2023届高考数学二轮复习 6 直线与圆选择填空压轴小题训练 作业

专题6直线与圆选择填空压轴小题专项训练

一、单选题

1.己知点4-1,1).若曲线G上存在B,C两点，使二ABC为正三角形，则称G为r型曲线.给

定下列三条曲线：

①y=-x+3(0≤x≤3)；

②y=Λ∕2-X2(-Λ∕2≤%≤0)：

③y=」(x>0).

X

其中「型曲线的个数是

A.OB.1

C.2D.3

2.已知抛物线V=4x的焦点为尸，过点(a,O)(“<O)倾斜角为[的直线交抛物线于C。两

O

点，若尸在以线段CO为直径的圆的外部，则”的取值范围为

A.(―3,—2,∖∕5+3)B.(-00,-25/^+3)C.(--,4—ʌ/l7)D.(-8,4-Jl7)

3.AB为C)C：(尤一2)2+()，-4)2=25的一条弦，∣AB∣=6,若点P为C)C上一动点，则尸4P8

的取值范围是()

A.[0,100]B.[-12,48]C.[-9,64]D.[-8,72]

4.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：W+y2+2χ-3=0的圆心，有两顶点恰

好是圆F与y轴的交点.若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值

范围为()

ab

∙2木)∙卜，号c∙,f)D∙[0,T^]

5.在平面直角坐标系中，定义d(A8)=0^｛阮-即,仅1-%|｝为两点4(修乂)、B(X2，%)

的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称d(P，。)的最小值为点尸到直线的“切比雪

夫距离”，记作d(P，/),给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,5)；

Q

②已知点P(2,l)和直线Lx-2y-2=0,则d(P,/)=*

③定点6(-。，0)、鸟(c,,0),动点P(x,y)满足H(P，FAd(R^)∣=2"(2c>24>0),则点P

的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

6.如果圆(x-αy+(y-α)2=l(α>0)上总存在点到原点的距离为，则实数。的取值范围为

A.[√2,2]B.[√2,2√2]C.[1,√2]D.[1,2√2]

2,>

7.己知双曲线C：工-E=I的两条渐近线是，(点M是双曲线C上一点，若点〃到渐

94

近线距离是3,则点M到渐近线4距离是

1236

A.—B.1C.—D.3

1313

8.如图，圆C与X轴相切于点7(1,0),与y轴正半轴交于两点A、B(B在A的上方)，且

IASl=2,过点A任作一条直线与圆O+y?=1相交于Λ/、N两点，，丽^+，而，的值为()

C.2√2D.√2-l

9.过点A(-8,4)作抛物线丁=8》的两条切线，I2,设，4与y轴分别交于点8,C,则AABC

的外接圆方程为()

A.X2÷y2+6x-4y-16=0B.X2+y2+6%—16=0

C.x2+y2+5x-6y-12=0D.√+∕-4y-16=0

10.设集合A={(x,y)|(x-3『+(y-4>=g},B={(x,y)∣(x-3)2+(y-4f=羡

C={(x,y)∣2∣x-3∣+∣y-4∣=2},若(AUB)CC片。，则实数2的取值范围是

C.~^~、2U[4,6]D.,6]

二、填空题

11.已知G点为AASC的重心，且AG_LBG，则他二空包二勺的值为

sin2C

12.若实数为,々，如%：满足¥+x~=Wx??+4>XlX2+%%=5，则

归+XTl+,+%-1的最大值为

13.已知直线与圆Oχ2+V=4交于Aa,乂),8(々,必)两点，且囤=2,则

∣Λ⅛+yl+4∣+∣Λ⅛+y2+4∣的最大值为.

14.若定义域均为D的三个函数f(X),g(X),h(X)满足条件：对任意x∈D,点(x,g

(x)与点(x,h(×)都关于点(x,f(x)对称，则称h(x)是g(x)关于f(x)的“对称

函数已知g(X)=JiTF，f(X)=2x+b,h(X)是g(X)关于f(X)的"对称函数"，且

h(X)≥g(X)恒成立，则实数b的取值范围是.

15.已知小b是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量C在满足

(3α+ς)(4C)=0,均能使IC-M≤%成立,则&的最小值是.

16.曲线χ="l-y2上存在唯一的点到A(t,-t+m)、B(-t,t+m)(txθ,t为常数)两点的

距离相等，则实数m的取值范围是.

