2022-2023学年高一下数学：平面向量的坐标运算（附答案解析）

2022-2023学年高一下数学：平面向量的坐标运算

一.选择题(共10小题)

I.(2021春•三明期中)己知/(2,3),B(3,1),则标的坐标是()

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

2.(2021秋•铁力市校级期末)已知点4(-1,1),B(3,ʃ),向量？=(卜2)>若瓦//a.

则y的值为()

A.6B.7C.8D.9

3.(2021春•长清区校级期中)下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是()

-

ʌ-eɪ=(l>2),e2=(0»0)

―÷13

B

∙Θ1=(2,-3),e2=(-y>])

c

∙eɪ=(3,1),e2=(6»2)

d

∙eɪ=(0,2),e2=(^4,0)

4.(2021春•湖南期中)已知Z=(2,-1),b=(l,m>且Z+E=λ(Z-E)(人声0)，

则实数m的值为()

A.ɪB.IC.」D._1

222

5.(2021春•长清区校级期中)已知单位向量Z,E满足IZ-El=I,则I2之+EI=()

A.√7B.√3C.√5D.√2

6.(2021春•石景山区校级期中)已知平面直角坐标系内一点尸(2,-3)，向量而=(1,2>

向量亘J=(-2,OA那么施V中点坐标为()

A.(∙∣∙,-2)b∙(~y>T)c∙(y»-4)d∙(ɪ.-1)

7.(2021•宝鸡模拟)设X,y€R,向量Z=(x,1),b=(1，尸)，C=(2，-4)且£3

~t>∕∕~c>贝!∣x+y=()

A.0B.IC.2D.-2

8.(2021春•安康期中)设向量Z=(1,m>K=(-l,m>若Z与芯的夹角为6°。，则IWl

第1页(共15页)

)

C.2D.√5

9.（2021秋•香坊区校级期中）己知向量a=（1,3）,b=（2,-4）,则下列结论正确的

是（）

A.（a+b）//aB.∣I+2⅛=5

c.向量；，E的夹角为旦2LD.后在2方向上的投影是小诬

4

10.（2020秋•湖南期中）已知平面向量I=（1,λ+l）,n=<λ+2,2）,则“人>-9”是

3

W的夹角为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二.填空题（共4小题）

11.（2021春•西湖区期中）已知向量Z=（2,1）,b=（-3,1）,则Ia+H=；向

量a在向量b的投影向量是.

12.（2021秋•怀仁市期末）设平面向量Z=（1,2>b=（-2,y）,若a_Lb，贝UIa+bI

等于.

13.（2022∙丰顺县一模）已知向量之，∣bI=√2,Z与4的夹角为135

B商足Z=(O,1),

0,贝IJIa-2bI=•

14.（2021秋•临湘市期末）已知；=（3,-2,-3）,b=（7,x-1，1），且Z与芯的夹

角为钝角，则X的取值范围是.

Ξ.解答题（共4小题）

15.（2021春•广东期中）已知”（1,1）,B（-1,4）,C（a,b）.

（1）若N,B,C三点共线，求。与6满足的关系式；

（2）若48,C三点共线，I菽I=2I族|，求点C的坐标.

16.（2021春•鼓楼区校级期末）已知之，b.彘同一平面内的三个向量，其中Z=（1,2）.

（1）若两=2旄,且W〃4，求芯的坐标；

第2页（共15页）

(2)若∣3=J75,且与4W-3^⅛直，求之与3的夹角仇

17.(2021•蓬江区校级模拟)Z∖∕8C的内角力,B,C所对的边分别为a,b,C向量彳=(a,

仔与E=(CoS4SirLS)平行.

(I)求出

(II)若α=2√5,6=2,求4/BC的面积

18.(2009•青岛一模)已知向量a=(sinα,cosa),b=(6sina+cosa,7sina-2cosa),设

函数/(a)=a*b∙

(1)求函数/(a)的最大值；

(2)在锐角三角形48C中，角力，B,C的对边分别为〃，b,c9/(J)=6,且4/8C

的面积为3,⅛+c=2+3√2)求a的值.

第3页(共15页)

2022-2023学年高一下数学：平面向量的坐标运算

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.(2021春•三明期中)已知Z(2,3),B(3,1),则标的坐标是()

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】计算题；对应思想；综合法：平面向量及应用；数学运算.

【分析】由向量的坐标运算求解即可.

【解答】解：因为4(2,3),B(3,1),

所以Q=(3,1)-(2,3)=(1,-2).

