模拟试卷汇编10 立体几何-2022-2023学年高三数学模拟考试试卷汇编（新高考）

模拟试卷汇编10：立体几何解析版

一、单选

1.（2022年广东省高三大联考模拟试卷）我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑

屋顶主要有虎殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、蠡顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大

特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露

没有变化.硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2）,其高为IOm,CG到平面ABB∣4的距

离为L5m,AB为4m，则可估算硬山式屋顶的体积约为（）

Ci

口

图2

C.45m3D.60m3

【答案】B

【解析】

【详解】解：如图，过C作于。，

由题意可知，在直三棱柱中，CG到平面ABBlA的距离为1.5m,

即CD=I.5m,又CCl=IOm,Aβ=4m

2

所以该柱体体积为V=5ΔABC∙CC,=→4×l,5×10=30m.

故选：B.

2.（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧

面积的比值是（）

1+241+211+211+44

A.-----B.------C.------D.------

4乃2ππ2"

【答案】B

【解析】

【详解】设圆柱的底面半彳仝为，圆柱的高为〃,

圆柱的侧面展开图是一个正方形,

/.2πr=h，

，圆柱的侧面积为2πrh=4π2r2>

圆柱的两个底面枳为2万，，，圆柱的表面积为2万产+2万厂〃=2万/+4π2r2，

2πr2÷4π2r2_1+2æ

•••圆柱的表面积与侧面积的比为:

4√r21π

故选：B.

3.（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图所示，在平行六面体ABC£>—45Cid中，M为AICl与BQi

的交点.若AS=α,AD=b，AA=c，则下列向量中与BW相等的向量是（）.

11,

B.-ClΛ—b+C

2222

111,

C.---D.—a——b+c

222

【答案】A

【解析】

11-11

【详解】BM=BA+ΛΛi+√4∣Λ∕=-ci÷c÷-(√41β∣÷∕41Z51)=—a÷c4--(Q+b)=——++c,

故选：A

4.（2022年福建省德化一中高三模拟试卷）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱

柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体

称为“鳖腌”，如图在堑堵ABC-44G中，AClBC,且AA1=AB=2.下列说法错误的是（）

A.四棱锥B—AACG为“阳马'’

B.四面体AGCB为“鳖腌”

C.四棱锥6—AACG体积最大为:

D.过A点分别作AE1∙A］于点£,ARJ.AC于点F,则EbLA1B

【答案】C

【解析】

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵

所以在堑堵ABC-AEG中，AClBC,侧棱A41J∙平面ABC,

在选项A中，因为AA_LBC,ACJ.BC,且AAAC=A,则BC上平面AACC，

且A41C∣C为矩形，所以四棱锥8—AACQ为“阳马”，故A正确；

在选项B中，由AG∙LBC,AaJ.GC且CCBC=C,

所以A1C11平面BB1C1C,所以，BCi,则VABG为直角三角形，

由BCl平面AAGC,得A4BC-CG6为宜角三角形，

由“堑堵”的定义可得-AGC为直角三角形，所以四面体ACCB为“鳖腌”，故B正确；

在选项C中，在底面有4=AC2+3C2≥2AC•8C，即AC∙BC≤2,

当旦仅当AC=BC时取等号，

则匕×BC^-AA×AC×BC^-AC×BC≤-,所以不正确；

Fi-∕A1JAΛCWC∣-3SA∕i∣AΛCVC-∣ɜIi33C

在选项D中，由BCl平面AAGe,则BCLAEAF_LAIC且AC∩3C=C,

则AEJ_平面ABC,所以

乂AELAf且AFCAE=A，则平面AEE，则AB_LEF,所以D正确.

故选：C.

5.(2022年河北省衡水中学高三模拟试卷)已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积是底面积的2倍，则

圆锥的体积为()

A.6万B.6Λ∕3万C.96兀D.I2π

【答案】C

【解析】

1,

【详解】解：设圆锥的高为小母线长为/,则圆锥的侧面积S=-X2乃H=2万产，故

2

l=2r=6,h=√Z2-r2=3√3，故圆锥的体积V=^πrλh=96兀.

故选：C.

