《16.2 二次根式的乘除》课件（3套）

16.2二次根式的乘除【知识与能力】

理解（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简。理解（a≥0，b>0）和（a≥0，b>0），及利用它们进行运算。理解最简二次根式的概念，并运用它化简二次根式。

教学目标【过程与方法】

利用具体数据探究，不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规律。使用逆向思维，得出二次根式乘（除）法规律的逆向等式。分析结果，抓住它们的共同点，给出最简二次根式的概念。【情感态度与价值观】

利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）利用以上公式进行计算和化简。教学重难点1.一个平行四边形的底为，高为，求这个平行四边形的面积。根据平行四边形的面积公式S=ah求解。提示这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？新课导入2.如果矩形的面积是，长为，求宽。根据矩形的面积公式S=ab求解。提示？这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？探究1.计算：有什么规律？有什么规律？利用计算器计算演示探究2.填空：算术平方根的积各个被开方数积的算术平方根=各个被开方数积的算术平方根算术平方根的积=逆向等式归纳

下面的等式成立吗？为什么？×√×根号下不能出现负数！知识要点（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）a、b必须都是非负数！二次根式的乘法规定：逆向等式：可以进行二次根式的化简。例题计算：（2）（1）例题化简：（1）（2）16，b2，c2，

是开得尽的因数或因式。例题计算：（1）一题多解（2）一题多解探究1.计算：有什么规律？有什么规律？利用计算器计算演示探究2.填空：算术平方根的商各个被开方数商的算术平方根=各个被开方数商的算术平方根算术平方根的商=逆向等式归纳

下面的等式成立吗？为什么？×√根号下不能出现负数！×分母不能为0！知识要点二次根式的除法规定：逆向等式：可以进行二次根式的化简。（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）例题化简：（2）（1）

如果被开方数是带分数，应先化成假分数。例题计算：（1）

如果根号前有系数，就把系数相除，仍作为二次根号前的系数。一题多解（2）为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。（3）（4）为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。分母有理化

把分母中的根号化去,使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。2.分母有理化的关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。注意1.在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。这样的二次根式，叫做最简二次根式。知识要点最简二次根式的特点

被开方数不含分母。被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。以上各例题的最后结果：

分母中不含二次根式。被开方数不能含有小数或分数。分子分母不能约分。最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。在二次根式的运算中，最后结果的一般要求××××

看谁算得快化简。1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用3.将平方式（或平方数）应用把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。化简二次根式的步骤

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1.5cm，AC=3cm，求斜边AB的长。例题解答：CAB3cm？1.5cm解：由勾股定理AB2=AC2＋BC2，∴

AB=CAB3cm？1.5cm（cm）1.二次根式的乘法：课堂小结2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：

（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用。

（3）将平方式（或平方数）应用把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。3.化简二次根式的步骤：1.判断下列算法是否正确，不正确的请予以改正。××随堂练习正确的算法如下：m>52.等式成立的条件是____________。解：要想等式成立，必须满足：m－3≥0m－5>0m≥3m>5m>53.已知：＝1.732，如何求出的近似值?一题多解计算繁琐。计算简便。（4）（）=a－1（3）（）=4（1）（）=10（2）4.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。5.化简。6.已知实数a、b

满足求的值。解：要想原等式有意义，必须满足：将a、b

代入7.判断下列各式是否为最简二次根式？√习题答案（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）（1）（2）二次根式的乘除法(1)复习归纳二次根式的性质：（a≥0）（1）（2）a-a

当a≥0时，=；

当a≤0时，=.|a|a复习归纳二次根式的性质：（3）（4）（a≥0，

b＞0）（a≥0，

b≥0）回顾:你会计算吗?(1)(2)有简便的方法吗?根据什么?积和商的二次根式的性质:反过来:二次根式乘除运算法则二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变；化简。（默1））你能用上面二次根式乘法法则来计算吗？例1计算：解：原式原式

二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.（默2）例1计算：解：原式原式根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。分子约分后,分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来解：计算：