17.设α,b是两个实数，0≤α<人,直线/：y=履+切和圆x?+y?=ι交于两点4β,若对

于任意的&Wa,可，均存在正数m,使得.OAB的面积均不小于乎，则6-24的最大值为

已知平面向量；满足同=∕∣2则对任意

18.e,e2,CWl=kI-=1,c-(2e1+¾)∙c+-=O,

的feR,忸-阊的最小值记为M,则M的最大值为.

19.已知点(〃?,〃)在曲线y=6二7上，则痣的取值范围是.

20.在平面直角坐标系Xoy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3

的直线恰有两条，则实数，”的取值范围为.

答案:

1.B

【解析】

【详解】

对于①，A(-1,1)到直线y=-x+3的距离为：「，若直线上存在两点8,C,使AABC为正

三角形，则|A8|=|AC|=«,以A为圆心，以而为半径的圆的方程为(Al)2+(y-l)2=6,

联立《ɔɔ

解得X=印，或X=LW，后者小于0,所以对应的点不在曲线上，所以①不是.

对于②，尸白二》(-Q≤x≤0)化为χ2+y2=2b√5≤x≤θ),图形是第二象限内的四分之一

圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135。，所以②不是.

对于③，根据对称性，若P=T上存在两点8、C使ABC构成正三角形，则两点连线的斜

率为1,设BC所在直线方程为x-y+m=0,由题意知A到直线距离为直线被J，=一所截弦长

的2。倍，列方程解得，*=-与，所以曲线③是7型线.

2.A

【解析】

【详解】

/T_ʌ/ɜZ_X

设直线方程为y='(x-α),⅛{y=Tu^^W:f-(2α+12)x+∕=o,所以

3y2=4x

C.X+x,=2a+12

221

∆=(2α+12)-4a>0,a>-3,设C(Xl,%),£)(%,%),则{^2,点F(LO),因

XIX2=a

为点尸在以CZ)为直径的圆外,所以FC∙FD>O,BPUl-l,J∣)∙(x2-I,y2)>O,

X1X2-(ɪ1+x2)+l+j1γ2>0,Λlχ,-(χl+x2)+l+∣(xl-<z)(x2-«)>0,

2所以解得

xλx2-(Λ1+X2)+1+-^[ΛIX2-C(Λ∣+x2)+α]>0,4/-(3+α)(24+12)+3+/>O,

“<3-2后或4>3+2石，Xα<0,综上有-3<α<3-2√L故选A.

点睛：在直线与圆锥曲线相交问题中，一定要注意相交的条件，把直线方程与圆锥曲线方程

联立后消去一个未知数得中一未知数的二次方程时，一定要注意用判别式>0来求得参数的

取值范围，下面与此参数有关的问题一定要在此范围内求解，否则易出错.如本题不考虑此

范围，会得出错误结论α<3-2遍.

3.D

【解析】

【分析】

取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得PA-PB=|PQ|2-9，再利用圆的性质可得IPQl取

值范围，即求.

【详解】

取AB中点为Q,连接PQ

PA+PB=2PQ,PA-PB=BA

]_

PA-PB=[(PA+PB)2-(PA-PB)2]

4

=^[4∣Pβ∣2-∣BA∣2],

又IBAI=6,∣CQ∣=卜5-。)2=4

PA-PB=|PQ∖2-9,

∙.∙点P为OC上一动点，

∙∙.IPQLX=5+1Cq=9,∣PQ∣nto=5-∣C∙α=l

.∙,P4PB的取值范围[-8,72].

故选：D.

4.B

【解析】

【分析】

求得圆尸的圆心，可得椭圆的，求得圆尸与y轴的交点，可得〃，进而得到“，可得椭圆方

程，设出椭圆上关于直线y=χ+t对称的两点连线AB的方程为y=-χ+o,设两点的坐标

为A(x,,χ),BtX2,y2),联立椭圆方程，运用判别式大于0,以及韦达定理和中点坐标公

式，可得中点坐标代入已知直线，可得P,的关系，进而得到所求范围.

