卷01（解析版）-2023年高考数学自主招生练习卷(新高考版)

2023年高考培优卷（一）

数学（新高考版）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第【I卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一'单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求.

1.若z-i=l-∣z-l∣i,贝IJlZ-NI=（）

A.1B.√2C.2D.ɪ

【答案】A

【详解】设z=α+Ai,（a,6eR,i为虚数单位）.

因为z-i=l-IZ-Ili,

_____________α=1a=l

所以α+（6-l）i=l-+⑹,所以工ɪ*了~~>解得：

1-1

所以z=l+彳i,z=l-J,

272

所以|z-*=Iil=I

故选：A

2.已知集合A={x∣O<x<l},3={XIlOg2工<1},则（）

A.AryB=AB.AlB=R

C.AB=BD.AC8=0

【答案】A

【详解】因为B={x∣log2X<l},所以B={x∣0<x<2}.

因为A={x∣0<x<l},所以4B=A,A∖B=B.

对照四个选项，只有A正确.

故选A.

3.已知等差数列{〃“}的公差为d,随机变量X满足P（X=i）=4（0<4<l）,i=L2,3,4,

则d的取值范围是（）

1ɪ

A.B.C.D.

66

【答案】D

【详解】因为随机变量X满足P（X=i）=4∙（0<4<l）,i=123,4,

所以P(X=I)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,

也即4+4+%+%=1,又因为｛可｝是公差为d的等差数列，

所以a“=α∣+("-1)4,则有。2=卬+“，a3=ai+2d,a4=al+3d,

13

所以4+4+d+4+2d+q+3d=4α∣+6d=1,则4=一,d,

0<---d<∖

42

0<---d<∖

因为0<q<l,所以<；彳，解得一EVd

O<1÷1J<I66

42

Oj+为<1

42

故选：D.

4.长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每

组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（)

1

ʌ-⅛B.-cd

4∙I∙⅜

【答案】A

【详解】由已知条件得

将12人任意分成3组，不同的分组方法有《中

种,

144

3个种子选手分在同一组的方法有*CC工C种,

A2

A；_3

故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为

C%C：C：^55

A；

故选：A.

5.过.ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点。、E,若AO=尤A8,AE=yAC,

且p*0,则1+1=()

Xy

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【详解】设ΛBC的重心为点G,延长AG交BC于点M,则M为线段BC的中点,

因为£>、G、E三点共线，设。G=ZIoE，GPAG-AD=A(Af-AZ)),

所以，AG=(∖-λ)AD+λAE=(∖-λ)xAB+λyAC,

因为M为BC的中点，^}AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC,

22',22

2I-I

因为G为√WC的重心，W∣JAG=-AM=-Aβ+-AC,

所以，(l-Λ)x=Λy=∣,所以，→∣=3(l-λ)+3Λ=3.

故选：B.

22

6.已知双曲线C:\-3=l(n>0∕>0)的左顶点为A,右焦点为尸，以尸为圆心的圆与

双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点8.若直线AB的斜率为g,则双曲线C的

离心率为()

455

A.-B.—C.—D.2

334

【答案】C

【详解】双曲线C的渐近线方程为y=±2χ,则直线08的斜率为2(0为坐标原点)，

aa

所以，直线M的斜率为易知点尸(C,0)、A(-β,0),

所以，直线跳■的方程为y=-∖(χ-c),

b1

由题意可得L=/-r=F=]'即α+c=劝'

所以，(4+c『=9必=9(/一〃2),则c+α=9(c-a),故e，=：.

故选：C.

7.已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6,下底半径为1,高为5石，若将一个铁

球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为()

A.32πB.36πC.48πD.32√3π

【答案】C

【详解】表面积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，

显然此时圆F与等腰梯形A88的上底以及两腰相切，则建立如图所示宜角坐标系，

由题意得8(1,0),C(6,5g),则怎C=孚=6，

则直线BC所在宜线方程为y=√3(x-l),BP√3Λ-y-√3=0

设尸(OJ)，表面积最大时球的半径为R，

则R=M=56-，则点F到直线BC的距离等于半径R,

卜'一百IΓ

则有kΓ，

解得/=36或11√L0<Z<5√3,

.∙√=3√3，此时£尸=56-3/=26,

贝IJS=4πR?=4π×(2√3)2=48π

故选：C.

