函数与导数综合问题小题综合 2023届新高考数学复习压轴题难题（江苏）（解析版）

【突破压轴冲刺名校】

压轴专题03函数与导数综合问题小题综合

2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破(江苏省专用)

一、单选题

1.(2022秋・江苏南京•高三校联考阶段练习)己知函数/(x),g(x)的定义域为R,g'(x)

为g(x)的导函数，且F(X)+g'(x)=2,/(x)-g'(4-X)=2,若g(x)为偶函数，则下列

结论不一定成立的是()

A./(4)=2B.g,(2)=0

C./(-1)=/(-3)D./(1)+/(3)=4

【答案】C

【分析】先证明g'(χ)为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.

【详解】对A：：g(x)为偶函数,则g(x)=g(-x)

两边求导可得g'(x)=-g'(r)

.∙.g'(x)为奇函数，则/(O)=O

令x=4,则可得/(4)—g'(0)=2,则/(4)=2,A成立；

f(2)+g'(2)=2"⑵=2

对B：令心则可叱⑵，Y)=2,则［/⑵=0,B成立；

∙∙∙/(x)+√(x)=2,则可得/(2+x)+g'(2+x)=2

,

/(x)-1g(4-x)=2,则可得/(2τ)-g<2+x)=2

两式相加可得：/(2+Λ)+∕(2-X)=4,

/(x)关于点(2,2)成中心对称

则/(l)+∕(3)=4,D成立

又∙.∙/(x)+g'(x)=2,则可得/(x—4)+g'(x-4)=/(x—4)—g'(4—x)=2

/(x)—g'("x)=2,则可得/(x)=/(x-4)

∙∙∙/(x)以4为周期的周期函数

根据以上性质只能推出/(7)+/(-3)=4,不能推出=3),C不一定成立

故选：C.

【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.

2.(2022秋•江苏泰州.高三统考期中)已知函数/(幻=以3-3以2+〃，其中实数

a>O,⅛∈R,则下列结论错误的是()

A./(x)必有两个极值点

B.y=F(X)有且仅有3个零点时，人的范围是(0,6“)

C.当6=24时，点(1,0)是曲线y=f(x)的对称中心

D.当5α<Z><6α时，过点42,幻可以作曲线y=f(x)的3条切线

【答案】B

【分析】对/(X)求导，得到/(X)的单调性，判断了(X)的极值点个数可判断A;要使

y=F(X)有且仅有3个零点，只需/(0)>0J(2)<0即可判断；当匕=20时・，计算

/(x)+y(2-x)=0∏T^lJ^C:设切点为C(XO,0√-30√+4,求出过点A的切线方程，

令g(x)=2渥-9/+12以+4,y=b,所以过点A可以作曲线y=/(x)的切线条数转化

为y=g(χ)与y=6图象的交点个数即可判断D.

【详解】对于A,尸(力=3加_6办=3处(》-2),

令/'(x)=0,解得：x=0或χ=2,

因为a>0,所以令制x)>0,得x<0或x>2,

令T(X)<0,得0<χ<2,

所以〃x)在(9,0),(2,y)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

所以/(x)在x=0处取得极大值，在χ=2处取得极小值，

所以A正确；

对于B,要使y=∕(x)有且仅有3个零点，

[/(0)>0fz>>o

只需IrC即。IrA八，所以0<6<44,

[/(2)<0[Sa-i2a+b<0

所以人的范围是(0,4幻，故B不正确；

对于C,当人=24时，/(ɪ)=ax3-3ax2+2a,

/(2-x)=^(2-x)3-3Λ(2-X)2-st-2a=-ax3+3ax2-2a,

f(x)+f(2-x)=0,所以点(1,0)是曲线y=∕(x)的对称中心，所以C正确；

对于D,∕,(x)=3οr2-6ox,设切点为C(XO-30xJ+冲，

322

所以在C点处的切线方程为：y-(<¾-34U0+Z?)=(3<¾-6OX0)(Λ-Λ0),

2

又因为切线过点A(2,α),所以a-(α√-3α√+⅛)=(30r0-6C¾)(2-Λ0),

Λ2ΛT,2

解得：2axty-9(∕0+1Iax0+a=h,=2-9ax+I2ax+a,y=h,

所以过点A可以作曲线y=∕(χ)的切线条数转化为y=g(χ)与y=力图象的交点个数.

