2024届广西名校高三数学下学期开学检测考试卷附答案解析

2024届广西名校高三数学下学期开学检测考试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（

）A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，142．如果椭圆的离心率为，则（

）A． B．或 C． D．或3．已知等差数列，若，则（

）A． B．0 C．2 D．44．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（

）A．8个 B．12个 C．18个 D．24个6．已知，，．若，，则（

）A． B． C． D．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（

）A．B．C．D．8．设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（

）A．的一条渐近线的斜率为B．C．（分别为直线的斜率）D．若，则恒成立二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．在上单调递增10．已知，为复数，i是虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则的虚部为B．若，满足，则的最大值为C．若，则D．若，且，则11．已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（

）A．的图象关于对称 B．C．是奇函数 D．与关于原点对称三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合，，则.13．已知的三边长分别为3，4，5，且A，B，C均在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积等于．14．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为．

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.16．随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400(1)是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？(2)若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.63517．如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.18．设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.(1)求抛物线C的方程；(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.19．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，(1)求数列和的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；(3)，数列的前项和为，求证：．1．B【分析】首先根据，，成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样本的平均数和中位数.【详解】解：依题意，解得，故是首项，公差的等差数列，所以此样本的平均数为，中位数为．故选：B．【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题.2．B【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【详解】解：因为椭圆的离心率为，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．或.故选：B．3．B【分析】设出等差数列的公差，结合已知利用公差表示即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由，得，整理得，所以.故选：B4．D【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误，对于B，若，，则或者或者相交，故B错误，对于C，若，，，则或者或者相交，故C错误，对于D，若，，则，又，所以，故D正确，故选：D.5．C【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可.【详解】当首位为2时，这样的五位数有个；当首位为1时，这样的五位数有个.综上，这样的五位数共有个.故选：C.6．B【分析】根据题意分析可得，利用两角和差公式结合指数幂运算求解.【详解】由题意可得，因为，，则，可得，即，则，令，则，整理得，解得或（舍去），即，解得．故选：B．7．B【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确.【详解】由，得，解得，∴函数的定义域为，∵，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD；∵，故排除A，从而B正确.故选：B.8．D【分析】A选项，由等比中项的性质得到离心率，进而得到，A正确；B选项，求出和的斜率，得到，得到；C选项，利用点差法得到；D选项，设直线，与双曲线方程联立，求出，再求出，计算出，判断出结论.【详解】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确；B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点，则的斜率的斜率，所以，所以，故B正确；C选项，设，则，作差后整理得，即，所以，故C正确；D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，，将换成得，则与的值有关，故D错误.故选：D.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.9．BCD【分析】根据三角恒等变换可得，即可代入验证求解对称轴以及对称中心，利用整体法即可判断D，根据周期公式即可求解A.【详解】，对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B,,故的图象关于直线对称，B正确，对于C，，故的图象关于点对称，C正确，对于D，时，，故在上单调递增，D正确，故选：BCD10．BD【分析】对A根据复数虚部的定义即可判断，对B利用复数模的几何意义即可判断，对C，举反例即可，对D，根据复数代数形式的乘法运算以及共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A，的虚部为2，故A错误；对于B，设，，由，得，其表示为圆心为，半径为的圆，，其表示为圆上的点到原点的距离，设圆心到原点的距离为，则，则圆上的点到原点的距离的最大值为，则的最大值为，故B正确；对于C，当，时，，此时，故C错误；对于D，，则，，故D正确.故选：BD.11．ABC【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.【详解】对于选项A，因为是奇函数，所以，即，整理得2，所以的图象关于对称，故A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以，所以，所以，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.12．【分析】根据描述法的集合表示可知，再由交集运算可得结果.【详解】根据题意可知,所以.故答案为：13．【详解】的三边长分别为3，4，5，则为直角三角形，其外接圆半径为，则球的半径，则球的表面积.故答案为：.14．【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，求出的范围.【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，

∵．当时，有且，∴，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，综上，，故答案为：15．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)三条【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解.【详解】（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，设切点为，则，，所以切线方程为.将点代入得，整理得.因为方程有两个不相等正根，所以方程共有三个不相等正根.故过点可以作出三条直线与曲线相切.16．(1)没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异(2)分布列见解析，【分析】（1）根据参考公式，计算的值，并与附表中的数据对比，即可得出答案.（2）求出的所有可能取值及其对应的概率，可得的分布列，由期望公式即可求出的数学期望．【详解】（1）因为，因为，所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（2）选出的男性人数为，选出的女性人数为，由题意可得的所有可能取值为0，1，2，，故的分布列为012所以的数学期望．17．(1)证明见解析(2).【分析】（1）由勾股定理得，由面面垂直的性质得，从而线面垂直判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）取中点O，连接，即可得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值.【详解】（1）由，，得，得，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）取中点O，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的法向量为，由，，则，即，取，则，设平面的法向量为，由，，则，即，取，则，故.故二面角的余弦值为.18．(1)(2),【分析】（1）根据题意得切线方程为：，进而得D为AE的中点，再根据焦半径公式得，进而根据几何关系得，故抛物线C的方程为；（2）结合（1）得，，，，进而得，，再整理，利用换元法结合导数求解最值即可.【详解】（1）解：由题知，，所以，，切点，切线方程为：，令，，所以D为AE的中点，因为根据焦半径公式得：，.所以，，因为，所以，即，所以抛物线C的方程为；（2）解：设，由（1）得方程：①同理方程②，联立①②，所以，因为直线l的方程为：，所以，，所以，所以，，令，∴，令，，当，单调递减，，单调递增，∴，当且仅当时取“=”，此时.所以面积的最小值为，此时的值为.【点睛】本题考查抛物线的切线问题，抛物线中的三角形面积最值问题.考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合第一问设点求切线方程，进而得，，，进而，再利用换元法，结合导数求解最值.19．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）设出公