故选：D.

【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2.(2021秋•铁力市校级期末)已知点N(-1,1),B(3,y),向量Z=(卜2)＞若瓦//a.

贝Uy的值为()

A.6B.7C.8D.9

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】根据题意，由/、8的坐标可得向量标的坐标，由向量平行的坐标表示方法可

得4X2=y-l,解可得y的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，点Z(-1,1),B(3,“则标=(4,厂1),

若瓦»2，则有4X2=y-l,解可得尸9,

故选：D.

【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量坐标的计算，属于基础题.

3.(2021春•长清区校级期中)下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是()

ʌ*eɪ=(^1.2),e2=(0,0)

第4页(共15页)

_—*1Q

b∙e=(2,-3),e=(-y>ɪ)

i14/24

C∙eɪ=(3,1),e2=(θ>2)

d∙eɪ=(O,2),@2=(-4,O)

【考点】平面向量的基本定理.

【专题】计算题：转化思想：综合法：平面向量及应用；数学运算.

【分析】分别判断每个选项的两个向量是否共线即可.

【解答】解：对于/：因为T=(0.0),所以二，是共线向量，所以不能作为平面

的基底向量；

对于8：丁=(2,-3),丁=(-ɪ,―),因为2x3-(-3)X(-ɪ)=0,所

θɪ®22442

以T，是共线向量，所以不能作为平面的基底向量；

ele2

对于C：Z~=(3,1),『=(6,2),因为3X2-1X6=0,所以之一是共线向量，

w1a2Ulw2

所以不能作为平面的基底向量；

对于。：丁=(0,2),丁=(-4,0),因为OXO-(-4)X2=8W0,所以丁，丁

w1u2w1w2

不是共线向量，所以能作为平面的基底向量：

故选：D.

【点评】本题考查向量是否共线问题，属基础题.

4.(2021春•湖南期中)已知Z=⑵-1),E=(1,m),且Z+E=入(Z-E)(入学0)，

则实数m的值为()

A.ɪB.1C..AD.-⅛1

222

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】先求出Z+3和Z-E的坐标，再利用向量共线的坐标关系求解.

【解答】解：⑵-1),b=(l.m>

i."♦'"♦

∕∙a+b=(3,tn-1)b=(1,-1-〃?)，

∙a+b=入(a_*b)(人户O),

第5页(共15页)

∙∖m-1=3(-1-/H),

解得：m=--1.,

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的坐标关系，是基础题.

5.(2021春•长清区校级期中)已知单位向量Z,E满足-b∣=LM∣2a+bI=()

A.√7B.√3C.√5D.√2

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】由单位向量Z,E满足G-El=I，解得Z∙E=/，从而∣2Z+El=√(2a+b)2

=V4a2+b2+4l∙P由此能求出结果.

【解答】解：∙.∙单位向量Z,E满足IZ-El=1，

・,一二、2--∙2→2→一一1

・・(a-b)-a+b-2a∙l>T'

解得Z∙E=L,

2

2227

••I2a÷bI=√(2ς+b)=√41÷b÷4l-b=√4i<=√7∙

故选：力.

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

6.(2021春•石景山区校级期中)已知平面直角坐标系内一点P(2,-3),向量而=(L2>

向量屈=(-2,Q)>那么MN中点坐标为()

ʌ,Cy»^2)b∙(-ɪ.^1)A¢,Y)D.(∙∣^,~1)

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】利用平面向量的坐标运算求出点阴，N的坐标，再利用中点坐标公式即可求出

结果.

【解答】解：设Λ/(XI,yι),NG2，”)，

第6页(共15页)

Xι-2=1Xn-2=-2

由题意可知I,

y∣~(~3)=2丫2-(-3)=O

0

X2=

解得11,

Jl=-I丫2=-3

：.M(3,-1),N(0,-3),

.∙.VN中点坐标为(3,-2),

2

故选：A,

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题.

7.(2021•宝鸡模拟)设X,yCR,向量；=(x,1),b=。，V)，C=⑵-4)且。3，

b^z^c>则χ+y=()

A.0B.IC.2D.-2

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】平面向量及应用.

【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出.

【解答】解：YaɪOb〃O

Λ2x-4=0,2y+4=0,

解得x=2,y=-2.

Λχ-^=0.

故选：A.

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题.

8.(2021春•安康期中)设向量Z=(1,m>E=(-l,m>若Z与芯的夹角为60。，则IZ

=()

A.√2B.√3C.2D.√5

【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用：数学运算.