2

8.若7"=5,8"=6,J=2+e>则实数。，b,C的大小关系为()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>c>aD.h>a>c

【答案】B

【详解】由已知可得，a=log,5=曾，⅛=log86=^f,

In7In8

22/o\2Ine2

由e'2+e2可得，厂m2+2),所以，=而包=证旬・

设=则r(x)=S”(：+,2)TInX

V7In(X+2)人JJLχ(χ+2)ln2(x+2)

因为x>l,⅛X+2>X>1,In(ɪ+2)>ɪnX>0,

所以(x+2)In(X+2)-XInX>0即>0,

所以“X)在(l,+∞)匕为增函数，

又α=∕(5),⅛=/(6),。=/(合)，又e2>6>5,所以c>6>“.

故选：B.

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆

内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的

方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆f+V=2的一个内接正八边形，使该正八边形

的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方

程为()

A.x+(0-l)y-3=0B.(l-√2)x-y+√2=0

C.X-V2÷1jy+∙ν2=0D.^∖∕2—1jx—y+∙^2-0

【答案】ABD

【详解】由图可知：

所以直线4民笈,8,。后的方程分别为丫=£^卜-&),〉=(1-&卜+夜，

J=(Λ∕2-1)Λ+∖∕2,y=[¢[+3).

整理.为——般式即犬+(夜一l)y->∕^=0,(l-λ∕^)x-y+V^=O,(λ∕2-ljx-y+λ∕2=0,

犬-(0-11+&=0,前三个分别对应题中的A,B,D选项，而正八边形中，AB与EF,

BC与FG,CD与GH,OE与A”所在直线分别平行，由第四个式子可知，正八边形各边所

在直线不可能为选项C.

故选:C.

10.已知函数F(X)=SinlX+2卜in1,则()

A."x)是偶函数B.7(x)在区间/手上单调递减

C./(x)的周期为nD./(x)的最大值为3

【答案】ABD

【详解】对于选项A：/(r)=SinlTI+2卜in(τ)∣=sinW+2卜inx∣=/(x),所以/(x)是偶函

数，故选项A正确；

对于选项B：当xe(-背亍时，SinW=Sin(-x)=-sinx,因为SinX>0,所以卜inx∣=sinx,

所以/(X)=-Sinx+2SinX=SinX在区间gT单调递减，故选项B正确；

对于选项C：/(ɪ)=3sinɪ=3≠/(π+∙^)=sin(π+^)+21sin(π+ɪ)∣=1,即/*)的周期不是

兀，故选项C错误：

对于选项D：由函数为偶函数，研究当x≥0时，当x∈[2E,2E+π](AeN)时，

/(x)=sinX+2sinX=3sinx:当x∈[2E+兀,2E+2ττ](A∈N)时，/(x)=sinx-2sinx=-sinx,

所以当x=2E+],AeZ,AX)的最大值为3,又函数为偶函数，所以函数在R上的最大值

为3,故选项D正确.

故选：ABD.

11.下列说法正确的是()

A."。>叶是“〃2>从，,的充要条件B.若x>l,贝力=x+工的最小值是3

X-I

C.若aLb,则卜+20=∣〃-2⅛∣D.若｛〃,,｝是等差数列，则％=生+6

【答案】BC

【详解】选项A：当α=-l>-2=，时，不成立；

当α=-2,b=l时，/>〃成立，α>力不成立.

则“a>b”是“/>从，，的既不充分也不必要条件判断错误；

选项B：若x>l,则y=x∙ι——!—=(X-I)4——-——Fl>2j(x-l)∙—！—+1=3

XɪX~~~ɪVX~~1

当且仅当χ=2时等号成立，则y=χ+—1的最小值是3.判断正确；

X-I

选项C：若〃_!_/?，则〃.。=O，

则,+2陷-∣π-2ft∣=a+4α∙0+4b-(α-4o∙0+4b)=Scrb=O

则∣α+2⅛∣2=Ia-两，贝巾+%卜卜一2⅛∣.判断正确;

选项D：若｛%｝是等差数列，则%—(%+%)=d-4,d-q不一定为0,

则4=%+4不成立.判断错误.

