2023-2024学年人教A版必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语

章末梳理

①知识结阳•理脉络®

概念元素性质

集合

属于关系

包含关系

判定定理

常

用

逻

辑

用

语

全称量词命题的否定是存在量词命题

含有一个量词的命题的否定

存在量词命题的否定是全称量词命题

◎要点梳理•晰精华®

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••，，•••••(■•••••••••••••••••(■••••••••••■

(1)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(3)自然数集记作"；正整数集记作N*或作;整数集记作/_；有理数集记作_Q_；实数

集记作j_.

(4)4是」的子集记作4£庾或524),/是6的真子集记作/B谟BA).

(5)由集合之间的基本关系推出的结论即/U4若4匚8,且6UC,则/UC.

(6)并集/U6={x|xC4或xC6}；交集4C-x1x=4且xd/}；补集［〃=卜|工

RU,且超4}.

(7)如果gq,那么p是q的充分条件,q是.p的必要条件.如果p^q,那么p与q

互为充要条件.

(8)全称量词命题X/x£么o(x)的否定：mxRM,~7?(x)；存在量词命题mxW",A(x)的

否定：RxRM,~77(x).

⑤素养突破•提技能④

••••••••••••••••••••••••••••••••••••a、、^•••••••••••••••••••••••••••••••••••••

核心素养一

数学抽象

考查方向集合的基本概念

9

典例1(1)集合"=3己3—3x—2=0,a£R}中只有一个元素，则实数a的值是0或一京.

3

(2)已知集合［={勿+2,2勿2+就，若3£4则■的值为一£.

［解析］(1)由题意可知若集合〃中只有一个元素，则方程a/—3x—2=0只有一个根.

2

当3=0时，方程为一3x—2=0,只有一个根x=—g；当aWO时，A=(―3)2—4XaX(―

9

2)=0,得之=一d

O

9

综上所述，a的值是0或一小

⑵因为3^4则〃+2=3或2R2+〃=3.

当〃+2=3,即必=1时，m+2—2/n-\-m,不符合题意，故舍去；

33

当2勿2+加=3,即m=1或〃=一万，0=1不合题意，若〃=-5,m+2丰2点m,满足题意，

生3

故m=--.

［归纳提升］解决集合的概念问题的关注点

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述

法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么.

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.

核心素养二

数学运算

考查方向集合基本运算

典例2(1)设全集〃={xeM|x<6},集合力={1,3},B={3,5},则［〃(/口⑤等于(D)

A.{1,4}B.{1,5}

C.{2,5}D.{2,4}

⑵设集合/={-1,2,7},6={x［V—7x+〃=0},若⑵，则6=(C)

A.{2,-10}B.{2,0}

C.{2,5}D.{2,10)

［解析］⑴因为合口，2,3,4,5},ZU-5},所以［〃(/U6)={2,4}.

(2)由题意知2是方程/一7叶卬=0的解，把x=2代入方程得勿=10,

因为V-78+10=0的解为x=2或x=5,所以6={2,5}.故选C.

［归纳提升］集合基本运算的方法

一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,

则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

考查方向利用集合运算求参数

典例3(1)已知集合［={1,3,6},B—{1,勿},A^JB—A,则〃等于(B)

A.0或娟B.0或3

C.1或福D.1或3

(2)设集合4={0,1},集合6={x|x>a},若则实数a的取值范围是(B)

A.{a|aWl}B.{a|a》l}

C.{a|a20}D.{a|aW0}

［解析］(1)由知AC/,所以m=3或加=g.

当〃=3时，4={1,3,/},6={1,3},满足/口夕=小

若即〃=1或0,当勿=1时，6=1,不合题意，舍去，

当〃=0时，A={1,3,0},B={1,0},满足力U6=4

(2)因为力。6=0,所以046,且146,所以aNl.

［归纳提升］利用集合的运算求参数的范围的注意点

(D要弄清楚集合运算的结果或可能的结果，再根据其中的结果判定参数的值或范围.

(2)当集合的运算较为复杂时，要借助于数轴或Venn图解决问题.

(3)注意参数的值或范围应该满足集合中元素的互异性.

核心素养三

直观想象

考查方向集合运算的综合应用

典例4已知集合4={x|0WW2}*6={x|aWxWa+3}.

(1)若(}/)U6=R,求a的取值范围；

⑵是否存在a,使(［M〃=口且/。6=0?

［解析］（D因为/={x|0WW2},

所以限力={x\x<0或X>2}.

因为（3）UQR.（如图）

aWO,

a+322,

所以一IWaWO.即a的取值范围是{a|-1WaWO}.

⑵由⑴知当（b4U6=R时，一IWaWO,则2Wa+3W3,

所以4=6,这与4A5=0矛盾.

即这样的a不存在.

［归纳提升］集合运算的综合应用的注意点

（1）进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简.

（2）涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集.

考查方向充分必要条件的判断

典例5设集合S={0,a},7={xGZ|/<2}，则“a=1”是“SUP的充分不必要条件.（填

“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

［解析］7'={^eZ|/<2}={-1,0,1},a=l时，S={0,1},所以SU7；

反之，若SC7,则S={0,1}或5={0,-1}.所以“a=l”是“SU7”的充分不必要条件.

［归纳提升］充分（必要）条件是学习中的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直

观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.本章使用集合模型对充要条件

的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：（1）力是3的充分

条件，即为

（2）/是B的必要条件，即砥4

（3）/是B的充要条件，即力=B

A(B)

(4)4是6的既不充分也不必要条件，

即或46既有公共元素也有非公共元素.

核心素养四

逻辑推理

考查方向充分必要条件的判断

典例6设集合〃={x|x>2},P={x|水3},那么“xG〃或xd严'是财”的必要

不充分条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

［解析］条件0：xc〃或xGP；结论g：xw(PCM).

若则X不一定属于R即X不一定属于尸Cl",所以户57；若xdGm①，贝1|

且xGP,所以户p.综上知，“xd〃或xGP”是“xG(尸。肠”的必要不充分条件.

［归纳提升］利用定义判断充分必要条件的方法

如果户(7,那么称p是g的充分条件，同时称g是p的必要条件.判断时的关键是分清条

件与结论.

考查方向利用充分必要条件求参数的取值范围

典例7已知集合/={x|2—aW尽2+a},6={x|xWl,或x24}.

(1)当a=3时，求氏

(2)若“xe%”是“了曰,的充分不必要条件，且求实数