6.(2022年江苏省高三模拟试卷)在空间直角坐标系。一取Z中，已知圆A:(x-2)2+(y-1)2=1在平面χθ)

内，C((V,2)(f∈R).若A04C的面积为S,以C为顶点，圆A为底面的几何体的体积为V,则上的最大

S

值为()

δ√5r2√5,2√5n√5

A.—itB.-------itC.-------TUD.—Tt

101553

【答案】B

【解析】

【详解】因为圆A：(%-2)2+(>-1)2=1的方程，所以A(2因).故OA=J2?+『=5C((U2)到。一盯平

面的投影为C'((),。，过C'作Q4垂线交与点。，故CD是404C的高，：X-2y=0,所以C到直线04

,∣-2f∣∣-2z∣I/∣2∕∣VI

的距离为d,"=而上=石故3干+(胃J=,4+*，所以

SoAC=6x^4+*xg=J？7^∙因为圆A的底面半径为1，所以圆A底面积S=兀xf=π,又

2

π

C(O√,2),所以V=IS∕z=2π.V=3,当r=o时，历M取得最小值为JL故

335^√W

（V）2√5

—=------兀.

）MAX15

故选：B.

7.（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，

从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是

矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖膈”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑

堵”ABC-A4G，其中ACUBC,若A4=AB=2,则“阳马”B—A∣ACG的体积最大为（）

_4

B.2C.一D.4

3

【答案】C

【解析】

【详解】由题意知：BCl平面AACG，设3C=X,则有AC=JAB2_3C2=J4-Y，

ɪ1/2/

匕一”…=§xx2x"ZXF=，0<x<2；

考虑（%_AACG）2=1X-（4-X2）是关于/开口向下的二次函数，当V=2时取得最大值，最大值=

4.,.X16

—×2×^z4-2）=,

4

∙*∙B-AiACCi的最大值为1:

故选：C.

8.（2022年河北省高三大联考模拟试卷）如图，在棱长为2的正方体ABC4耳GA中，E是侧面

GC内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三角形AEDl的面积无最大值、无最小值

B.存在点E,满足AEJ∙8∣E

C.存在有限个点E，使得三角形AEA是等腰三角形

D.三棱锥8-AER的体积有最大值、无最小值

【答案】B

【解析】

【详解】选项A中，边A?的长度为定值，三角形AEA面积与点E到A2的距离有关，

当点E在线段BG上时，距离最小，此时面积取得最小值，在端点4,C处的距离最大，

此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），所以A不正确；

选项8中，若AE，与E,可得点E在以4A中点为球心，、反为半径的球面上，

因为以BlDt为直径的球面与侧面BBCC有交,所以存在点E,满足RE±BlE,

所以B正确；

选项C中，三角形AEDl是等腰三角形，当AE=D1E时，点E在AD的中垂面上,且E在侧面BBGC上,

所以点E的轨迹是线段与C（不含端点），有无穷多，所以C不正确;

选项。中，由％.AW∣=%τ%=；Szu皿•//,高人不存在最大值（不包含端点）和最小值，所以D不正

确.

故选：B.

9.（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知一圆台高为7,下底面半径长4,此圆台外接球的表面积为1（）（）乃,

则此圆台的体积为（）

c“259262

A.84ZrB.86ττC.------TlD.------Tt

33

【答案】C

【解析】

如图为圆台及其外接球的轴截面，。为外接球球心，A,8为等腰梯形的下底和上底的中点，所以他=7,

ABlAC^

因为外接球的表面积为IOO万，所以外接球的半径为OC=5,圆台下底面半径为4,所以AC=4,

Ao=J52-42=3,则QB=4，BD=√52-42=3-即圆台上底面半径为3,所以圆台的体积为

222

i×7×^×3+π×4+J兀义32义兀χ4）=.

故选：C.

10.（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知三棱柱ABC-A4G的底面是等腰直角三角形，

AAJ■底面ABC,AC=8C=2,AΛl=4,点。在上底面AB∣C∣（包括边界）上运动，则三棱锥。-ABC

的外接球表面积的范围为（）

B.[9π,24π]

D.彳寺兀，8兀]

C.--π,24π

_16

【答案】A

【解析】

【详解】如下图所示:

因为一ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2,所以，ABC的外接球的截面圆心为AB的中点Q，且

AO1=√2.连接。「与4片的中点£,则0E∕∕A4∣,所以QE，面ABC设球心为0,由球的截面性质

可知，。在OlE上，设。。=x,DE=f(θ<Z≤√2),半径为R,因为Q4=OZ)=R,所以

,2+χ2=J(4-X)2+*,

7R1Q1

所以产=8x—14,又0≤f≤J5,所以解得一≤x<2.因为W=2+/,所以J<R2≤6,所以当R2=J

41616

Ql

时，外接球表面积最小为4兀/?2=一兀，当R2=6时，外接球衣面积最大为4兀代=24兀,所以三棱锥O-ABe

4

一81"

的外接球表面积的范围为—π,24π.