g'(x)=6加-180r+124=6α(χ2_3x+2)=6α(x-l)(x-2),

令/(x)=0,解得:x=l或x=2,

因为a>0,所以令g'(x)>0,得x<l或x>2,

令g<x)<O,得l<χ<2,

则g(x)在(，』),(2,”)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

当5α<b<60时，y=g(x)与y=b图象有3个交点，即过点A可以作曲线y=∕(x)的3

条切线，故正确，

故选：B

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值

范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3.(2022秋•江苏扬州•高三校考阶段练习)函数/(x)是定义在区间(0,+8)上的可导函

数，其导函数为了‘(X),且满足r(χ)+j∕(χ)>o,则不等式

(x+2023)"x+2023)<包包的解集为()

3X+2023

A.{x∣x>-2020}B.{x∣x<-2020}C.{x∣-2O23<x<θ}

D.{x∣-2023<x<-2020)

【答案】D

【分析】设g(x)=x2∕(x),x>0,已知r(x)+j∕(x)>O,得出g'(x)>O,则可求出函

数g(X)在区间(0,+∞)上为增函数，不等式(X+2023)∕(X+2023)<3/(3)可转化为

3X+2023

g(x+2023)<g⑶，再根据函数g(x)的单调性即可求解.

【详解】解：根据题意，设g(x)=x2∕(x),x>0,则导函数g'(x)=x2∕'(x)+2V(X),

函数“X)在区间(0,+8)上，满足r(χ)+1∕(χ)>0,则有χ2∕,(χ)+24(χ)>o,

所以g'(x)>O,即函数g(x)在区间(0,+e)上为增函数,

(x+2023)y+2023)<温ng2023)2小+2。23)<3力3),

所以g(x+2023)<g⑶，

则有0<x+2023<3,

解得-2023<x<-2020,

即此不等式的解集为{x∣-2023<x<-2020},

故选：D.

4.(2022秋.江苏.高三校联考阶段练习)设函数f(x)=J∣n(-χ)χ<0〃XJ="动，

|苔-司的最小值为g(α),则g(α)-q2-α的最大值为()

A.—1B.OC.1D.e—1

【答案】C

【分析】对α分类讨论求出g(a)=F'',"/再分类讨论求出g(α)-∕-α的最大值.

ld+l,6z>0

设/(%)=∕O⅛)=f,(f≤α),不妨设J<∙¾,

所以ln(-jη)=f,-X2+”=入∙'∙X］=-e∖x2=-t+a,

所以IXI-XJ=W-%=e'-f+α=∕zQ),(f4α),

所以ZfQ)=MT,

当α≤0时，⑺=e'-l≤0,函数/2。)在(-8,0上单调递减，

所以W)mM=g(α)=h(a)=eα.

当a>0时，函数人(力在(-∞,0］上单调递减，在［0,0单调递增，

所以〃⑺min=g(a)=A(O)=a+l.

LL-/∖fe",a≤Q

所以g(a)=<....

a+l,a>0

当a≤0时，g(a)-a2-a=ea-a2-a-m(a),

所以m'(a)=ea-2a-l=n(a),

所以n'(a)=eu-2<0,所以n(a)在(-∞,0］单调递减/.n(a)≥n(0)=0,

所以N(q)≥0,所以m3)在(Y0,所单调递增,所以m(a)max=-(0)=1.

所以g(a)-"-a的最大值为L

当a>0时∙，g(a)-a2-a=a+l-a2-a=-a2+l,在(0,+∞)单调递减，没有最大值,

g(a)-/-a=-a2+1<1

所以g(a)一〃-a的最大值为I.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出g(∙)(;Qo

其二是分类讨论求出g(α)-α2-α的最大值.

5.(2022秋・江苏南京・高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习)已知X=Xl和X=N分

1ʌ

别是函数/(x)=e'-5a√的两个极值点，且占=2%,则实数。的值为()

A.ɪB.逅C.ɪD.2

√e2ln22

【答案】C

【分析】求导，将极值点问题转化为∕∙'(x)=e*-αr要有两个零点，且在零点两侧，单

调性相反，参变分离后得到构造g(x)=三，求导后得到单调性，极值最值情

aee

况，得到αw(e,+∞),由%=2不得到3=第求出XI=In2,求出。=1=二.

