《17.1勾股定理 勾股定理的应用 》课件

历史因你而改变学习因你而精彩第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）

星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米,,请问缆车路线AB长应为多少？问题情境1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。学习目标（一）、课前准备（2分钟）1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）1）两锐角之间的关系：

；2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：看一看

相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么？ABC你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直角边的平方和。在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？一般的直角三角形三边关系（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟）ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c.猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理cab勾股弦∵∠C＝90°∴a2+b2=c2读一读

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.

图1-1图1-2（三）勾股定理的证明

∵ab×4+(b-a)²=c²

∴a²+b²=c²abc2ab+（b²-2ab+a²）=c²【证法1】（赵爽证明）abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab×4+c²=1/2ab×4+a²+b²a²+b²=c²【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2

【

证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.bcabcaADCD美国总统证法：bcabcaADCD∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)=1/2ab×2+1/2c²∴a²+b²=c²分析：已知△ABC中，，

AC=900米，BC=1200米，

求斜边AB的长.

例：星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米,,请问缆车路线AB长应为多少?

三、应用定理巩固新知四、随堂练习1、如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：

；(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；(3)三边之间的关系：五.课堂检测1、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC

=________。2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c=

。（已知a、b，求c）⑵a=

。（已知b、c，求a）3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

A、25 B、14 C、7 D、7或255、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）

A、56 B、48 C、40 D、32本节课你学到了什么?感悟与反思作业必做题：课本77页第1、2、3题.选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.勾股定理的运用已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2（三）随堂练习

1、在Rt△ABC中，，1）如果a=3，b=4，则c=________；2）如果a=6，b=8，则c=________；3）如果a=5，b=12，则c=________；4)如果a=15，b=20，则c=________.51013252、下列说法正确的是（）A.若a、b、c是△ABC的三边，则:B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则D3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为25B．三角形周长为25C．斜边长为5D．三角形面积为204、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为

。第4题图S1S2S3C169在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c

（1）

已知a=1，b=2，求c

（2）

已知a=10，c=15，求b小试牛刀ACBbac例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端B的距离.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°∵BC=2，AC=5

∴AB2=AC²-BC²=5²-2²=21∴

AB=（米）(舍去负值）做一做：

P62540026xP的面积=______________X=_________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169X=15Y=5Z=7比一比看谁算得又快又准！求下列直角三角形中未知边的长x:可用勾股定理建立方程.勾股定理运用二:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13

1、直角

ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____

2、直角

ABC的一条直角边a=10,斜边c=26，则b=().３、已知：∠C＝90°，a=6，

a：b＝3：4，求b和c.cab13b=8c=1024课堂反馈１、本节课我们经历了怎样的过程？

经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.２、本节课我们学到了什么？

通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想.３、学了本节课后我们有什么感想？

很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育.小结分层测试:A组:

1、在中，，

AB=7,AC=3,求BC的长.

B组:2、如图，在矩形ABCD中，

DE⊥AC于E，设AE=8，且AD=10,EC=4,求DE和AB的长ACBbac作业必做题：课本77页第1、2、3题.选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.勾股定理（第二课时）学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动1abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么结论变形c2

=

a2

+

b2abcABC

有一种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长ACBbac45°ACBbac30°a:b:c=1:1:√2a:b:c=1:√3:2思维拓展：a=5cm时求b=？c=？c=6cm时求b=？a=？勾股小常识：勾股数

1、基本勾股数如：大家一定要熟记

2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、1510、24、26；15、36、39（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB练习30°2245°回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m

，求AC长．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？ACBDAB＜BC＜AC活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？（3）有一个边长为50dm

的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：活动3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m

，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）活动3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得

AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵

DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－

X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－

X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.

（A）3（B)√

5

（C）2（D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B活动3（3）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为

．活动3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？S1S2S3活动4（1）这节课你有什么收获？（2）作业①教材第78页习题第2、3、4、5题．②教材第79页习题第12题．补充练习及书后部分习题1．在Rt△ABC中,∠C=90°,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b;已知:a=7,c=8,求b

．2．一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．3．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米3米4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移（）5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（）米6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3ABC17B7．如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离．ABC409016040应用知识回归生活8．小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽．他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

10`小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X－1)米.根据题意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿长5米12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.解:设竹竿高X尺,则门高为(X－1)尺.根据题意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,门高为7.5尺