4

11.(2022年广州市第十七中学高三模拟试卷)在三棱锥A—JBCD中，ADj.平面BCD,

TT

ZABD+NCBD=—，BD=BC=1,则已知三棱锥A—6Cr)外接球表面积的最小值为()

2

2√5+l√5+l2√5-l√5-l

Aδ.-----------πrB.----------πγC.-----------πnD.---------π

4242

【答案】B

【解析】

【详解】如图，设NA8D=a,NCBD=0,K为Z∖8CO的外心，。为三棱锥A—BCD外接球的球心,

则OKL平面8C。，又ADJ_平面BC。，所以OK〃AO,KZ)U平面BCD，则OK_LoK,四边形

OKZM是直角梯形，

设OK-h，DK-r，OD-R-

由ADj_平面8。。，BDU平面BCO，得ADi必,

ɔ.β1

1β2sin—即,

则AD=tana=------,CD=2sin-,ɔ____2Σ下,

tanβ22r2cos-

sinβ2

h2+r2=R21

又〈2，，则"=大A。，

(AD-h)72+r2^R22

叱=八当2=1+_^=_1_+CO/0」+3-

24cos2—4tan2β2(1+cosβ)4(1-cos2∕?)44(1-cos2/?)

^2

令，=3-2cos/?,则cos/?=~-∕∈(L3),

-1r_11>11_1+1_V5+15

4t2-6t+545_-442(3-√5)8，当且仅当，=：，

，十二一u2.ItoI

即f=逐时等号成立,

所以三棱锥A-BCD外接球表面枳S=4兀R2>4ZΓ×避上ɪ=避上ɪ

82

故选：B.

二、多选

12.（2022年广州番禺高三模拟试卷）己知三棱柱ABC-44G的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与

底面垂直，其外接球的表面积为16〃，下列说法正确的是（）

A.三棱柱ABC-AlθlCl的体积是为5

2

B.三棱柱ABC-AgG的表面积是18

C.直线ABl与直线AG成角的余弦值是之姮

D.点A到平面ARC的距离是巫

2

【答案】AC

【解析】

【详解】如图所示，三棱柱的上下底面正三角形中心分别为A,D,

因为三棱柱ABC-48∣G底面是边长为3等边三角形，侧棱与底面垂直,

所以其外接球的球心O为高。R的中点，

设外接球半径为A,由4万/?2=16〃得R=2,

又因为BD=2χ与3=5故Or>=1,所以。R=2,

32

所以三棱柱的体积V=-∙32-2=晅.

42

三棱柱的表面积S=3x3x2+2χX3χ32=18+%8.

42

因为所以ZBAC是与ABl成的角也就是与成的角，

AC//4G,tACA1C1ABI

因为M=4。=屈，AC=3,所以COSN耳4C=∙=

所以直线ABl与宜线AG成角的余弦值是士叵.

26

设A到平面4BC的距离是力，由匕M8C二^A1-AffC得L/zxL里3,2』，

32234

解得/7=M.

43

故选：AC.

13.（2022年江苏省高三模拟试卷）在棱长为2的正方体ABC。一A山IGol中，正方形ABCO的中心为E,

且圆E是正方形ABe。的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BBl上一点（不可与8,为重合），”为棱4田

的中点，则（）

A.IWfl∈[2,2√21B.ZiBEG面积的取值范围为（0,√2]

C.EH和FG是异面直线D.EG和尸”可能是共面直线

【答案】AD

【解析】

A：当户为AB中点时，HF最小为2,当尸为Cr）中点时，Hb最大为2&，正确；

I5

B：由SBFG=]X3EX旦G=^-与G∈（0,√Σ）,错误；

C：由图，当F在圆上运动过程中，定直线E”和尸G可能相交，故不一定为异面直线，错误；

D：由题设知EGU面反片，而尸在圆上运动过程中FH和向EB旦可能相交，故EG和尸4可能相交，则

EG和F”可能是共面直线，正确.