故选：BC

12.已知函数/(x)=d—V+1,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=∕(χ)的对称中心D.直线y=x是曲线y="χ)的切线

【答案】AD

【详解】/(x)=V-f+ι定义域为R,y-(x)=3√-2x=x(3x-2),

z、2

令/'(x)=0,解得：Λ⅛=0,Λ2=-,

2O

令用χ)>0得：χ>-Wcχ<o,令广(力<0得：O<x<j,

所以F(X)在χ<o,x>；上单调递增，在o<χ<:上单调递减，

故0为/(ɪ)的极大值点，I为/(ɪ)的极小值点，A正确；

/(0)=l>0,/(-l)=-l<0,由零点存在性定理得：(-1,0)上存在1个零点,

因为/(I)=故〃x)=V—¢+1在(0,+∞)上无零点,

综上：结合函数单调性可知/(x)有1个零点，B错误；

/(-x)+∕(x)-x3-x2+l+∕-x2+l-2√+2,不恒等于2,故点(0,1)不是曲线y=∕(x)

的对称中心，C错误;

f'(x)=3χ2-2x,用1)=3-2=1,/(1)≈1,

故y=∕(χ)在X=I处的切线方程为y—l=x—1,即N=x,

故直线y=x是曲线y=∕(χ)的切线，D正确.

故选：AD

二'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若曲线Y=/-2/+,”与曲线y=4∕+ι有一条过原点的公切线，则机的值为

40

【答案】8或

【详解】因为过原点斜率不存在的直线为x=0,该直线与曲线y=4f+i不相切，

所以设曲线y=4d+i的过原点的切线的方程为y=丘，切点为B(Λ2,%),

则A=8々，,y2=4^2+1，

所以入2=±；，

当％=工时，k=4,

2

所以直线y=4x与曲线y=d-2f+w相切，设切点为A(χ,y),

*232

则y∣=4x∣,3XI-4X1=4,jl=x1-2xl+∕n,

2

所以X=-W或玉=2,

W2.40

力％=一§时，机=一万，

当芭=2时，机=8,

当工2=—］时，k=-4,

则为=-4七，ɜɪɜ-4x3=-4,y3=xl-2xj+m,

满足方程34-4刍=-4的解不存在，故加不存在.

40

所以机=8或〃2=-----,

27

40

故答案为：8或-二.

27

14.已知直线y=2x+2与抛物线丁="2(。＞0)交于己Q两点，过线段PQ的中点作X轴

的垂线，交抛物线于点4若kP+4Q∣=∣AP-AQ∣,则°=.

【答案】2

【详解】联立方程组.消去y得：or2-2x-2=0(α>0),

设P(七,y),Q(X2,%),

22

则ɪj+X=—，XX=—，

2aa12

则点A的横坐标X=土产=B，则纵坐标为y=α(1j=[,即点4的坐标为

∖AP+AQ∖=∖AP-AQ∖,

2-222

.∙.AP+AQ+2APAQ=AP+AQ-2AP∙AQ,

.∙.ARAQ=O,

APA-AQf

11

ʃi~~"%一)112

「•----r×-----τ-=-l»LI∣Jxx—(玉+/)+1%—(ʃi+、2)+==0，

ɪɪl2aaa

ɪvi----ɪɔ-v------

。a

玉+々)+

Xy2=(2x1+2)(2X2+2)=4ΛIX2+4(4,

∣

y+y2=(2X1+2)+(2Λ⅛+2)=2(X1+X2)+4,

.".ʒɪiɪɔ+/4——IfΛ,∣+々)+4-----1——=O,

Va)aa

即一竺+斗4-3]+4，+马=0,解得α=2或(舍)

aa∖a)aa'2

故答案为：2.

15.函数/(X)=向T-COSn[T,3]上所有零点之和为.

【答案】4

【详解】函数"X)=舟-I-COSTU=O,即R刁=1+8S口，

1

函数户商和y=l+cosπr都关于X=I对称,

1

所以函数y=k∣和y=l+cosπr的交点也关于X=I对称,

如图画出两个函数在区间［-1,3］的函数图象，

两个函数图象有4个交点，利用对称性可知,

交点横坐标的和玉+Λ⅛+Λ3+x4=2×2=4.