,,

eex1In2

【详解】/(X)=e'—:小定义域为R,r(x)=e*-0x,

要想函数/(x)=e=[or?有两个极值点，

则r(x)=e*-αx要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，

1Y

令e'-0r=0,得一二彳，

ae

令g(χ)=定义域为R，

则g'(x)=∙^,当XCI时,g'(x)>O,当x>l,g'(x)<O,

故g(力=j在X<1上单调递增，在χ>1上单调递减，

故g(x)=E在X=I取得极大值，也是最大值，g(x)max=g⑴=L

ee

且当尤>0时，g(x)>O恒成立,当x<0时,g(x)<O恒成立,

画出图象如下:

故:e(°S)'即αe(e,•+<»),

其中土自4'因为"2占，所以A杀，

故e*=2,解得：Xl=In2,

eX|2

故。=J=>e,满足要求.

xlIn2

故选：C

6.(2023秋•江苏扬州•高三扬州中学校考阶段练习)已知函数/(x)及其导函数∕∙'(x)的

定义域均为R，且“5x+2)是偶函数,记g(x)=∕(x),g(x+l)也是偶函数,则广(2022)

的值为()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据/(5x+2)是偶函数，可得"-5x+2)=∕(5x+2),求导推得

g(x)=-g(-x+4),从而求得g(2)=0,再根据g(x+1)为偶函数，可推得g(x+4)=g(x),

即4是函数g(x)的一个周期，由此可求得答案.

【详解】因为/(5x+2)是偶函数，所以f(-5x+2)=f(5x+2),

两边求导得-5∕'(-5X+2)=5∕'(5X+2),即一f'(-5x+2)=/'(5x+2),

所以g(5x+2)=-g(-5x+2),即g(x)=-g(-x+4),

令x=2可得g(2)=-g(2),即g(2)=0,

因为g(x+l)为偶函数，

所以g(χ+i)=g(-χ+D,即g(χ)=g(-χ+2),

所以-g(-x+4)=g(-Jv+2),即g(x)=-g(x+2),

∙∙.g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以4是函数g(x)的一个周期，

所以/'(2022)=g(2022)=g(505x4+2)=g⑵=0,

故选：C.

【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数

具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.

7.(2022秋•江苏•高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习)若直线/与曲线

y=sinr,xe(0,3Λ∙)和曲线y=e，都相切，则直线/的条数有()

A.1B.2C.3D.无数条

【答案】B

【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用

导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公

切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.

txι

设直线/与曲线V=sinx,x∈(0,3万)的切点为A(XI,sin%),与曲线y=e的切点为B(x2,e),

宜线/的斜率氏;

所以,y'=(sinx)'=cosx,即在点A(XI,sinXI)处的斜率为、=cos%,

y=(e*y=e*,即在点5(%,e*2)处的斜率为无=e*,

t2

得出=cosx↑=e；

又因为CoSxIe[θ,ɪ],eʌ-∈(0,+∞),所以斜率A=CoSxl=e传∈(0,l]

由COSXl∈(0,l]得，或Xle2π,y'j；

由e&∈(0,l]得，Λ2∈(-∞,0);

因此，存在A(Xl,sin%),Xle(O句和8(x2,ejr2),毛e(→x),0)使得Z=CoSX∣=e”,

即此时直线AB即为两条曲线的公切线；

^5π∖

同时，存在C(j⅞,sinx3),ɪɜ∈2π,∙yJ和£)(匕户)，%e(γo,0)使得∕=COSJ⅛=e",且

e&≠e*;

所以，直线CD即为异于直线A8的第二条曲线的公切线；

综上可知，直线/的条数有2条.

故选：B.

InY

8.(2023秋•江苏南通•高三统考期末)两条曲线y=α∙2*-ln2与y=——存在两个公共

X

点，则实数”的取值范围为()

ʌ-I，焉)B-(°5⅛)c∙(g)0.1W)

【答案】C

【分析】由题可得“∙x∙2'=Xln2+lnx有两个不等正根，令f=x∙2">0,即α=手有两

个不等正根，然后利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.

【详解】由题可知"∙2"Tn2=平有两个不等正根，

即“.x∙2"=xln2+lnX有两个不等正根，

令Z=X2>0，则Inr=InX+xln2,

又/'=2'+x∙2Fn2>0,r=x∙2］在(0,+e)上单调递增，

所以α=乎有两个不等正根，

设Mf)=乎,f>0,则"S=I^,

由可得fe(0,e),∕7(r)单调递增，由"(f)<0可得fe(e,÷x),∕z(r)单调递减，

且Me)=L

e

即“e(θ,口时，两条曲线y=α2-ln2与y=(存在两个公共点.

故选：C.

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；

(3)转化为两熟悉的函数图象的问题.

9.(2023秋•江苏苏州•高三苏州中学校考阶段练习)若关于X的不等式

(4k-l-lnx)x<lnx-x+3对于任意Xw(l,+∞)恒成立，则整数/的最大值为()

A.-2B.-1C.OD.1

【答案】C

【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.