故选：AD

14.（2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知ABC。-ABlGA为正四棱柱，底面边长为2,高为4,E,

P分别为AA-8用的中点.则下列说法正确的是（）

A.直线AA与平面OCe。所成角为巴

6

B.平面A8Q〃平面50G

C.正四棱柱的外接球半径为卡

D.以。为球心，2&为半径的球与侧面BCl用的交线长为π

【答案】BCD

【解析】

【详解】解：对于A：由正四棱柱的结构特征可知，则NAAo为直线AQ与平面OCClA所成角，

因为tanNAAO=KK=S,所以直线AR与平面OCGA所成角不等于生，故A错误；

DD∖，6

对了B：山正四棱柱的结构特征可得，BB∖"DD∖,BBl=DDI,

则四边形BBQo为平行四边形，可得BRHBD,

Q8。u平面BDC-BlDlu平面BDel,

.∙.4。〃平面BoCI,

同理可证ABl〃平面BOG，

又AB「BQ=BI,且AB∣,BlDlU平面ABQ∣,

平面AB1D1//平面BDC1,故B正确；

对于C：正四棱柱ABeD-A耳GA外接球的直径即为其体对角线，

所以其外接球的半径H=,87巨K=J4，故C正确；

2

对于D：点。到侧面BCC∣4的距离为2,易得交线轨迹与圆相关，设r为球与侧面BCC1B1交线轨迹的半

球与侧面3CG4的交线轨迹是以。为圆心，2为半径的!圆弧，平面图如下图所示:

故交线长为乃，故D正确;

故选：BCD

15.（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）在直角梯形ABC。中，ABHCD,CDlBC,

AB=2BC=2CD=2,E为AB中点.以DE为折痕把VA£>E折起，得到四棱锥P-BCr>石，如图所示,

则（）

B.当尸C=百时，平面PECJ_平面

C.当PC=T^时，面尸。C与面BC。的夹角的正切值为J5

D.当PC=0时，P3与面BCr）所成的角为.

6

【答案】AB

【解析】

【详解】对于A选项，翻折前，由题意可知CD〃班且S=M,CDLBC,

所以，四边形BCDE为矩形，则BC//DE,

QAB//CDW∣JBC1ΛB,则Z）ElAB,

翻折后，对应地有DE_LBE，DEA.PE.∖BC±BE,BC上PE,

BECPE=E,BE、PEU平面PBE,；.BC工平面PBE,A对；

对于B选项，因为四边形BCDE为矩形，SC=CD=I,

所以，四边形BCOE为正方形，所以，BD上CE，

当PC=当时，因为PE=1，则PE?+CE?=PC?,.∙.PE上CE,

因为BCLPE,CEBC=C,CE、BCU平面BCDE,:.PE上平面BCDE,

QBDU平面BCDE,..BDLPE,

BD±CE,CEcPE=E,CE、PEU平面PCE，.∙.B0,平面PCE，

QBDU平面PBD，故平面PBDJ_平面PCE.B对；

对于C选项，当PC=百时，PEL平面BCDE,

∙.CDU平面BCDE,:.PEYCD,

因为四边形BCDE为正方形，则OEIcD，

PE∖DE=E,PE、DEU平面PDE，∖CDA平面Pr）E，

所以，面PDC与面BCD的夹角为NPDE，

因为P£J_平面BCr>£,OEU平面PCQE,则P£J,OE，故tanNPDE=——=I,C错;

DE

对于D选项，过点P在平面PBE内作FA_L8E，垂足为点尸，

设∕PEF=e,其中0<。<兀，

因为BCl平面PBE,PFU平面PBE,；.PF上BC,

PF上BE，BECBC=B,BC、BEU平面BCDE,PF_L平面BCDE,

所以，PB与平面BCD所成角为NPBF，

EF=COS6,PF=Sin8,BF=BE—EF="COS6，

由勾股定理可得。尸=3。2+8尸=1+（1_85。）2,

因为CFU平面BCDE,..PF±CF,.∙.PC2=PF2+CF2,

ɔ1JT

所以，sin?6+1+（1—COSey=2,可得CoSe=a，因为O<e<π,则e=5，

TT

又因为PE=BE=I,所以，ZxPBE为等边三角形，故NPBF=一，D错.

3

故选：AB.

