2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第四章 数列 单元测试卷（含答案）

苏教版（2019）选择性必修一第四章数列单元测试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

,

1、用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2=工n∈N,则当〃=Z+1时，左端应在

2

〃=%的基础上加上()

A.⅛2+lB.(⅛+I)2

22

C.(^+1)+(Λ+2)..∙+(⅛+1)p(⅛+l∕+(⅛+l∕

2、已知数列｛α,,｝中，4=1,—•—%1=l("eN"),若%=，•，则m=()

∙a,,10

A.8B.9C.10D.11

3、甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客

行动不便，希望座位靠过道.已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号

码符合甲、乙两位旅客要求的是（）

12345

678910

过道

窗口窗口

1112131415

••••••••••••…

A.21,28B.22,29C.23,39D.24,40

4、已知数列｛α,,｝满足%+∣=2α,,+2"+∣,则下列结论正确的是（）

A数列｛畀是公差为!的等差数列册

B.数列是公差为1的等差数列

2”

a是公比为L的等比数列a

C.数列nD.数列n是公比为1的等比数列

2"22"

5、已知数列｛。“｝满足为“+1=a“+a“+2（〃eN*）,且q+4+阳=2兀，则

cos(07+629)=()

I

B

2∙4Da

6、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行

走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所

走的路程里数是().

A.110B.120C.130D.140

7、设等差数列｛α,,｝的公差为d,若”=2册，则"△<()”是“%<25eN*)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8、若数列｛%｝满足a；-α]∣=d(其中d是常数)，则称数列｛%｝是“等方差数列已

知数列也｝是公差为m的等差数列，则“以=0”是“也｝是等方差数列”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

9、在数列｛%｝中，若q=2,α,+∣=l-，(〃wN)S”是数列｛4｝的前〃项和，则S2021等

an

于()

A.2022B.2024C.1011D.1012

10、已知数列｛%｝为无穷数列，由人个不同的数构成.若对任意的〃∈N*,S,,∈｛2,3｝,

则女的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

二、填空题

11、数列｛%｝满足%+∣=5α,+3χ5"",q=6,则数列｛4｝的通项公式为.

12、已知数列｛4｝的各项均为正数，4=2,an+l-an=-^-,则可=.

13、已知函数〃X)=舟(XGR),等差数列｛α,,｝满足4022=0,则

“4)+"«2)+/&)++/(«4043)=-----------

14、正项数列｛4｝的前〃项和为S",且有S,=g%+，)，则S,,=.

15、已知α,b,C三个数成等差数列，函数/(X)=2"3Y+1的图像过定点A,函数

g(x)=l0g2(x+M的图像经过点A,则函数g(x)=log2(x+〃z)的定义域为

16、若数列｛〃“｝的前几项和=2"—1,贝!jq%+出4+%/+÷ana,^∖-.

三、解答题

17、已知S,,为数列小的前〃项和，4=1,1｝｝是公差为1的等差数列.

(1)求｛0,,｝的通项公式；

(2)证明：∙L≤J-+JL++-1—<1.

3ata2a2aiana,l+i2

18、已知等差数列｛αj中a?=7，¾=13.

(1)求数列｛α,,｝的通项公式；

(2)若勿=—5—，是否存在正整数根，使得",“=2粼+1,若存在，求出机的值；若

6-a“

不存在，说明理由.

19、已知等差数列｛g,J满足q=1,且03+α7=18.

(1)求数列｛α,,｝的通项公式：

(2)设％=」一，求数列也｝的前〃项和

aa

nn+∖

20、已知(l+2x)"的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列.

(1)求〃的值；

(2)求(l+2x)"(l-x)2的展开式中Y的系数.

参考答案

1、答案：C

解析：当"=Z时，等式左端为1+2+3+…+公，

当〃=左+1时，等式左端为1+2+3+…+%2+(F+I)+(F+2)+-+(Z+I)2,

.∙.左端应在〃=Z的基础上加上(公+1)+92+2)+...+(k+1)2.

故选：C.

2、答案：C

解析：依题意，"CN*,-=_L__L=1,而_L=1,

a.+ι∙4an+lanal

因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，=l+(〃-l)xl=〃，即

IAJ4

1

an~~'

n

由4”得/”=10,所以Tn=I0.

mm10

故选：C.

3、答案：A

解析：左侧窗口的座位号可以构成以1为首项，5为公差的等差数列{q},其通项为

aπ=5n-4,

靠右侧窗口的座位号可以构成以5为首项，5为公差的等差数列{〃,},其通项为

勿=5〃；

左侧过道的座位号可以构成以2为首项，5为公差的等差数列{%},其通项为

%=5〃-3,

右侧过道的座位号可以构成以3为首项，5为公差的等差数列{d,,},其通项为

dn=5〃-2；

则符合甲旅客要求的是q=5〃-4,bfl=5n;符合甲旅客要求的是C“=5几-3,

dn=5〃-2；

所以座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是21,28.

故选：A.

4、答案：B

解析:因为。用=24+2叫

故可得巴号=空+1,...M一殳=1,

2“+∣2"+ι2"+∣’2〃

畀是公差为1的等差数列.

故选：B.

5、答案：B

解析：由题意知，2a“+]=an+an+2,

由等差数列的等差中项，得数列｛an｝为等差数列,

2兀

又+%+。]3=2兀，所以4=—，

=—

J9τ以cos(tz7+%)=cos-ʒ-=_cos—.

