第06讲 复数的四则运算（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第06讲复数的四则运算【人教A版2019】·模块一复数的四则运算·模块二复数范围内方程的根·模块三课后作业模块一模块一复数的四则运算1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意,,∈C，有

①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有

①交换律：=；

②结合律：()=()；

③分配律：(+)=+.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【考点1复数的加、减运算】【例1.1】（2023下·黑龙江绥化·高一校考期末）已知复数z=1+i，则3+2i-z=A．1+i B．-1+i C．2+i【例1.2】（2023下·陕西商洛·高一统考期末）若复数z1=2+3i，z2=3+A．-1+2i B．1+2i C．-1-2i【变式1.1】（2023下·四川凉山·高一校联考期末）复数z在复平面内对应的点为2,-1，则复数z-3=（

）A．1+i B．1-i C．-1+i【变式1.2】（2022下·高一课时练习）若z+2-3i=3-2i（i为虚数单位），则z=A．5-5i B．1+i C．1+5i【考点2复数加、减法的几何意义的应用】【例2.1】（2023·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=-2+iA．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【例2.2】（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（

）A．5 B．5 C．25 D．10【变式2.1】（2023下·江苏常州·高一统考期末）已知z1,z2∈C，z1=A．0 B．1 C．2 D．3【变式2.2】（2023·高一课时练习）如图，设向量OP，PQ，OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【考点3复数的乘除运算】【例3.1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知复数z=i20231+2i，则A．2-i B．2+i C．-2-i【例3.2】（2023·青海·校联考模拟预测）设复数z=i4-i，则zA．-417-C．-415-【变式3.1】（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）若z=1-2i，则(1+z)⋅z=A．-2-4i B．-2+4i C．6-2i D．6+2i【变式3.2】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知复数z满足z-2i1-i=2，则A．13 B．10 C．3 D．2【考点4根据复数的四则运算结果求参数】【例4.1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数z=1-2ia+ia∈A．-3 B．-13 C．2 D【例4.2】（2022·河南·宝丰县校联考模拟预测）已知i是虚数单位，若复数z=a+i1+ia∈R的实部是虚部的2A．-13 B．13 C．-【变式4.1】（2022·全国·校联考模拟预测）已知复数z=a-2i1+3i(a∈R)的实部与虚部的和为12，则A．1 B．2 C．3 D．4【变式4.2】（2023上·河南驻马店·高三统考期末）已知a，b为实数，复数z=a+2i，若z+bz=2ai，则A．-2 B．-1 C．1 D．2【考点5根据复数的四则运算结果求复数特征】【例5.1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）复数(1+2i)-(3-4iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例5.2】（2023下·湖北黄冈·高二校联考期末）复数z=21+iA．-i B．i C．1 D．【变式5.1】（2023下·江苏无锡·高二统考期末）已知复数z=2+i，在复平面内z1-iA．3,1 B．-3,1C．3,-1 D．-3,-1【变式5.2】（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=-a+2i（其中a∈R）为“等部复数”，则复数z-2aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限模块二模块二复数范围内方程的根1．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；

当=0时，方程有两个相等的实根==-；

当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.【考点1\o"复数范围内分解因式"\t"/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内分解因式】【例1.1】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)x4(2)x4【例1.2】（2022·高一课时练习）利用公式a2(1)x2(2)a4(3)a2(4)x2【变式1.1】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)x2(2)x2(3)3x【变式1.2】（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)x2(2)a2【考点2\o"复数范围内方程的根"\t"/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内方程的根】【例2.1】（2023·全国·高一课堂例题）在复数集C内解下列方程：(1)z2(2)z2【例2.2】（2023下·宁夏银川·高二校考期中）已知复数z1=1+i(1)求z2(2)已知z1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p【变式2.1】（2023上·江西新余·高二校考开学考试）已知关于x的方程x2-ax+ab=0，其中a，(1)设x=1-3i（i是虚数单位）是方程的根，求a，(2)证明：当ba>1【变式2.2】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知关于x的实系数一元二次方程2(1)若m=2，求方程的两个根；(2)若方程有两虚根z1,z2，(3)若方程的两根为x1,x2，其在复平面上所对应的点分别为A,B，点A关于y轴的对称点为C（不同于点A），如果OB模块三模块三课后作业1．（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数z1=2+3i,z2A．-2-2i B．6+8i C．2-2i2．（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数为（A．3+9i B．2+8i C．-9-i3．（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数m>1时，复数m3+i-A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知复数z满足z+iz-2i=2-iA．-32+C．-72+5．（2022下·福建福州·高一统考期中）多项式x2+2x+4在复数集中因式分解的结果是（A．x+1+3ix+1-C．x-1-3ix-1+6．（2023·陕西·校联考模拟预测）复数z=2-i1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知p、q为实数，2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0A．14 B．38 C．-34 D．-148．（2022下·河南商丘·高二校联考期中）若复数z=3+mii2023（m∈R，iA．-3+3i B．C．3+3i D．9．（2023下·河北石家庄·高三校考开学考试）已知-3+2i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+mx+n=0m,n∈RA．-7 B．-11 C．-19 D．13-10．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是OA=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:(1)-1(2)3+2i12．（2023下·安徽芜湖·高一校考期中）已知复数z1=3+4i，z(1)若z=z1z(2)若复数az1+13．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知复数z=m+2+m-2im∈R，z为z(1)求m的值；