【详解】(4Z-1-Inx)x<InX—X+3对于任意Xe(1,+∞)恒成立

等价于4k<小+Inx+』对于任意X∈(1,+∞)恒成立

XX

ʌ、Inx3El”，、I-Inx13x-∖nx-2

令/(X)=—+I1nx+-,则J'(x)=――+-----T=-------ɔ—

XXXXXx~

1Y-I

令g(x)=x—InX-2,贝IJgTX)=I一一=-——>0

XX

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，又g(3)=l-ln3<0,g(4)=2-ln4>0

所以g(x)在(3,4)有且仅有一个根毛,满足Xo-InXO-2=0,即InXO=XO-2

当xe(l,x0)时,g(x)<O,即/'(x)<0,函数/S)单调递减,

Xe(Xo,+8)时，g(x)>O,即KX)>0,函数/(χ)单调递增，

X-23I

所以/(ʃ)min=/(⅞)=--+⅞-2+-=⅞+—一1

⅞⅞⅞

111713

由对勾函数可知3+鼻_1</+—-1<4+--1,即</(%)<

JXo434

因为必<∕(x°),即k<仝Q,kwZ

412416

所以攵≤0∙

故选：C

10.(2022•江苏苏州•校考模拟预测)设函数/(χ)=±A+sinx,不等式

/(α-xe')+f(lnx+x+l)≤O对χ>0恒成立，则实数〃的最大值为()

A.e-ɪB.1C.e-2D.0

【答案】D

【分析】先由定义证F(X)为奇函数，结合均值不等式可证/'(x)≥l+cosx≥0,得/(X)在

R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为α≤xe'-InX-x-1对x>0恒成

立.

令g(x)=∙re*-lnx-x-1,用导数法求g(x)最小值，即有α≤g(x)mjn.

【详解】因为/(—X)=匚m―sinx,所以一/(X)=∕(-X),所以/3为R上的奇函数.

因为尸(X)=e~^e—+cosx≥2∖e—FCOSX=I+cosx≥0，所以/*)在R上单调递增.

不等式/(α-xe*)+f(InX+x+l)≤O可转化为/(lnx+x+l)≤∕(xe*-α),

所以InX+x+l≤xe"-α,即α≤xe*-InX-X-I对x>0恒成立一

令g(x)=xe,-Inx-x-I,贝!∣g(x)=e'n"e*-Inx-x-1=ehυ""-(lnx+x)-l,

令〃(X)=e*-x-l,贝(x)=e*-1.

当x>0时，Y(X)>0,应x)在(0,+∞)上单调递增;当x<0时，A,(x)<O,〃(x)在(-∞,0)

上单调递减.

所以〃(x)mmi(°)=e°-0-1=0,G∏Λ(x)≥O,

所以g(x)≥O,且当InX+x=0时，g(x)取最小值0,

故α≤0,即实数”的最大值为0.

故选：D.

【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；

2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.

一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起

构造函数，用导数法对参数分类讨论.

当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成

函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.

11.(2022秋•江苏苏州•高三校联考阶段练习)已知。>0,若对任意的Xe(J,+8),不

等式(e"-电0D≥O恒成立，则实数”的取值范围是()

2a

'2}「1\口、「11

A.-,+∞IB.J+ooJC.[l,+∞)D.—,+∞I

【答案】A

【分析】对己知不等式进行变形，通过构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】因为〃>0,不等式[ettλ-必丝≥0恒成立，即?e"≥蚂丝成立，即

2a2a

aea,≥21n(2x),进而转化为axeax≥2xln(2x)=e∣ngln(2x)恒成立.

令g(x)=xe",贝ijg，(X)=(X+l)e",当x>0时,g'(x)>O,所以g(x)在(0,+8)上单调递

增，则不等式Lelu-也上≥0恒成立等价于g(ax)≥g(ln(2x))恒成立.

2a

因为a>0,xe[g,+°o)所以奴>0,∣n(2x)>0,所以OrNIn2x对任意的xe(g,+∞)

恒成立，所以建萼D恒成立.

设h(t)=乎>1),可得/(f)=Wɪ.当IVfVe时，h'(t)>O,Kt)单调递增；当f>e时,

A(∕)<0,力⑺单调递减.所以当f=e时，函数〃⑺取得最大值，最大值为∕z(e)=L此时

e

2x=e,所以W≥1,解得α≥2,即实数。的取值范围是∣^2,+s].

2eeLe)

故选：A

【点睛】关键点睛：利用构造函数结合导数的性质是解题的关键.

