2024届五年高考数学（理）真题分类训练：十三 推理与证明

专题十三推理与证明

考点38推理与证明

题组

一、选择题

1.12022全国卷乙，5分］嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探

测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球

绕日周期的比值，用到数歹式匕工:九=1+工，b2-1+,历=1+

%a1+-

——，…，依此类推，其中以6囚*(左=1,2,...).则(D)

A.瓦<b5B.b3<b8C.b6<b2D.匕4<by

［解析］解法一当n取奇数时，由已知瓦=1+2，.=1+江J1，因为">

的S+言

——'一，所以九>b3,同理可得匕3〉匕5，为>岳，…，于是可得瓦>b3>

ai+------「

S+西

b5>b7>•••,故A不正确.当n取偶数时，由已知％=——二，b4-1+

于是可得匕2<b4cb6cb8V…，故C不正确.因为工>二=，所以瓦>b2，同

的at+—

理可得3>b4理>b6,b7>b8，又出>b7，所以行>b8，故B不正确.故选D.

解法二不妨取以-1,则瓦=1+;=2,人2=1+^=1+t=1+：=|,

历=1+77^~=1+5=1+：=]所以%=1++=1+|=?，b5-1+

1+-=1+-=-.逐一判断选项可知选D.

b73434

2.［2022全国卷甲，5分］沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其

中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，加是以。为圆心，。&为半径的圆

弧，C是ZB的中点，。在上，CD1ZB.“会圆术”给出的弧长的近似

值s的计算公式：s=2B+*.当。a=2,乙4OB=60。时，s=(B)

D

C9-3bD9-4行

,2,2

［解析］由题意知，△OAB是等边三角形，所以=04=2.连接0C,因为C

是2B的中点，所以。C12B,0C=<OA2-AC2=V3,又CD12B,所以

0,C,D三点共线，所以CD=0D—0C=2—W，所以s=2B+/=2+

0A

2

生包=上越.故选B.

22

3.［2020北京，4分］2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(nDay).历史

上，求圆周率a的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家

阿尔•卡西的方法是：当正整数律充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周

长和外切正6zi边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平

均数作为271的近似值.按照阿尔•卡西的方法，71的近似值的表达式是(A)

A.3n(sin—+tan—)B.6n(sin—+tan-)

C.3n(sin—+tan—)D.6n(sin—+tan—)

\nnJ\nn/

［解析］单位圆的内接正.边形的每条边所对应的圆周角为襄=邛，边长为

2sin—,所以单位圆的内接正6孔边形的周长为12nsinH,

nn

单位圆的外切正671边形的边长为2tan”，其周长为12ntan”，

nn

3030

12nsin——+12ntan——

所以2n—71n=6n(sin—+tan—),

2\nn/

贝UTC=3n(sin—+tan—).

\nn/

故选A.

4.［2019全国卷I,5分］古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度

与肚脐至足底的长度之比是亨(号~0.618,称为黄金分割比例)，著名

的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐

的长度之比也是苧.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,

头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是(B)

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

［解析］如图所示.

由题意，可认为48、26cm.

由”=75^1X0618得BCX—〜42(cm),

则AC^AB+BC-68(cm).

由上二邑x0,618，得CD~4x110(cm),

CD20.618

则2。^AC+CD-178(cm).

由选项可知175cm最接近.

【速解】由于维纳斯为欧洲美女，黄金身材，故猜测不可能为185cm,190cm,

而欧洲女人165cm偏矮，故猜测为175cm.

二、填空题

5.［2021浙江，4分］我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明,弦图是

由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所

示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为X，小正方形

的面积为$2，则1=25.