故答案为：4

16.在正三棱锥P-ABC中，AB=4,。是PC的中点，且Az)J则该三棱锥内切球的

表面积为.

32-16^π

【答案】

【详解】解：如图，取BC中点E,连接。£AE,

由题知aABC为等边三角形，设。为A8C中心，连接OP,

由正三棱锥的性质可知QPL平面ABC,

设Λ4=2α,

因为。是PC的中点，BC中点为E，

所以DE"PB,DE=a,

因为ΛB=4,一ABC为等边一角形，

所以AE=2√5,

因为ADJ_依，

所以A£>_L£>E,

所以AZ)2=12-/,

AP2+PC2-AC2

所以‘在"45,C…C

J尸始丁2APPC

即吗U=M≠,解得α=√∑,

4/8/

所以正三棱锥P-ABC的侧棱PA=PB=PC=20，

所以OP=∖∣AP2-AO2=&2夜）2-寻2同=手，

ft-io.,1,ʌ11..,ʌ2∙∖∕68-^2

;升以，VpAAr=1,Sr∩∙OP=—X—x4x4xsi∩60X------=------

P-ABC3Aa"Cγ3233

因为正三棱锥P-ABC的表面积为S=SAHC+3S.C=4石+3X；X4X2=4百+12,

设该三棱锥内切球的半径为R,

所以，由L曲=JSR得R=兆S=3二=壬=纪邓二码=逑二包，

3S4√3+12√3+363

所以，该三棱锥内切球的衣面积为4πN=%二ɪ述

四'解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.已知公差不为0的等差数列｛(｝的前〃项和为S“，且q,%，%成等比数列，％∙4=

⑴求数列｛4｝的前〃项和S

(2)若〃≥2,J[J1+L+J≤系,求满足条件的〃的集合.

--

O2ɪɔɜ1∂4—1ofl—14U

【答案】⑴a“=2〃-l;S,=〃2

(2)｛2,3,4｝

【详解】(I)设等差数列｛4｝的公差为d,

因为4，生，。5成等比,所以=46,即得“∣(α∣+4d)=(q+d)2

化简得2卬/=筋,又因为dH0,所以2q=d.

因为W,4=4,所以(4+d)(4+2√)=q+7d,即得a：=0

解得α∣=0或者4=1

当q=0时，d=2q=0不合题意舍;

〃(q+a“)rt(l+2n-l)

当α∣=l时，d=2α∣=2,则q=2"-l,S,,=——■fl2

22

(2)因为不二

]

当〃22时，2/

ɪ3

2

由题祜If喘，化简得〉∕τ*∙

即9√-31n-20≤0.(9w+5)(∕ι-4)≤O

解得〃44,又因为“≥2.所以2≤"44("eN*),

所以〃e{2,3,4}

18.如图，在梯形ABCr)中，ABHCD,ZD=60°.

(1)若AC=3,求Aa)周长的最大值；

(2)若CD=2AB,ZfiCD=75°,求tanND4C的值.

【答案】⑴9

(2)3+招.

【详解】(1)在-ACD中，AC2=AD2+DC'-2AD-DCcosD=AD2+DC2-ADDC

=(AD+DC)2-3ADDC≥(AD+DQ2_3(仞；I>C)=(AZ)ICDy,

即S04"+'",解得：AD+DC≤6,当且仅当AD=DC=3时取等号.

4

故工ACz)周长的最大值是9.

(2)设Nft4C=α,则ZDC4=120°-<z,ΛBCA=a-45°.

CDAC

在,ACD中,

Sinasin60°

AC2sin(^z-45o)SinIO5。

在中,(-<>)Sinlo5。'两式相除得，

sinα45Sinasin60°

因为SinIO5。=sin(45。+60o)=sin45ocos60o+cos45osin60o=逆;立,

2/ð

#-ʌ/^)sinɑ=2瓜CGSa，故tanZDAC=tana=-∣=----j==3+λ∕3.