12.(2022秋•江苏南京•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=x-J-21nx,当x>l时，

f(χ2)>8∕t∕(x)恒成立，则实数4的取值范围为()

A.(Yθ,-2]B.(-∞,2]C.(-∞,-l]D.(-∞,1]

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=∕(χ2)-84∕(x),x∈(l,+8),求导后可得

g<x)=2七1厂[二2二4/.)Y1],再构造奴X)=X2+(2-4∕l)x+l,根据对称轴与I

`JX3

的关系分情况讨论，结合g(l)=O分析即可

【详解】⅛g(Λ)=∕(x2)-8λ∕(x)=√--^-21ar2-8λfx-i-21nxP∈(l,+∞),贝I]

√(Λ-)=2x÷A-l-8√l÷ɪ-^=≤⅛i-82⅛

、'xiX∖X2XJrJr

2(x-1)~[厂+(2-4∙Λ)x+1]

二P

令9(X)=X2+(2-4∕l)x+l,其图象为开口向上、对称轴为直线x=22T的抛物线.

①当2"L,1,即人1时，O(X)在(1,∙H≈)上单调递增,且研x)>夕⑴=4—4九.0,

所以F(X)>0在(1,一)上恒成立，于是g(x)>g⑴=O恒成立；

②当24-l>l,即4>1时，因为A=(2-4∕l)2-4=164(2-1)>0且夕⑴=4-44<0,所

以存在J⅞w(l,+∞),使得XW(I,%)时,S(X)<0,

所以g'(x)<O在(1,与)上恒成立，即g(x)在(1,毛)上单调递减，所以g(x)<g⑴=0,

不满足题意.综上，实数4的取值范围是(-8,1].

故选：D.

【点睛】本题主要考查了构造函数分情况分析函数的单调性，从而分析函数的正负的问

题，需要根据题意求导，化简后构造分析导函数中需要讨论正负的函数，再结合原函数

的零点分析单调性求解，属于难题

13.(2023春♦江苏南京♦高三南京师大附中校考开学考试)已知函数

f(X)=e'-gχ2一方(ZR)有两个极值点，则实数。的取值范围()

A.(9,I)B.(0,1)

C.[0,1]D.(l,4w)

【答案】D

【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得。的取值范围.

【详解】/(x)的定义域是R,f∖x)=e-x-a,

令∕z(x)=e*-x-α,"(X)=e*-1,

所以MX)在区间(Y,0),“(x)<0,〃(力递减；在区间(0,+∞),"(x)>OM(X)递增.

要使“X)有两个极值点，则/'(o)=〃(O)=I-α<0,α>l,

止匕时f'(-a)=el,-(-a)-a=ea>0,

1γ—1

构造函数g(x)=x-ln2x(x>l),^,(x)=l

所以g(x)在(l,+∞)上递增，所以g(x)>l-ln2>0,

所以/'(in2a)=e®"'-In2«_a=a-ln2«>0,

所以实数。的取值范围(l,y).

故选：D

【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二

次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.

14.(2022秋•江苏扬州•高三统考阶段练习)当x>0时，不等式x⅛*≤mr+21nx+l有解，

则实数w的范围为()

A.[l,+∞)B.-%+00)C.j+8)D.[2,+∞)

【答案】A

【分析】先令机=1，构造导数证得在(0,1)上存在与使得x；eM=Xo+21nx°+l,即机=1

满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当m<l时，χ2e*>e+2inx+l在

(0,+纥)上恒成立，即可排除BC,实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步

证得当皿>1时，题设不等式也成立，由此选项A正确.

【详解】当m=l时，题设不等式可化为fe*-x-2InX-140有解,

令/(x)=Ve'-x—2InX-I(X>0),则问题转化为f(x)≤0有解,

Γ(x)=(√+2x)eʃ-l-∣=(x+4,eT),

令g(x)=x2et-l(x>0),则g'(x)=(x?+2x)e*>O,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(0)=T<0,g(l)=e-l>O,故g(x)在(0,1)上存在唯一零点%,且ke*=l,两

边取自然对数得2In/+/=(),

所以当O<x<x。时，g(x)<O,即广(力<0,故〃x)单调递减；当x>x°时，g(x)>O,

即制x)>0,故f(x)单调递增；

所以/(EL.=∕(⅞)=⅞2ejij-⅞-21n⅞-1=⅞2ejij-,-(⅞+21n⅞)=0>即在(0」)上存

在看使得∙√e"=%+2InXo+1,即/(x)≤0有解％,

即机=1满足题意，故排除D.