16.（2022年广州附属中学高三模拟试卷）棱长为4的正方体ABCD-AiBiCiDl中，E,P分别为棱AA1,

AA的中点，若4G=2B∣C(O≤2(1),则下列说法中正确的有()

A.三棱锥F-AEG的体积为定值

B.二面角G-Eb-A1的正切值的取值范围为半，2及

C.当;I=L时，平面EGG截正方体所得截面为等腰梯形

2

D.当4=’时，EG与平面BCC∣4所成的角最大

4

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A,因为4G=∕L4C可得点G是线段BC上的一个动点，

又因为正方体ABCD-ABICR中，平面BCC1B1//平面4。。同，BCU平面BCGBl,故BC〃平面

ADD1A,所以点G到平面ADD1A的距离为定值，

而SEFA=2,所以三棱锥

^G-EFAi是定值，又因为％-EFA=%-AEG，

故三棱锥F-AEG的体积为定值，A正确；

对于B,当2=1时，点G与点C重合，

此时CE尸,..A1M都是等腰三角形，设M为EE中点，则AM_LERCMLEF.

则NAMC为二面角G-EE—AI的平面角，Λ1M=∣^F=√2,Λ∕C=√32+4-2=√34,Λ1C=4√3,

则AM'+MG?-4。2=-12<0,即NAMC为钝角，

此时：面角G—EF—4的平面角大于90°，

此时二面角G-EF-A∣的正切值小于0,所以B不正确;

11

对于C中，'1U=-时，此时BG=-BC即点G为BC的中点，如图所示,

2211

连接BC1,FC∣,EB,此时8C∣cB∣C=G,

在正方体中ABC。-AB£2，因为E,尸分别为棱AA,AA的中点，

可得EF//AD1//BCl,且EF=^BCi,

在直角Z∖ABE中，可得BE=+松=2区同理£/=JGD：+口产=2区

所以四边形BGFE为等腰梯形，即平面EGG截正方体所得截面为等腰梯形，所以C正确;

对于D,设N为B乃的中点，连接EN,GN,则EN_L平面BCC4，BiN=2,

则NEGN为EG与平面BCCIBl所成的角,

当4=；时，BlG=；Bc=-s∕2,

在RL.B∣BC中，NBBc=々,故NG=J2?+2—2χ2χ√∑χ也=&，

4\2

22

即B1G+NG=用N?,则NGJ_，即；I=；时，NG最小，

EN2

故tanNEGN=----=-----,当NG最小时，tanNEGN最大，

NGNG

即当;I=J■时，EG与平面BCG4所成的角最大，D正确，

4

故选：ACD

17.（2022年广东省高三大联考模拟试卷）如图，棱长为2的正方体ABCD-44G。中，P为线段3Q上

动点（包括端点）.则下列结论正确的是（）

A.当点P在线段BQ上运动时，三棱锥48D的体积为定值

B.记过点P平行于平面4B。的平面为a,α截正方体A8CD—A4G2截得多边形的周长为3亚

C.当点尸为BQl中点时，异面直线AP与BO所成角为T

D.当点P为用R中点时,三棱锥P-ABO的外接球表面积为IE

【答案】ACD

【解析】

【详解】对A,由于与R〃BD,显然AA〃平面ABD,

又PeB∣R,所以「在任何位置时到平面A1BD的距离相等，

所以三棱锥P-ABO的体积为定值，故A正确；

对B,由P在BQ上且49〃8。，故截面为二4。9，

所以截面周长为6近，故B错误；

对C,当点P为BQ中点时，由于A与GA为正方形，

所以APA，又BD//B∖D∖,所以4尸_LB0,故C正确；

对D,当点P为Ba中点时，Λ1P±β1Pl,

所以在正方体中APJLψ∙[f∏BDP，

由BO=2√∑,BP=DP=娓,

所以3/成。=3尸2±92二5小=巴」,SmNBPD=晅

IBPDP1233

C2√2C

r)r----二3

所以ABPD外接圆直径2√2

^3^

22

所以三棱锥P-AiBD的外接球的直径2R=λ∕(2r)+ΛlP=√9+2=√1T，

所以三棱锥P-AiBD的外接球表面积为4万（芈）2=1，故D正确;

