第二节 与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系第六章圆

（1）点与圆的位置关系；（2）直线与圆的位置关系；（3）切线的性质与判定；（4）三角形的外心与内心.从安徽省近几年的中考试卷看，与本节有关的命题常常是切线的性质与圆的基本性质综合考查，命题的题型有选择题、填空题和解答题，考试的难度中等及以下.从近几年的考查来看，直线与圆的位置关系，三角形的外心和内心要求较易，切线的概念和切线与过切点的半径的关系（切线的性质）要求较高，预测对这部分知识的考查着力点还是放在切线的概念和切线与过切点的半径的关系上.呈·真题呈面前

切线的性质与判定

1.（2018·安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝

60°

⁠.

60°

2.（2020·安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F

，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.（1）求证：△CBA≌△DAB；【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，

∴∠ACB＝∠BDA＝90°，

在Rt△CBA和Rt△DAB中，∵BC＝AD，BA＝AB，∴Rt△CBA≌Rt△DAB.（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.【解答】（2）证明：方法一：∵BE＝BF.又由（1）知BC⊥EF

，∴BC平分∠EBF，

∵AB为半圆O的直径，BE为切线，∴BE⊥AB，∴∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝

∠CAB

，故AC平分∠DAB.

方法二：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，

∵AB为半圆O的直径，BE为切线，∴BE⊥AB，∴∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD，故AC平分∠DAB.3.（2022·安徽）已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE.求证：CE⊥AB.【解答】（2）∵DC与☉O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∵∠ACD＝∠ACE，

∴∠OAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB.

三角形的外接圆与内切圆

5.（2017·安徽）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆☉O于点E，连接AE.（1）求证：四边形AECD为平行四边形；【解答】证明：（1）由圆周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，

∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，

∴∠E＋∠ECD＝180°，

∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE.【解答】证明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，

∵四边形AECD为平行四边形，

∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，

∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，

∴CO平分∠BCE.

【解答】证明：（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE，又AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.理·梳理知识点

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系示意图数量关系点A在圆内

d表示点到圆心O的距离，r表示☉O的半径

d＜r

d＝r点B在圆上

d＞r点C在圆外d＜rd＝rd＞r

直线与圆的位置关系

1.设☉O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示：位置关系相离相切相交示意图d与r的关系d＞rd＝rd＜r直线与圆公共点的个数012d＞rd＝rd＜r012①直线与圆相交时，这条直线叫做圆的割线，公共点叫做直线与圆的交点.②直线与圆相切时，这条直线叫做圆的

切线⁠，唯一的公共点叫做

切点⁠.

切线切点2.相关概念：

切线的性质与判定

1.切线的性质：圆的切线

垂直于⁠过切点的半径.

2.切线的判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【点睛】（1）遇到切线，通常连接过切点的半径；（2）证明切线的方法是：①“连半径，证垂直”，即已知直线与圆有公共点，连接过公共点的半径，证明这条半径垂直于直线；②“作垂直，证半径”，即已知直线与圆的公共点位置，过圆心作这条直线的垂线段，证明这条垂线段是圆的半径.垂直于3.切线长及切线长定理①经过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等⁠，并且这一点与圆心的连线平分两切线的夹角.

相等

三角形的外接圆与内切圆

名称三角形的外接圆三角形的内切圆描述经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆图形圆心名称外心：三角形三条边的垂直平分线的交点内心：三角形三个内角的平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等

讲·名师讲典例

☞典例1

（切线的性质）如图，已知AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，连接OC与☉O相交于点D，过B点作BE⊥OD，垂足为E，连接AD.（1）当点E为OD的中点时，求证：BC＝AD；【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵BE⊥OD，点E为OD的中点，OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝∠DBO＝∠ODB＝60°，∵AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，∴∠ADB＝∠OBC＝90°，∠A＝30°＝∠C，∴△ADB≌△CBO，∴AD＝CB；

【解答】（2）设OE＝x，而DE＝2，∴OA＝OB＝OD＝x＋2，

意，舍去），∴AB＝2x＋4＝10.

已知切线，通常连接过切点的半径，利用过切点的半径与切线的垂直关系，证明推理，或利用勾股定理、相似进行计算.

1.（2022·眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（

C

）A.28°B.50°C.56°D.62°C

3

【解答】（1）连接AD，OD，∵DE与☉O相切于点D，∴∠EDO＝90°，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴AB⊥AC；3.如图，AB为☉O的直径，BC交☉O于点D，点E是AC的中点，DE与☉O相切于点D，ED与AB的延长线相交于点F.（1）求证：AB⊥AC；（2）求证：AB·DF＝AC·BF.【解答】（2）∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠C＝∠BAD，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，

∴AB∶AC＝BD∶AD，∵∠FDB＋∠BDO＝∠BDO＋∠ADO＝90°，

∴∠FDB＝∠ADO＝∠OAD，

∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD，

∴DB∶AD＝BF∶DF，∴AB∶AC＝BF∶DF，

∴AB·DF＝AC·BF.

☞典例2

（切线的判定）（2022·滨州）如图，已知AC为☉O的直径，直线PA与☉O相切于点A，直线PD经过☉O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.求证：PD是☉O的切线.【解答】证明：连接OB，如图所示，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC是☉O的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠OCB＝90°，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∵OB是☉O的半径，∴PD是☉O的切线.

证明某直线是圆的切线时，一般作辅助线的方法：若已知直线与圆有公共点，连接过公共点的半径，证明这条半径与直线垂直；若已知直线与圆没有给出公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段是圆的半径.

4.（2022·衡阳）如图，AB为☉O的直径，过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.（1）直线BE与☉O相切吗？并说明理由；【解答】（1）直线BE与☉O相切，理由：连接OD，∵CD与☉O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，

∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，

∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，

∵OB是☉O的半径，∴直线BE与☉O相切；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长.【解答】（2）设☉O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，

∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，

由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，

∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2，解得DE＝6，∴DE的长为6.

【解答】（2）设☉O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝（r＋2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝（4＋DE）2，∴64＋DE2＝（4＋DE）2