由上述证明可得χ2ejr-x-21nx-l≥0,BPx2ec>x+21nx+li⅛(θ,+00)I二恒成立，

令∕7(w)=Λτn+21nx+l,则/(加)=x>0,故∕z(nι)在R上单调递增；

所以当∕n<l时,/ι(l)>ft(∕π),即x+2InX+l>m+21nx+l,⅛fcx2ex>∕nx+21nx+l>

即当机<1时，Ve、>〃ir+21nx+l在(0,+8)上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故

排除BC；

当卬>1时,/?(/”)>〃⑴，BP∕nr+21nx+l>x+21nx+l,故

ZnXo+2Inx0+1>x0+2Inx0÷I,

又∙√e*=χ0+21nx0+l,故CmXO+2InXo+1,即fe”Znr+21nx+l至少有--解为；

综上：，”≥∕,即选项A正确.

故选：A.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性,

常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不

等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

15.(2022秋•江苏苏州•高三统考阶段练习)若直线y=%(x+l)-1与曲线y=e'相切，直

线y=心(x+l)T与曲线V=Inx相切，贝雅凡的值为()

1

A.ɪB.1C.eD.e

【答案】B

【分析】设出切点，求出K=e',k2=-,根据斜率列出方程，得到x,e^=l,Λ2lnx2=l,

"2

构造/(x)=xlnx,利用函数单调性和图象特征，求出x2=9,从而求出答案.

t

【详解】设直线/={(x+l)-1与曲线y=e'相切于点(xl,e'),

直线y="(χ+ι)τ与曲线y=ι∏χ相切于点(々,g)，

eʌi+1

则—且心而所以X声=1,

,1,InX7+1

右F且所以WlnX2=1,

令/(x)=XInX,∕,(x)=l+lnx,

当Xe(θ,j时，∕,(x)<0,/(x)单调递减，

当Xeg,+∞)时，f^x)>0,/(x)单调递增，

且"1)=0,吧/(x)=0,所以当XW((M)时,/(x)<0,

j

因为/(∙¾)=⅛Inx2=I,/©)=*[=1,即/(,”/⑹)=[>0,

所以x2∈(L+<z>),e*∈(l,+∞),

所以X2=e",故秘2=e"∙-^=l

故选：B

【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求

解.

二、多选题

16.(2023春•江苏南通高三校考开学考试)若函数/(X)=Or-In?x(αWR)有两个极值点

4天，且χ<W,则下列结论正确的是()

2

A.0<«<—B.0<x<1<x

e12

C./(X1)<1D.Inx1+Inx2>2

【答案】ACD

【分析】对于选项A、B,/(χ)有两个极值点，则/'(X)=O在(0,+∞)上有2个不同的根,

分离参数画图可得〃的范围及毛、巧的范围•

对于选项C,将"=如五代入F(XJ可得关于In王的：次函数，求其范围即可.

对于选项D,运用比值代换法构造函数求导研究其范围.

【详解】由题意知,/'(x)=0在(0,+∞)上有2个不同的根,

…,.、2In%0r-21nx

又,fzMz=a---------=--------------,

XX

・2八o∏2Inx

..0x-21nx=0,即：a=-------,

X

y=a

・•・21nι在(0,+∞)上有2个不同的交点，

y=-------

IX

令〃(X)=2，(x>0)

X

:./(x)=2(InX),

X

(X)>OnO<xve,h,(x)<O=>x>e,

・・・〃(幻在Qe)上单增，在(e,+∞)上单减,

2

又∙.∙∕ι(e)=-,A(I)=O,当x→0时，A(χ)→→χ>,当χ→+s时，∕ι(x)→O,

e

・・・力(尤)的图象如图所示，

二当。<4时，…与〃(X)=警在Q÷∞)上有2个不同的交点，—.

故选项A项正确，选项B项错误;

对于C项，由题意知，〃=/?(%)=则工

x∖

,2

../(x∣)=axλ-(lnXl)2=2Inxl-(InXl),

又：1<%<e,/.0<In%l<1,

令f=lnX],则O<f<l,则y=2t-产在(0,1)上单调递增,

Λy<l,即：f(%)<l.故选项C项正确:

对于D项，设r='>l,(l<%l<e<x2)

x]

_2Inx_2InX2_2Intx,解得」F詈

.*.a—l==i

玉X?rxι

t∖nt

I1nx=-----,

2t—1

...(r+l)l∏r

..Inx1+Inx2=——~j——,r>1,

«+1)Inf

令g(f)-----------，t>∖

t-∖

-2Hnf+*一1

则g'(f)=

仆1)2'