【详解】

X2+y2+2x-3=0的圆心为(-1,0),可得椭圆的C=1,

圆F与y轴的交点为g±√i),可得椭圆的6=6，

可得Q=ʌ//?2+c2=2，

即有椭圆方程为三+片=1,

43

设椭圆上关于直线，=才+1对称的两点连线48的方程为，=~+乙

设两点的坐标为4为，y),B(X2,y2)

」3/+4丁=12/口,

由<',得7χ2-8PX+4/2-12=0,

y=-x+p

Δ=64p2-28(4p2-l2)>0,

-χ∕7<P<夕>Xj+X2=~γ,

设A.3的中点(XO,%),

则为=与，⅞=∣P>

中点在y=*+2上，

--P=H,BR-√7<7r<√7,得-也<f<立.

77

故选B.

【点睛】

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,

考查化简整理的运算能力，属于中档题.

5.C

【解析】

【分析】

①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断：

②设点Q直线Lx-2y-2=0一点，且QGg-1),可得4(P,Q)=max卜-2∣,5-21,讨

论即可得出d(R∕)即可判断；

③讨论点P在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

【详解】

解：①对任意三点A、8、C,

若它们共线，设Aa,%)、B(X2,m)、Cg,%)，如图,

结合三角形的相似可得d(C,A),√(C,B),d(A,B)分别为AN,CM,AK或CN,BM,BK,

则”(C,A)+d(C,8)=4(A,8)；

若B,C或A,C对调，可得d(C,A)+d(C,8)>4(A,8)；

若它们不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图，

由矩形CMNK或矩形BMNK,

d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；

则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+4(C,B)≥d(AB);

故①正确；

②设点。直线∕“2y-2=0一点，且Q(x,口)可得d(P,Q)=max卜―2|,/2

由∣x-2∣≤>2,解得0≤χv∖即有d(P,Q)=:2,

当x=g时，取得最小值：；

ɔɔ

YQ

由∣x-2∣>不一2,解得χ<0或x>g,即有d(P,Q)=∣x-2∣,

乙ɔ

以2。)的范围是(2,+8)J(∣,+∞j=仔，用)，无最值，

综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为:，

故②错误;

③定点斗—c，0)、B(c,O),动点P(x,y)满足∣d(P,6)-d(P,F2)^=2a(2c>2a>0),

可得P不>轴上，P在线段石心间成立，

可得x+c-(c-x)=2α,解得x=α,

由对称性可得也成立，即有两点P满足条件;

若「在第一象限内，满足∣d(P,片)一d(P,初∣=24即为x+c-y=2a,为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点，

故③正确：

真命题的个数是2,

故选：C.

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难

题.

6.B

【解析】

【分析】

将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.

【详解】

(x-α)2+(y-a)2=l(α>0),圆心为(α,α)半径为1

圆心到原点的距离为：近a

如果圆(x-4)2+(卜城=1(4>0)上总存在点到原点的距离为

即圆心到原点的距离e[2,4]

B∣J2≤√2<a≤4≈>√2≤α≤2√2

故答案选B

【点睛】

本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.

7.A

【解析】

【详解】

22

双曲线G±-&=l的两条渐近线方程分别为2x±3y=0,设方)为双曲线C上一点,

94

则立一或■

=1,即4x2-9W=36,点M到两条渐近线距离之积为

94l

人|2：-3?.|2：+3?［砧="J=：为常数,所以当点M到渐近线距离是3,则点M到

√22+32√22+321313

渐近线/2距离是∣∣÷3=存选A.

点睛：本题主要考查双曲线的简单几何性质，涉及的知识点有点到直线距离公式、双曲线上

的点到两条渐近线的距离之积为定值等，属于中档题.

8.C

【解析】

【分析】

本题首先可以取A5的中点E并连接CB、CE,根据点T(LO)以及IAw=2求出圆C的标准

方程为(X-I)2+()，-0丫=2,然后求出A、5两点坐标，再然后设点N(毛,％),通过两点

INBlIMBIINBlIMAI

间距离公式求出扁=加r+1,最后通过相同的R方式得出扃=&+1,即可求出谒+扁

的值.

【详解】

因为圆C与X轴相切于点τ(l,0),所以圆心的横坐标为,

如图，取AB的中点E,连接CB、CE,

因为HW=2,点E是弦AB的中点，所以忸目=1,CElAB,

则∣3=1,∣βC∣=7∣EC∣2+∣BE∣2=√2,圆C的半径r=忸C∣=√L

故C(I,&),圆C的标准方程为(XT?+(y-夜『=2,

X=OC=Q

联立,_卢卜_q=2,≡tx=√21l'm内)，

设点N(XS%),贝IJ片+y：=1,

2

_^o+[⅞-(√2+ɪ)]_^+y≡-2(√2+l),y0+(√2+l)

Jx；Jx：+

.4÷2√2-2(√2÷1)J‹0+∣)(22)b)_

⅛4-2√2-2(√2-l)y0^^∣(√2-1)(2√2-2y0)L

同理可得瑞=α+∣,

=√2+l+-iJ-=2√2,

√2+l

故选：C.