√6-√2

19.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，

混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参

与该混管检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相

互独立且均为p(0<"<l)∙目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数

/(X)=2+KX,这里X指该组样本N个人中患病毒的人数∙

K

⑴证明：E[”X)]≥2)∙N;

(2)若O<p<l(T4,10≤K≤20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中

大概率恰有一人为阳性.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)由题意可得X满足二项分布XB(NM,

由E(OX+b)=αE(X)+6知,E[f(X)^]=-+K-E(X)=-+K-pN≥2y[p-N,当且仅当

KK

M=@时取等号；

(2)记A=P(混管中恰有1例阳性I混管检测结果为阳性)，

E=P(混管中恰有i例阳性)=C[p'(l-p产，i=O,L,K,

令MX)=e'-x—l,-2×10^3<X<2×10^3,

则"(x)=eA—1,

当XW(-2x10-3,0)时,“(χ)<o,∕l(χ)为单调递减,

当Xe(0,2x10-3)时，MX)>0,MX)为单调递增，所以〃(x)≥∕z(0)=0,

2x0332x03

且力(-2X10")=e-'^'-(-2×1O^)-1≈O,A(2X10^)=e''-(2×lO)-l≈0,

JA

所以当-2x10-3<χ<2χl(f3,e-x-l«OBPe≈x+l,两边取自然对数可得Xaln(X+1),

所以当0<p<10^4,10≤K≤20时,

所以(1_p)"=eK∣Mi)Be*P2]_∕ζt?,

KP(I-P广他「1-(K-I)PI/、

则A=ɪ

I-Bl-(l-p)ʌ

故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.

20.如图，在四棱锥P-Aec。中，底面ABCO是菱形，PAL平面ABCD,平面PAB，平

P

M

AB

(1)证明：AB±BC∙,

(2)若P4=AB,M为PC上的点，当PC与平面ABΛ∕所成角的正弦值最大时，求器的值.

【答案】(D证明见解析

,/平面A4BJL平面PBC,平面PAfic平面PBC=PB,AEU平面PAB,AEɪPB,AEL平

面PBC

又：BCU平面PBC,

，AElBC.

又：_L平面ABCD,BCU平面ABCD.

PAlBC.

乂YAEPA=A,PA,AEU平面PAB,

/.BC人平面R4S,

又；ABU平面PAB-

/.ABJ.BC.

(2)由(I)知，以A为坐标原点，A⅛M),AP分别为x,χz轴建立空间直角坐标系A—xyz,

如图所示，

P

M

/∖>√×Λ∖

/∕k∙…\…

，j、/

[。，w

ABx

；底面ABeO是菱形，且AB_/BC,，底面ABCZ)为正方形,

设E4=M=1,则B(l,0,0),C(l,l,0),P(0,0,l),

所以AB=(1,0,0),PC=(1,1,-1),

设PM=λPC=(Λ,A,-Λ),(O≤Λ≤1),则AM=AP+PM=(λ,2J-A).

设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,Z),

n±AB〃∙AB=0[x=0

则<=>∖=>s

nVAMn-AM=0[λx+λy+(∖-λ)z=G

设PC与平面ABM所成角为θ,

Λ

14

则sin蚱gs<%PC>∣=百Xj宿［一百xj2；_22+l,

当4=!时，sin。的最大值为好.

23

②当2=1时，取力=（0,0』），则sin，=ICOS<”,PC>∣=grɪɪ*=@<逅，

√3×133

.∙.综述：PC与平面ABM所成角的正弦值最大时为远，此时婴=』.

3PC2

r2v2

21.已知£、G是双曲线C∙τ-j∙=l（.>0力>0）的左、右焦点.

（1）求证：双曲线C上任意一点M到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；

⑵过《且垂直于X轴的直线交C于P、Q两点，∣pg|=|p。，且C过点（1,0）,求双曲线

C的方程.

【答案】（1）证明见解析；

（2）x2-^-=l.

2

【详解】⑴设P(X。,%)是双曲线匕任一点，则号-4=1,即从片-∕W=a%2,

Crb~

双曲线的两条渐近线方程为加±纱=0,

∙∙∙P到两条渐近线的距离之积为四。+丽河。一"%|=忙喘-。讨=为常数.

(Γ+tra2+b2a2+b2

(2)-(-c,0),

上Q