令机⑺=-2"n∕+--I,则加⑺=-21nf+2r-2,〃i"Q)=2(1-1),

.m"(t)>0

.加(。在(1,+«))上单调递增,

.〃?'(1)>加(I)=O,

.，”⑺在(l,+∞)上单调递增,

.m(t)>m(↑)=0,

.g'Q)>o,

.g。)在(1,田)上单调递增,

.g(f)>g(l)

t+∖

1t+

../、「(z+l)lnr1.~Γɔ

lɪmg(t)=Iim-----------=Iim-------------=2

t->1t-■>1,—ɪr->1I

.g(f)>2,B∣J;lnx∣+lnx2>2,故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】极值点偏移问题的解法

(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论为+z>(<)2%型，构造函数

F(Λ)=∕(X)-∕(2X0-X);对结论中2>(<)x；型，构造函数尸(%)=/*)-/(至)，通过

X

研究F(X)的单调性获得不等式.

(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换f=五化为单变量的函数

不等式，利用函数单调性证明.

17.(2022秋•江苏南京•高三校考期末)已知函数“X)及其导函数尸(x)的定义域均为

R.记g(x)=∕'(x),若川—x),g(x+2)均为偶函数，下列结论正确的是()

A.函数./U)的图像关于直线x=l对称

B.g(2023)=2

C.g'(2)=0

D.若函数g(x)在［1,2］上单调递减，则g(x)在区间［0,2024J上有1012个零点

【答案】ACD

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.

【详解】因为yu-χ)是偶函数，

所以“l-x)=∕(l+x),所以函数函数的图像关于直线x=l对称，因此选项A正

确；

因为g(x+2)为偶函数，所以有g(x+2)=g(-x+2),

因此函数g(x)关于直线X=2对称，

由/(ι-χ)"(ι+χ)=-∕'(ι-χ)=∙Γ(ι+χ)=-g(ι-χ)=g(ι+χ)，

因此函数g(χ)关于点(1,0)对称,由

g(l+x)=-g(l-x)=g(2+x)=-g(r)=g(2-x)=-g(r)=g(2+x)=-g(x)

g(4+x)=-g(2+x)=g(x),所以函数g(x)的周期为4,

在g(x+2)=g(r+2)中，令x=l,得g(3)=g⑴，

在一g(l-x)=g(l+x)中，令X=0,得g(l)=0,

所以g(2023)=g(505X4+3)=g(3)=g(1)=0,故选项B不正确；

由g(x+2)=g(-x+2)=g'(x+2)=-g'(τ+2),令X=0,得g'(2)=0,因此选项C

正确;

因为函数g(x)关于点(LO)对称，且在［1,2］上单调递减，

所以函数g(x)在［0,D也单调递减，而函数g(x)关于直线x=2对称，

所以函数g(x)在(2,4］上单调递增,且g(3)=0,

所以当XwO,4］时,函数g(x)有两个零点，

当xe［0,2024］时，由函数g(x)的周期为4,

2024

可知函数的零点的个数为一^x2=1012,所以选项D说法正确，

4

故选：ACD

【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键.

18.(2023秋・江苏扬州―高三校联考期末)已知函数,“刈=6'-3双2有两个极值点不当,

且不<当，则下列结论正确的是().

A.«>eB.x2>e

C∙/(xj>∙∣D.仆2)<|

【答案】AD

【分析】对于AB选项，函数f(x)=e*-g0r2有两个极值点，相当于函数的导函数

y=e，有两个变号零点，即函数y=h图像与直线丫=。有两个交点，由此可判断

X

AB选项正误；

对于CD选项，由题有.=叼，j=3.则/(xj=0η-g端，/(Λ2)=(1-半卜.

结合为，尤2范围可判断CD选项正误.

【详解】函数/(X)=e，-；ar2有两个极值点，相当于函数的导函数>=eɪ-砒有两个

变号零点，即方程e、-Or=O有两个根，因XHO,则方程有根相当于g(x)=∖图像与

直线y=。有两个交点.因g'(χ)=今』，则8⑺在(-co'°)'(0'i)上单调递减，在

(l,4∞)上单调递增.结合x<0时,g(x)<O,g(l)=e,

可做g(x)大致图像如下：

则由图可得，a>e时，/(x)有两个极值点，故A正确；

又图可得，0<再<1,x2>1,则B错误;

因e'>=ox∣,则f(x1)=0r∣∙-gαr∣2=-∙∣(x∣-l)2+],又因O<xl<l,

函数V=方―if+羡在(。,1)上单调递增，W∣J∕(-η)<p故C错误；

因e-=/，则/(w)=]-5•卜，令MX)=1一提卜'

则〃卜)=g(l-x)e，，因七>1,则MX)在(1,4W)上单调递减，则MX)<Λ(1)=I,

BP∕(¾)<∣,故D正确.

