2023-2024学年人教A版必修第一册 单位圆与三角函数线 学案

单位圆与三角函数线

学习目标凡事预则立

1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.（数学

抽象）

2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.（数学运算）

'教材认知•内化必备知识,采花成蜜，海茶前行

【情境导学】

江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流

向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，你能想到些什么呢？

将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系（如图所示），设水车

的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角«的终边与单位圆交于点尸，过点P

作尸轴.过点A（1,O）作单位圆的切线，交a的终边或其反向延长线于点T,结合

三角函数的定义，你能得到sina,cosa,tana与MP,OM,AT的关系吗？

一、单位圆与三角函数

1.单位圆:在平面直角坐标系中，坐标满足五耳的点组成的集合.

2.三角函数与单位圆:角a的终边与单位圆相交于点尸（三y）,如图：

贝Usina=j,cosa=x,tana=^.

则角a的终边与单位圆的交点为P(cosa,sina).

«思考

单位圆的圆心和半径分别是什么？

提示:单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1.

二、三角函数线

1.作图：(1)角«的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于入轴,垂足为M.

⑵过A(1,O)作无轴的垂线，交角a的终边或其反向延长线于点T.

2.图示:

3.结论:向量讪此画'分别称为角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函

数线.

后点睛

理解三角函数线应注意以下四点

(1)位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外；

⑵方向:正弦线由垂足指向«的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正

切线由切点指向切线与«的终边(或其延长线)的交点；

⑶正负:三条有向线段中与次轴或y轴同向的为正值，与％轴或y轴反向的为负值;

(4)书写:有向线段的始点字母在前，终点字母在后.

【教材深化】

1.应用三角函数线比较大小的策略

（1）三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角

函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.

⑵比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向.

2.利用三角函数线解三角不等式的方法

⑴正弦、余弦型不等式的解法

对于sinx>Z?,cosx><2（sin后A,cos烂a）,求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y-b或

与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即

可确定相应的范围.

⑵正切型不等式的解法

对于tan定c,取点（l,c）,连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结

合图象可确定相应的范围.

【自我小测】

1.辨析（正确的打“卡,错误的打“X”）

⑴角a的正弦线的长度等于sina.（x）

提示角a的正弦线的长度等于kina|.

⑵对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.（x）

提示：90。角不能作正切线.

⑶余弦线和正切线的始点都是原点.（x）

提示:正切线的始点是（1,0）.

2.（教材改编题）如果％那么下列不等式成立的是（）

4Z

A.sina<cosa<tana

B.tana<sina<cosa

C.cosa<sina<tana

D.cosa<tana<sina

【解析】选C.如图所示,在单位圆中分别作出a的正弦线赤，余弦线丽1,正切线

AT彳艮容易地观察出0M<MP<AT,gpcosa<sina<tana.

3.函数y=12cos%-l的定义域为.

【解析】因为2cos%-GO,所以cosx>|.

由三角函数线画出％满足条件的终边的范围（如图阴影所示）.

所以%£[2所?,2祈+守（左£Z）.

答案:[2E-/2E+/狂Z）

=1合作探究•形成关键能力唐物始得&、成

类型一三角函数线的概念（直观想象）

[例1]分别作出，和的正弦线、余弦线和正切线.

47

【解析】①在平面直角坐标系中作单位圆，如图甲以X轴为始边作♦角,

4

角的终边与单位圆交于点尸，作PM±x轴,垂足为M过单位圆与入轴正方向的交

点A作x轴的垂线，与0P的反向延长线交于T点厕，的正弦线为瓦，余弦线为

4

而，正切线为AT.

②同理可作出一决的正弦线、余弦线和正切线，如图乙，

则的正弦线为加"，余弦线为曲、正切线为ATT).

【总结升华】

三角函数线的作法步骤

(1)作平面直角坐标系和角的终边.

⑵作单位圆，圆与角的终边的交点为P,与％轴正半轴的交点为A.

(3)过点尸作入轴的垂线,垂足为M.

