．问题提出：〔1〕针对定积分，假设,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。〔2〕被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。二．定积分的几何意义定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。三．机械求积公式1.中矩形公式；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。2.梯形公式梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：3.辛普生公式辛普生公式的几何意义：阴影局部的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。4.求积公式的一般形式，其中称为节点，称为求积系数，或权。5.求积公式的代数精度〔衡量求积公式准确度的一种方法〕含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。定义：假设某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。那么称该公式具有m次代数精度。解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。例1．研究中矩形公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右；故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如以下图所示。例2．研究梯形公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右。故梯形公式也具有1次代数精度。从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如以下图所示。例3．研究辛普生公式的代