故选：ACD

18.（2022年福建省德化一中高三模拟试卷）如图，平面四边形ABeD中，ABCD是等边三角形,

AB_LBZVELA5=BD=2，/是A。的中点.沿BD将ABCD翻折，折成三棱锥C—ABO,在翻折过

程中，下列结论正确的是（）

A.棱CD上总会有一点N,使得MN//平面ABC

B.存在某个位置，使得CM与3。所成角为锐角

C.NeMB一定是二面角C—AO—8的平面角

28几

D.当平面49Dj_平面BDC时，三棱锥C—ABO的外接球的表面积是亍

【答案】AD

【解析】

取CD中点N,连接MN,如图，

在，ACO中，MNHAC,MNN平面ABC,ACU平面ABC,

所以MN//平面ABC,故A正确;

取5。中点G，连接CG,MG.

因为Z∖BCD是等边三角形，所以CG_L30,

又因为AB_LBD.在MG//AB,所以MG_L5。，

又因为MGCCG=G.MGCGu平面CGM,

所以BDl平面CGM，

又CMU平面CGM,所以或>_La故B错误；

对于C,翻折过程中，C。氏度不变，但C4长度会随着翻折程度不同而不同，

所以CM不一定垂直于AD，所以NCMB一定是二面角C-AD-B的平面角,

故C错误：

对于D,因为AABO为直角三角形，

所以过M作MF，平面ABD.

设尸为三棱锥C-A6D外接球的球心，

因为平面ABOL平面BOC，平面AMC平面比心=30.

且CG_LBr>,CGU平面BoC,

所以CG_L平面ABD,所以MFHCG.

过户作FE//MG交CG于点E,如图所示，

所以四边形MEEG为矩形，

MF=EG,FD=FC=R,

在直角ZWD中，H2="02+"F2^∣JH2=2+Mp2,

在直角二EfC中，K?=E尸2+CE?,即K?=1+(G-EG)2,

解得R2=Z,所以三棱锥C-ABO的外接球的表面积是也.

33

故D正确.

故选:AD.

19.(2022年广州第十七中学高三模拟试卷)已知正四面体ABCQ的棱长为20，其外接球的球心为。.点

E满足A2=∕IAB(O<∕1<1),CF=μCD{O<μ<Y),过点E作平面α平行于AC和BO,平面α分别与

该正四面体的棱BC,CD,AQ相交于点M,G,H,则()

A.四边形EMGH的周长为是变化的

B.四棱锥A-EMG”的体积的最大值为言

C,当;L=L时，平面α截球O所得截面的周长为典兀

42

14

D.当2=〃=一时;将正四面体A8C。绕E/旋转90°后与原四面体的公共部分体积为一

23

【答案】BD

【解析】

【详解】对于边长为2的正方体AB,CDi-ABC1D,则ABCD为棱长为2&的正四面体，则球心O即为

正方体的中心，

连接BQ,设AClB1D1=N

,；BBlDR,BBl=DDI,则88Q。为平行四边形

/.BDBn,

XVBD平面α,3Qlz平面α,

.∙.B1D1//平面α,

XVAC平面α,ACTBR=N,AC,qRi平面AqCR,

,平面α平面AgCA,

对A：如图I,

∙.∙平面α平面AgC。，平面α平面ABC=RW，平面ABCAI平面ABC=AC,

EMBEr-z

.∙.EMAC»则----------∖-λf∙即EM=(1—∕l)AC—2j2(1—/1),

ACAB

同理可得：HEGMBtDl,HE=GM=2g,EMGHAC,EM=GH=2及Q-九),

，四边形EMGH的周长L=EΛ∕+MG+G"+EH=4&(定值)，A错误；

对B：如图1,由A可知：HEGMB1O,,HE=GM=2②,EMGHAC，

EM=GH=2及Q-孙

VABiCDt为正方形，则ACIBlDt,

：.EMGH为矩形,

根据平行可得：点A到平面α的距离d=2Λ41=22,

故四棱锥A—EMGH的体积V=∣×2∕l×2√2Λx2五（1一X）=∙!∣（42一万），则y，=与42—34）,

∙.∙0<4<l,则当0<∕l<∣时，则V'>0,V在（θ,∣）上单调递增，当∙∣<∕l<l时，则V'<0,V在（：』

上单调递减，

264

.∙.当l=—时，V取到最大值上，

Z381

64

故四棱锥A-EMGH体积的最大值为巴，B正确；

81

对C：正四面体48CO的外接球即为正方体ABC2-ABG。的外接球，其半径R=6，

设平面α截球。所得截面的圆心为Q,半径为「，

当a=L时，则Oo=I•,

42

22222

,/Oa2+r=R,则r=y]R-OO1=当，

.∙.平面α截球。所得截面的周长为2πr=JΓIπ,C错误;