【点睛】

本题考查线段长度比的计算，考查圆的方程的求法以及圆的方程的应用，考查两点间距离公

式，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.

9.A

【解析】

设切线方程为：x+8=f(y-4),与抛物线联立，表示线段AB的中垂线方程，可求解圆心坐

标和半径，表示圆的方程即可.

【详解】

设过点A(-8,4)的抛物线E:V=8x的切线方程为：x+8=∕(y-4),

即X=(y-8-4f(*),

代入y2=8X得y?-代+8(4r+8)=O,

由A=O得/一2f-4=0,(1)

所以方程(1)有两个不相等的实数根乙，

且4+U=2,”2=T,

在(*)中令X=O得8(0,4+：1,C(0,4+(,

设AABC的外接圆圆心为点Q(%,%),

则%=g(%+Vc)=2,

下求不：线段AB中点横标∙√=T,纵标%'=4+；,

*1

4

线段AB的中垂线方程为y-4-7=F(x+4),

._z_4r[l+2fj∣+4

令y=2得XO=­-γ—,

A

由(I)知24+4=彳，故Xo=-3,

设AABC的外接圆半径为R,

则R2=29,

所以AAfiC的外接圆方程为(x+3)2+(y-2)2=29,

BPX2+y1+6x—4y—16=0.

故选:A

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运

算的能力，属于中档题.

10.A

【解析】

【详解】

解：集合A表示以(3,4)为圆心,半径为专

的圆,

6

集合B表示以(3,4)为圆心,半径为的圆,

集合C在入＞0时,表示以(3,4)为中心，四条边的斜率为±2的菱形,

如图所示，若(AUB)nC≠0,则菱形与A或B圆有交点，

当χ＜2且时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足题意；

5

当2＜彳＜5叵时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意;

5

当菱形与小圆相切时,/L=2，

当菱形与大圆相切时,几=6,

,2M竿,6

综上可得：实数人的取值范围是

本题选择A选项.

点睛：解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算."以形助数"

是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法,解决此类问题的关键在于准确作出不含参

数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题

意的图形.

11.5

【解析】

【分析】

由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得I'"：sii?B的值

Sin-C

【详解】

以点G为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0,2m),8(2”,0),

由重心的性质可得：M(O,τ"),N(τι,0),

故直线AN的方程为：二+==1,直线的方程为：S+2=l,

-n2m2nTn

联立直线AN与直线的方程可得点C的坐标为C(-2",-2m).

y

结合两点之间距离公式可得：/=16/+4"/,b2=4??2+I6m2,c2=4m2+4n2,

T-,Irn--34-ΓΛ-T-rm―rΛ-rtsin~A+sin~8cι~+h~_

利用正I弦定理可知：------------=--=5.

sin2CCr2

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

12.2+√6

【解析】

【分析】

根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最

值.

【详解】

因为xj+yj=1,当2+%2=1,χ1χ2+yly2=p

所以A(xl,X),B(X2,必)在单位圆/+y2=1上，

且因为。4。8="*2+y∣%=IOAHo8kosNAOB,

JTT

所以CoSZAO"=—.•.NAOB=—,

23

因为|x,+xT+k+%T|=0p^^+^^、

2=正(ZT+⅛-/)=2OdMT,其中

/:x+y-1=0,M为AB中点.

又因为IoM=所以dg46—ɪɪʌ/ɜ即卜+y-ι∣+∣”2十%-1的最大值为

2√2(-^+y-)=2+√6.

【点睛】

本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属

难题.

13.8+2√6ft^2√6+8

【解析】

【分析】

N+X+4∣∖χ2+y2+4∖

的几何意义为点AB到直线x+>'+4=0的距离之和,根据梯形中位

丘

线知其最大值是AB的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍.求出M的轨迹即可求得该最

大值.

【详解】

∣x,+γ+4∣∖x+y+4∖

122的几何意义为点A3到直线x+y+4=0的距离之和，其最大值是

0FΓ^

/W的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍.