故选：B.

6、答案：D

解析：由题意设此人第一天走％里，第二天走〃2里，，第〃天走氏里，｛4｝是等差

数列，首项是4=100,

因为Sg=式号@=生|"=9%=1260,所以生=140.故选：D.

7、答案：C

解析：充分性：若d<0,则α,,+∣-4=4<0,即α,,+∣<α,,,2%，即勿+ι<∕,所

α,wlα

以充分性成立；必要性：若b,+]<b,,，BP2<2",/.an+l<an,则0-a“=d<0,必

要性成立.因此，“d<0”是“限9“”的充要条件.

故选：C.

8、答案：C

解析：若相=0,则也｝为常数列，满足f-%=0,所以也｝是等方差数列，充分性

成立，

因为也｝是等方差数列，所以b"%=d,则(2+如)(4-如)”，

因为数列也｝是公差为m的等差数列，所以b"一”ι=m,

所以+%)=d,由于力+%=2b1+(2M-3)J,

当d/0时，2+dτ=24+(2〃一3”随着n的改变而改变，

机=—^不是定值，不合要求，

"+hi

当d=0时，d+"τ=2优为定值，此时加=0满足题意，

综上必要性成立.

故选：C.

9、答案：D

解析：∙.∙ai=2,4=(，%=—1，4=2，…，

•••数列｛α,,｝是以3为周期的周期数列.

3

又4+〃2+/=5，2021=3x673+2,

.∙.S202ι=673(β1+%+¾)+tz1+a2=1012.

故选：D.

10、答案：B

解析：由题意4=2或3,由于S.∈｛2,3｝,则当S〃=2时，%M=0或1,S,,=3时，

%=。或-1，

因此数列｛%｝,从第2项开始，最多只有3个不同的数：-1,0,1,只有为可以取2

或取3,因此｛α,J中最多只有4个不同的数，即％的最大值是4.

故选：B.

9

n

11、答案：an=(3n--y5.

解析：∙.∙*=5∕+3χ5"+l所以翳喙+3,即制号=3,

・•.申是等差数列，而年=∙∣,

所以*=^+3(n-1)=3〃—',

9

所以α,,=(3〃一］)∙5".

9

故答案为：a“=(3〃—*5'.

12、答案：2yfii

解析：由题意可得匕「。；=4,才=4,所以数列｛"｝是以4为首项，4为公差的等差

数列，所以a；=4+4(〃-1)=4〃，得an=2C.

故答案为：2册I.

4043

13、答案:

2

γ2-t2*1

解析：/(ɪ)+f(-χ｝=^-+--=^+—!—=1.

J')V,2Λ+12-V+12Λ+12Λ+1

依题意｛可｝是等差数列，

令S=∕(q)+∕3)+∕(q)++/(a4m3),

S=/(。4043)+/(。4042)+/(β4O4l)++/(。1)，

结合等差数列的性质，两式相加得2S=l×4043,S="”.

2

故答案为：幽.

2

14、答案：G

人1,1、

解析：依题思4>0,S=-a+一，

n21n%J

1(1A

当〃=1时，4=—q+—=>4=1,

21aι√

当〃≥2时，25,,=S11-S11^+—ɪ-,Srt+S,τ=—^―，

ɔn—^3n-∖1ɔn一ɔM-I

s；-S3=l,所以数列｛S；｝是首项为S；=a；=l,公差为1的等差数列,

所以S；=〃，S〃=VEN)

故答案为：Jn

15、答案：(-2,+oo)

解析：因为α,4c成等差数列，所以20=α+c,

所以/(x)=2WA2)+晨当χ=2时，/(2)=20+l=2,

所以函数/(x)的图像过定点A(2,2),

所以g(2)=log2(2+加)=2,解得zn=2,

所以g(x)=log2(x+2)，

令x+2>0,则x>-2

所以函数g(x)的定义域为(-2,+∞)∙

故答案为：(-2,+oo).

,..2×4"-2

16、答aλ案：--------

3

解析：当“=1时，d1=S1=I;当N≥2时，an=Sn-Sl^=2"-2"-',〃=1时也适合，则为

a2(1-4")2(4"-1)2x4"-2

则,Λ+ι=2"τ.2"=gX4"，ala2+a2a,+a,a4++anan+l=

1-433

17、答案：(1)an=2n-∖,n≥∖

(2)证明见解析

解析：(1)因为4=1,所以S∣=q=19

是公差为1的等差数列,

n

所以-ɪ=1+(〃-I)XI=

n

故5.=7?,

当〃≥2时，4=S“-S„_,=/_(〃_1)2=2〃-1,

显然4=1=2x1-1,

所以〃“=2〃-1,n≥l.

⑵_L.=______!_____=Ip______kɔ

anall^(2/7—1)(2∏+1)2∖2n-12n+l)

IlɪɪI.111

所以----1--------------FH---------------=-1-—+———+…•+---------------

aaaa

∖2生〃3nn+∖2(3352/?-12/1+1

=L1，11

2I2«+12^2(2π+l)

随着〃的变大’『彘品变大‘故当I时'ɪ1

取得最小值,

22(2w+l)

最小值为!一,=L1且T一骑扁

263

,,11111

⅛-<——+——++-------<-.

3ol02a2a3“M,+ι2

18、答案：（1）。“=2〃+3

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

由L=7,

α1+4J=13

得4=5,d=2,

所以α,,=5+