【分析】由向量的夹角公式可求得机2,再利用模的运算即可求解.

【解答】解：因为向量Z=(1,m),E=(-l,m).Z与E的夹角为60。，

第7页(共15页)

所以COS60°=—5―⅛—=.--j∙+lτt..,=_1,

2

Iallbll+m2

所以m2=3,

所以IaI=4I+ΠI2=2.

故选：C.

【点评】本题主要考查向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，考查运算求解

能力，属于基础题.

9.（2021秋•香坊区校级期中）己知向量Z=（1,3）,b=（2,-4）,则下列结论正确的

是（）

A.（a+b）IlaB.∣a+2bl=5

C.向量；，E的夹角为旦工D.E在Z方向上的投影是

4

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；对应思想；分析法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【解答】解：对选项4；+E=（3,-1），因为（3，-1）■（I，3）=3-3=0,

所以（Z+E）1Z,故/错误；

对选项8,ς+2b=（5,-5），

所以I；+2bI=7δ2+（-5）2=5√2,故B错误；

对选项C,cos（a>b）=~=r-^‰-=∙×V20=-^V-'故C正确；

IaI∙∣bI√102

对。选项，芯在二方向上的投影是历ICOSb>=2√5×（jy-）=-√Ib'故。

错误；

故选：C.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题.

10.（2020秋•湖南期中）已知平面向量：=（1,入+1）,n=（λ+2,2）,则“入>-4”是

3

W的夹角为锐角”的（）

第8页（共15页）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【考点】数量积表示两个向量的夹角；充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；简易逻辑；数学运算.

【分析】当:的夹角为锐角时，可得出λ＞_匹且入WO,然后可看出χ＞一自得不

出λ＞一上且入≠0,而λ＞一组入Wo可得出λ＞—上，从而可得出正确的选项.

333

【解答】解：’的夹角为锐角时，m∙∏＞QH-m,犷共线，

ʌʃλ+2+2(λ+l)＞0,解得χ＞二且入≠o,

[2-(λ+l)(λ+2)≠03

Vλ〉工得不出λ＞一1且入#0,而λ＞一1且入≠O能得出λ＞梃，

3333

.∙.入〉-1是',W的夹角为锐角的必要不充分条件.

故选:B.

【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量坐标的数量积运算，共线向量的坐标

关系，必要不充分条件的定义，考查了计算能力，属于基础题.

二.填空题(共4小题)

11.(2021春•西湖区期中)已知向量W=(2,1),E=(-3,1),则工+芯=_7甘_;向

量之在向量芯的投影向量是

【考点】平面向量的坐标运算；向量的投影.

【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】根据已知条件，运用向量模的计算公式和向量的投影公式，即可求解.

【解答】解：♦.•向量a=(2,1),b=(-3,1),

λa+b=(-1,2>

ʌ∣a+bI=√(-l)2+22=√5,

，向量Z在向量己的投影向量∣W∣∙c□sθ∙E-=a⅛∙F=工

Ibl∣b∣2biob2

故答案为：Λ∕51--R-

2

第9页(共15页)

【点评】本题考查了向量的线性运算，向量的投影，需要学生熟练掌握公式，属于基础

题.

12.(2021秋•怀仁市期末)设平面向量；=(],2)，E=(-2,y)＞若a_Lb，贝∣J∣a+b∣

等于—45—•

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数

量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得Z∙K=-2+2y=0,解可得y的值，即

可得晶芯的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，向量Z=(1,2)，b=(-2.y)，

若aJ_b，则a*b=-2+2y=0,解可得y-},

即b=(-2,1),贝∣Ja+b=(-1,3),

故Ia+bl=√1+9=ʧlθ;

故答案为：∙∖Z"I5∙

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题.

13.(2022•丰顺县一模)已知向量之，百满足Z=(0,1).∣bI=√2,Z与式的夹角为135

°,则Ia-2bI=一^13—•

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

【专题】向量法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】根据平面向量基础运算和数量积定义计算.

【解答】解：因为之=(0,I),所以Im=1，a2=l.

又因为IEI=&，＜W＞=135。，所以Z∙K=∣W∙∣b∣∙cos＜Z,芯＞=1•&∙cosl35°

--1,b-2,

所以Ia∙~2bF=7-4a-b+4]2=ɪ-4∙(-1)+4∙2=13,

所以Ia-2b∣~V13∙

第10页(共15页)

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题.