由题可知,为等边三角形,则IoMl=

二AB中点M的轨迹是以原点。为圆心，厉为半径的圆，

故点M到直线χ+y+4=o的最大距离为-Π2T+W=2√Σ+√5,

√1~+1

匠铲+匡沪1的最大值为2(2&+石)，

.∙.宙+乂+4|+昆+%+4|的最大值为2(2&+6卜&=8+2#.

故答案为：8+2Λ∕6.

14.[√5,+∞)

【解析】

【分析】

根据对称函数的定义，结合h(X)≥g(X)恒成立，转化为点到直线的距离d≥l,利用点到

直线的距离公式进行求解即可

【详解】

x∈D,点(x,g(x))与点(x,h(x))都关于点(x,f(x))对称，

g(x)+h(×)=2f(×),

∙.∙h(×)≥g(×)恒成立，

2f(×)=g(×)+h(×)≥g(x)+g(×)=2g(x),即f(×)≥g(x)恒成立,

作出g(X)和f(X)的图象，

则g(X)在直线f(X)的下方或重合，

则直线f(X)的截距b>0,且原点到直线y=2x+b的距离d≥l,

d==-kɪ≥1=>b≥>∕5^b≤-Λ∕5(舍去)

√.22J+l√5

即实数b的取值范围是［不，+8),

故答案为［6,+∞).

【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数

形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.

155+√iI

【解析】

【分析】

根据题意，α=(l,OM=(0,1),C=(X,y),利用(3o+c)∙(46-c)=0,求得乂〉的关系，利用

圆的几何性质，再求出IC-N的最大值，从而求出女的最小值.

【详解】

因为“、b是平面内两个互相垂直的单位向量，

所以可设α=(l,O),⅛=(O,l),c=(x,y),

.∙.3<7+c=(x+3,y),

4⅛-c=(-χ,4-y),

又(3。+c)∙(4b-C)=0,

.∙.-x(x+3)+y(4-y)=0,

即卜+目+(y-2『弓，

它表示的圆心在M1-*2)半径为!■的圆，

IC-N表示圆上的点到8(0,1)的距离，

圆心M到点8(0,1)的距离为"=恒，

2

∙∙.∣c-q的最大值为』+巫=近叵，

11222

要使∣c-4≤h恒成立，

即Z的最小值是2叵，故答案为2叵.

22

【点睛】

本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应

用，属于难题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解

决问题的难度大大降低,本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是

解题的关键.

16.-1<m≤∖^tn=-∖∣2

【解析】

【详解】

曲线X=Vi二手上存在唯一的点到A"-/+〃?)、B(√,/+∕n)(岸0,f为常数)两点的距离

相等，即线段AB的中垂线与曲线X=Jl∑7有唯一的公共点.

线段AB的中垂线为：y=χ+m

曲线X=Ji二手表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在y轴以及y轴右方的部分.

在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过（（）/）时有

一个交点，此时〃?=1；直线过（0厂1）时先与半圆形有2个交点，此时机=T

再与圆有两个交点，最后相切，此时机=-0

故答案为-1<,"≤1或Wj=-夜

点睛：本题考查了直线与半圆的交点个数问题，处理手段是数形结合，通过平行移动直线

y=x+m,直观的看到二者的交点情况，然后通过代数手段确定相切时的m的取值即可.

17.√2

【解析】

【分析】

设。到直线/的距离为d,利用三角形的面积均不小于且列不等式，由此求得d的取值范

4

围，再利用点到直线的距离公式转化为关于机M的不等式.根据女的取值范围，求得〃，的取

值范围，由此求得关于。,人的不等式，结合导数求得力-2α的最大值.

【详解】

设。到直线/的距离为d,则SAOz）=3X2√∏^∙d≥*,

解得1≤d≤也，即;≤γL=≤g,

222√⅛¼12

所以IJPTT≤zπ≤正&ɪw,

22

因为Z∈[Q,Z?],加>0时，

所以L际j≤m≤@必1,

22

因为存在利>0满足条件，

所以［后T≤且TTTI,

22

化简得—即-≤1,且0≤α<6,

22

由⅛^一41得8≤J34?+2，

所以力-2α≤5/3/+2-2.=/(4),

因为“≥0,解不等式/'(〃)=J：-2>O无解,