（a≥0，b≥0）根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。分析计算：

结果必须化为最简二次根式.找因数的最大公因数,不行再分解因数（默3）解:要先相乘，后化简。计算：

分子约分后,分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.（a≥0，b≥0）根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。例2：计算解：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数试一试计算：解：如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。例题2计算（2）(u>0)（a>b>0）分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）多项式先因式分解,再乘除（默4）二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)多项式先因式分解,再乘除二次根式的乘除法：根式和根式按公式相乘除。根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数（默2）例3计算：

(2)(1)解：原式解：原式计算：

二次根式的连乘除运算，从左向右依次计算或系数相乘除作为系数;根式相乘除。（默5）

计算解;原式=

计算原式=计算：（1）（2）（2）原式=（1）原式=解：原式二次根式的运算（乘除运算）:归纳小结（a≥0，

b≥0）（a≥0，

b＞0）二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)多项式先因式分解,再乘除二次根式的乘除法：根式和根式按公式相乘除。根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数

二次根式的连乘除运算，从左向右依次计算或系数相乘除作为系数;根式相乘除。（默2）1.计算：;624)4(.)6(3xax¸;545)5(¸;147)1(·;62)2(xyx·;)3(3baab·a2327yx32ax解：

计算:);275(15)1(·¸;31=91=27515×=27515׸=)275(15)1(·¸解：2.计算：;326)1(¸·3.532415)2(·¸46计算(字母为正数)典型例题计算点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”的法则进行计算．2.填空选做题(A组)-4138.64-3-10√选做题(B组)√√√达标反馈1.判断:(对的打√,错的打×)()2.填空:×例题赏识：1.计算（1）（2）（3）2.已知，求的值。3.已知、，求的值。4.已知x满足y是的整数部分，求巩固提升：5.=_____6.=__________7.=________8．已知a为实数，则代数式=_____04129.已知是正整数，则实数n的最大值是________

10.化简：=__________

=________11.化简：11反过来就是把下列各式中根号外的正因式移进根号内(1)(2)(3)(4)

根号外的负因式不能移进根号内,在移进根号内之前一定要先判断是否为非负因式.练习二：-2<x≤11C16.2二次根式的乘除思考你会几种方法计算？把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.：这个过程称为分母有理化含有二次根式不含二次根式

两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.与互为有理化因式.的有理化因式为

;的有理化因式为

;的有理化因式为

;的有理化因式为

.

想一想例题1将下列各式分母有理化:

分母有理化的方法：把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.例题1把下列各式分母有理化:

分子和分母都乘以分母的有理化因式.例题2计算:先将每一项分母有理化.例题2计算:解

例题3如图,在面积为的正方形中,截得直角三角形的面积为,求的长.因为正方形面积为所以例题4解下列方程和不等式:两个含有二次根式地代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.

练习将下列各式分母有理化：

填空:——1。—————2。化简：1）————2）————3）

复习计算

复习计算例题3已知，求值.例题4解不等式:先将分母有理化.

复习计算

复习问题

怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？含有二次根式不含二次根式

两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.与互为有理化因式.人教版数学教材八年级下第16章二次根式16.2最简二次根式二次根式的性质(1)(2)(3)(4)复习问题苑观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?被开方数不含开得尽方的因数被开方数不含分母概念库被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（２）被开方数不含分母．最简二次根式如：√√（１）被开方数各因式的指数都为1．例题讲解例１．判断下列二次根式是不是最简二次根式解(1)因为被开方数含分母３，所以不是最简二次根式．(2)因为被开方数分解：所以是最简二次根式．注:被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察例2.将下列二次根式化成最简二次根式.用它的正平方根代替后移到根号外面.＆将被开方数中解:由和得x≥0原式=解原式＆把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式

＆将被开方数中的分母化去解原式=课外拓展

化简二次根式的步骤:1.把被开方数分解因式(或因数)；

2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面.3.将被开方数中的分母化去4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.判断下列各式是否为最简二次根式？（5）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）；（1）（）；（6）（）；（7）（）；√×××××√辨析训练一被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．练习1.将下列二次根式化成最简二次根式.(0<x<y)练习2、把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）解（1）（2）

把下列各式化成最简二次根式：（1）（2）（3）（4）练习3这节你学到了什么？1.最简二次根式的概念.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母。2.如何化二次根式为最简二次根式