(4)过点A作％轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T.

⑸向量语,画好分别为角的正弦线、余弦线和正切线.

【即学即练】

1角翔角景有相同的()

A.正弦线B.余弦线

C.正切线D.不能确定

【解析】选C角3口角t的终边互为反向延长线，所以正切线相同.

2.(2023.沈阳高一检测)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

(1)7；(2)等

【解析】(1)作出平面直角坐标系与单位圆，交角令的终边于点P,过点p作PMLx

轴于点M过点41,0)作AT±x轴，交角［的终边于点T,如图所示，

6

则角［的正弦线为诉，余弦线为曲，正切线为AT；

(2)因为等=4兀+学所以角等与角争勺终边相同作出平面直角坐标系与单位圆,

交角争勺终边于点P,过点P作轴于点M过点A(l,0)作AT±x轴，交角争勺

终边的反向延长线于T,如图所示，

则角等的正弦线为血，余弦线为胸，正切线为好.

类型二利用三角函数线解三角不等式(数学运算)

［例2］在单位圆中画出适合下列条件的角a终边的范围,并由此写出角a的集合.

⑴sinaN*(2)cosa<-|.

【解析】⑴作直线产苧，交单位圆于A,B两点，连接。4。民则OA与OB围成的区

域(图⑴中阴影部分)即为角a的终边的范围.

故满足条件的角«的集合为{a12Ml+^<a<2/cn+表6

⑵作直线％=+交单位圆于两点，连接0C与OR则OC与OD围成的区域（图

⑵中的阴影部分）即为角«的终边的范围.

故满足条件的角«的集合为卜|2瓦+等<a<2丘+詈白Z}.

【总结升华】

用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤

⑴作出取等号的角的终边;

⑵利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围;

⑶将图中的范围用不等式表示出来.

提醒:求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式（组），然后借助三角函

数线解此不等式（组）即可得函数的定义域.

【即学即练】

（2023•东营高一检测）函数y=lg（2sinx-1）+Vl-2cosx的定义域为.

sin%>-

【解析】要使原函数有意义,必须有即如图,

cos%<-

在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知,

2kn+-<x<2/CTT+—,(/c£Z)

解集为66

2kn+^<x<2kTr+g,(keZ)

取交集可得原函数的定义域为［2析+*2析+当（左£Z）.

36

答案:［2E+：2E+纪）（左金Z）

36

【补偿训练】

函数*%）=lnsin%+V16-%2的定义域为.

【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得已6-/方。,解得，

Isinx>0

f-4<%<4

U；<x<2而+W口产°41时，不等式组的解集为［-4,-兀）U（Om）,

故/（%）=lnsinx+716-/的定义域为［-4,-兀）U（0,兀）.

答案:［-4,-兀）U（Om）

类型三三角函数线的综合应用（逻辑推理、直观想象）

［例3］已知a£（0,］）,求证:l<sina+cosa样.

【证明】如图，设角a的终边与单位圆交于点尸®y）,单位圆交工轴于点A交y轴

于点B,

连接AP,和过P作PMLx轴，P轴,MN分别为垂足.

贝UMP-y-sina,OM-x^cosa.

在△OMP中,0河+四尸〉0尸,所以sina+cosa>l.

因为SAOAP-^-OA-MP^sina,S^oBP^-OB-NP^-cosa,S扇形AOB=%X12=；,

222244

又S/^OAP+SAOBP<S扇形AOB,所以=sina+^cos即sina+cosa<^.

2242

所以l<sina+cosa<-.

【备选例题】

已知a£（0,三）,试比较sina,a,tana的大小.

【解析】如图所示,

设角a的终边与单位圆交于点P,单位圆交工轴正半轴于点A,作PMLx轴，

作AT±x轴，交a的终边于点T,由三角函数线定义，

得sina-\MP|,tana=|AT|,令AP的长为/厕&=/,所以S"OP=，|0A|.|MP鸟sina,

1——>111——»——►1

s扇形AOP