对D：如图2,将正四面体A8C。绕EF旋转90。后得到正四面体A4CQ∣,设

AiDfIAD=P,A1C1IBD=K,B£1BC=Q,BRIAC=N,

Vλ=Λ=∣t则E,F,P,Q,K,N分别为各面的中心，

.∙.两个正四面体的公共部分为EFPQKN,为两个全等的正四棱锥组合而成，

根据正方体可得：EP=拉，正四棱锥K—PEQF的高为（A4,=1,

≡≡≡≡V=2VW=2×1×1×√2×√24-D≡:

故选：BD.

TT

20.（2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）如图，在菱形ABC。中，AB=2,NABC=-,“为BC的

3

中点，将，ABM沿直线AA/翻折到ABlM的位置，连接8。和片。,N为耳。的中点，在翻折过程中,

A.面ABlMJ.面B∣MC

B.线段CN长度的取值范围为[1,6]

C.直线A"和CN所成的角始终为四

D.当三棱锥4-AMo的体积最大时，点C在三棱锥用-AMD外接球的外部

【答案】AC

【解析】

【详解】A选项：连接AC,由题意在菱形ABCD中，43=2，M为BC的中点，所以

ɪɪTC

BM=BM=-BC=-AB=I,乂NABC=上,由余弦定理AM?=22+F一2xlx2cos600=3，故

1223

222

AM=BAM+CM=4=AB1,所以同理AMLMC,又用MCMC=M,

BlM,MCu平面BlMC,故AWl平面BiMC,又AMu面ABiM,故面AB,ML面gMC,故A选

项正确；

B选项：如图所示，取AD中点E，连接EN,EC,所以EC//AM,且EC=AM,又因为N为男。的

中点，所以EN〃AB「且EN=；4旦=1.又由A选项得AΛ∕∙LBC,NABC=60。，所以

NBAM==30°且AM=√5,Pk以NNEC=三,EC=B在CCEN中，由余弦定理得：

6

222

CN=CE+NE-2CE-NE-cosΛNEC=3+l-2×λA×l×-=1，即CN=L故B选项错误；

2

C选项：由B选项得EN〃Ag,所以直线AM和CN所成角即为EC与CN所成角NNCE,又

π

NC=NE=',故NNCE=NNEC=—,故C选项正确;

6

D选项：当三棱锥与一AMD的体积最大时，BxMJ∙平:面∙ABCD,由四边形ABCf）为菱形,且NA5C=60°，

NBAM=30。，故NMCD=I20。，AMLAD，故C在WD的外接圆内，又AAMD的外接圆在：棱

锥用-AM。外接球的内部，故点C在三棱锥用-AMD外接球的内部，故D选项错误；

故选：AC

21.（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）在正方体ABeD-4AC"中，AB=I,点P满足

CP=λCD+μCCl,其中4∈[0,1],〃∈[0,1],则下列结论正确的是（）

A.当乌P//平面ABO时，与CR可能为:

B.当4=〃时，IQPI+∣aPl的最小值为e；石

C.若BlP与平面CG2。所成角为：，则点P的轨迹长度为

D.当4=1时，正方体经过点4、P、C的截面面积的取值范围为当Q

【答案】AC

【解析】

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A-型，

则A(0,0,0μβ(l,0,0),D(0,1,0),C(LLO),4(0,0,1),G(l,U),A(0,1,1)，

所以Cn=(-1,0,∖),B1P=BlC+ΛCD+μCCl=(一41,4-1),

则84∣=(-l,0,l),BD=(-l,l,0),设平面人乃。的一个法向量为〃=(χ,y,z),

BA1∙n=(x,ʃ,z)•(-1,0,1)=-x÷z=0

所以＜

BD∙n=(-l,l,θ)∙(x,j,z)=-x+γ=O

令X=1,则y=z=l,即平面A/。的一个法向量为〃=（1,1,1）,

若gp//平面Λ1BD,则〃.4户=0,βp(-λ,l√∕-l)∙(l,l,l)=-Λ+