14.(2021秋•临湘市期末)己知Z=(3,-2,-3),E=(-1,X-1,1),且Z与4的夹

角为钝角，则%的取值范围是x>-2Rx≠∑.

3

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】空间向量及应用.

【分析】运用数量积公式求出Z与4的数量积，再求向量Z与芯的共线的情况，由于之与工

的夹角为钝角，则Z∙K<o,解不等式即可得到范围.

【解答】解：a=(3,-2,-3),b=(-1，x-lf1),

则WE=-3-2(χ-1)-3=-4-2x,

若a〃b，则b=入a»

即有-1=3入，%-1=-2λ,1=-3入，

X=旦

3

由于W与E的夹角为钝角，

则a∙l>V0,

即为-4-ZrVO,解得，x>-2.

则有x>-2且XW5.

3

故答案为：x>-2且xW∙∑∙

3

【点评】本题考查平面向量的数量积的运用，考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算

能力，属于基础题和易错题.

≡.解答题(共4小题)

15.(2021春•广东期中)已知/(1,1),B(-I,4),C(a,Z>).

(1)若4B,C三点共线，求。与6满足的关系式；

(2)若48,C三点共线，I菽I=2I族|，求点C的坐标.

【考点】平面向量的坐标运算；向量的概念与向量的模.

【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；逻辑推理：数学运算.

第11页(共15页)

【分析】（1）由点坐标求出向量的坐标，将三点共线转化为向量共线，由平面向量共线

定理求解即可；

.♦'1>.

（2）由题意可得，AC=2ABaKAC=-2AB.分别利用向量相等的坐标表示，求出“，6,

即可得到点C的坐标.

【解答】解：（1）因为力（1,1）,8（-1,4）,CCa,b）,

所以标=（-2,3）,AC=（a-l,b-l）>

因为4,B,C三点共线，

则屈IlAC.

所以-2（%-1）=3（α-1）,即3a+2b-5=0,

故。与6满足的关系式为3α+26-5=0；

（2）因为4B,C三点共线，I菽I=2I族|，

则正=2^fe菽=-2版，

当菽=2栖寸,有（4-1，⅛-D=2（-2,3）,解得a=-3,6=7；

当菽=-2函寸，有（α-1,6-1）=-2（-2,3）,解得α=5,b=-5.

所以点C的坐标为（-3,7）或（5,-5）.

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，三点共线的应用以及向量模的应用，平面向

量共线定理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

16.（2021春•鼓楼区校级期末）己知之，b.W是同一平面内的三个向量，其中W=（1，2）.

（1）若两=2旄,且;〃求芯的坐标；

（2）若［d=，I5，且2a+c⅛4a-3c垂直,求a与C的夹角色

【考点】平面向量的坐标运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】（1）设E=（x,y）,结合向量平行的坐标表示及模长公式可求X,乃进而可求:

（2）由题意结合向量数量积的性质即可直接求解.

【解答】解：（1）设b=（x，N），

第12页（共15页）

由题意得IX2+y2=20,

2χ-y=0

解得卜=2或卜=-2,

[y=4[y=-4

故芯=(2,4)或E=(-2,-4)；

(2)由题意得IaI=J(2a+C)*(4a-3C)=822-2a∙c-3,=0,

所以8X5-2Z∙^c-3×10=0,

所以a■C=5，

故COS9=二'2—=L5/=&,

∣a∣∣c∣√5×√102

因为ee[O,π],

所以θJL.

4

【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示及向量数量积的性质，属于基础题.

17.(2021•蓬江区校级模拟)Z∖∕BC的内角/,B,C所对的边分别为α,b,C向量7=

与n=(CoS4smB)平行.

(I)求/；

(∏)若α=2√E,b=2,求4/8C的面积

【考点】平面向量的坐标运算；解三角形.

【专题】整体思想：综合法；解三角形：数学运算.

【分析】(1)由向量平行得asinB-ybcosA=0,再利用正弦定理边化角可求ta∏A=

进而可解4

(2)由已知运用余弦定理求出边c,再由面积公式S=LcsiM解出结果.

2

【解答】解：(I)因为向量ιn=(a,Fb卢n=(cosA,SinB)平行，

所以asinB-MbCOSA=0,

由正弦定理可知：SinAsinB-V3sinBcosA=0,

因为SiaSW0,

所以tanA=«,0<^<π,

第13页(共15页)

可得A号;

(II)a=2Vs*6=2，

222

由余弦定理可得：a=b∙^-c-2bccosAf

可得，-2c-8=0,解得C=4

BC的面积为