19.(2023秋•江苏南通•高三统考期末)设定义在R上的函数/(x)与g(x)的导数分别为

尸(x)与/(x),已知"x)=g(3-力-1,/(x+l)=√(x),且/'(X)关于直线x=l对

称，则下列结论一定成立的是()

A./(Λ)+∕(2-X)=0B.∕,(2)=0

C.g(l-x)=g(l+x)D.g'(x)+g'(2-X)=O

【答案】BCD

【分析】根据函数与导数间的关系式，变形赋值，逐项验证即可.

【详解】因为/(x)=g(3-x)-1,

所以r(x)=-∕(3-X)

所以/'(x+l)=-g'(2-x)=g<x),

所以一g'(2r)-g'(x)=0ng'(2-x)+g'(x)=0,

故D正确，

令x=l时，g,(2-l)+g,(l)=2g,(l)=0,

所以g'(l)=0,

由AΓ(X+1)=H(2-X)=∕(X),

所以r(i+i)=—g<2-ι)=g，⑴=r(2)=g，⑴=0,

所以B选项正确，

因为g'(2-x)+g'(x)=0,

所以g'(ι-χ)=-g'(ι+χ),

所以函数g'(x)图象关于点(1,0)对称，

则函数g'(x+l)的图象关于点(0,0)对称，即g'(x+l)为奇函数，

所以函数g(x+l)+C(C为常数)为偶函数，图象关于直线X=O对称，

所以函数g(x)+C的图象关于直线X=I对称，

所以g(l-x)+C=g(l+x)+Cog(l-x)=g(l+x),

故C选项正确，

函数“M=(X-I)Zl，则函数f'(x)=3(x-l)2图象关于直线x=l对称，符合题意，

所以〃x)+∕(2-x)=(x-iy+l+(l-x)3+l=2,

故选项A不正确，

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：函数y=/(X)的定义域为。，VxeD,

(1)存在常数α,6使得f(x)+f(2a-x)=2bof(a+x)+/(α-x)=»,则函数y=/(ɪ)图

象关于点(。涉)对称.

(2)存在常数a使得/(x)=f(2a-x)of{a+x)=f(a-x),则函数y=/(x)图象关于直

线X=α对称.

20.(2023秋•江苏南通•高三统考期末)若函数F(X)是定义在(0,+8)上不恒为零的可导

函数，对任意的X,yeR*均满足：/(χy)=V(j)+j∕(χ),/(2)=2,记g(x)=f'(x),

则()

A./(1)=0B.g(l)=0

C.g(4x)-g住］=4D.∑∕(2*)=2+(n-l)2n÷'

14Jk=ι

【答案】ACD

【分析】对于A选项，赋值即可判断；对于B选项，可根据题设条件，构造函数

牛ɪu/:ln*任Wo),求出解析式，即可判断：对于C选项，通过对f(2x)=2∕(x)+2x

求导可得g(2x)-g(x)=l,即可判断；对于D选项，通过构造数列，结合裂项相消法

以及等比数列求和公式即可求解.

【详解】令X=y=ι,得/(1)=/(1)+/(1),即/(1)=0,故A正确；

因为/(盯)=4(，)+时(力，则‘肾=与^+^^,

又因为/⑴=o,f(x)是定义在(0,+8)上不恒为零的可导函数，所以可设

J(X)=kinx(k≠0),

因为/(2)=2,所以犯=Aln2,即/=」，则〃x)=」XlnX,

2In2In2

所以g(x)=r(X)=JXI+lnx),则g⑴=J∙≠0,故B错误；

In2In2

令y=2,所以/(2x)=0∙(2)+2∕(x),所以/(2x)=2∕(x)+2x,

所以2∕'(2x)-2∕'(X)=2,所以r(2x)-r(x)=l,则g(2x)-g(x)=l,

所以g图-g(T=l,g(x)-g(9=l,g(2x)-g(X)=1,g(4x)-g(2x)=l,

累加得：g(4x)-g(T=4,所以选项C正确；

因为"2x)=2∕(x)+2x,

所以/(2x2°)=2∕(2°)+2x2°,

/(2×2l)=2∕(21)+2×2',

/(2×22)=2∕(22)+2×22,

L

/(2×2"-')=2/(2"T)+2×2"τ,

累加得：

/(2×20)+∕(2×2l)+∙+/(2×2,,^l)=2∕(20)+2×20+2∕(2l)+2×2l+-+2∕(2,,^')+2×2,,^l

，即3)