江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

九年级（上）期末试卷

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在

答题卡上，答在本试卷上无效.

2.请将自己的姓名、准考证号用0∙5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上及本

试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0∙5毫米黑色墨水签字笔写

在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个

选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答博卡

相座住置上）

1.抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（）

11八1

A.-B.—C.-D.1

234

【答案】A

【解析】

【分析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，

所以概率为L.

2

故选A.

【点睛】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解

决本题的关键是得到至少有一次硬币正面朝上的情况数.

2.方程/+2x=0的根可以是（）

A.X=OB.X=IC.x=2D.X=-I

【答案】A

【解析】

【分析】利用因式分解法求出方程的解即可.

【详解】解：方程可化为X（X+2）=0,

故X=O或x+2=0,

所以XI=0,工2=—2.

故选：A.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键.

3.如图，4〃4，直线。相交于点A且分别与4,4相交于点8,C,D,E.若43=3,

BC=5,Ar）=4,则。E的长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答.

【详解】∙.∙∕∣“∕2,直线。，匕相交于点A且分别与4，，2相交于点B，C,D,E，

2,即

BCDE5DE

故选C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所

截，截得的对应线段的长度成比例是解题关键.

4.若二次函数y=（%+2『+〃2与y=f+z7χ+3的图像重合，则加，〃的值为（）

A.m=∖,71=4B.m=l,n=-4

C.w=-l,n——AD.m=-∖,〃=4

【答案】D

【解析】

【分析】将二次函数化为一般式，根据图像重合，得到4+m=3,〃=4,即可得到答案.

【详解】解：∙y=（X+2）2+“I=/+4%+4+〃2,且与y=Y+加+3的图像重合，

4÷m=3

・・<,

〃=4

n=4

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数图像和性质，将二次函数化为一般式是解题关键.

5.如图，AB为OO的直径，PB,PC分别与OO相切于点8,C,过点。作A8的垂线,

垂足为E，交于点。.若CD=PB=26，则BE长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】作CHJ_PB于H,由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求

出CH的长，即可求出BE的长.

【详解】解：作CHLPB于H,

•••直径/3,Cf)于H,

：.CE=DE=LCD=上,

2

,：PC,PB分别切Co于C,B,

PB=PC=C0=2石,直径ABJ_依，

.∙.四边形ECHB是矩形，

.∙.BH=CE=√3,BE=CH,

/.PH=PB-BH=26=5

∙∙.CH=y∣PC2-PH2=^(2√3)2-(√3)2=3«

.∙.BE=CH=3.

故选：C.

【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角

形，应用勾股定理求出C4的长.

6.如图，在.ABC中，AB=I6,AC=S,BC=20,过AB上一点P画直线截

ABC,使截得的一个三角形与.ABC相似.若恰有3种不同的画法，则ΛP的取值范围

是（）

A.0<AP<4B,0<AP≤4C.4≤AP<16D.

4<AP<16

【答案】D

【解析】

【分析】如图，过点P有4种不同的画法与相似，当qAOP-ABC时有

ApAr

——=—,由题意可知，当。、C重合后，恰有3种不同的画法，求出范围即可.

ADAB

【详解】解：如图，过点尸有4种不同的画法与ABC相似，

APAC

AD^AB'

由题意可知，当。、C重合后，恰有3种不同的画法，

七AP8

有——=一，

816

即：AP>4,

.∙.4<AP<16,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到与已知三角形相似三角形个数

的临界点.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡

相座位置）

4

【答案】一

7

【解析】

【分析】根据比例的性质得到7a=3"代入求值即可得到答案.

【详解】解：∙,∙9=3,

b7

.∙.Icl=3b,

.∖a=-3b,,

7

,3,

jb—b

b—a_7_λ4,

"h~h~7

4

故答案为：一.

7

【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练比例的性质进行代换是解题关

键.

8.如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形

之间，则位似中心的坐标为______.

yk

2I

4.14N2

-1

【答案】（2,0）

【解析】

【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P,则P点为位似中心，然后写

出P点坐标即可.

【详解】解：如图，点P为位似中心，P（2,0）.

y八

46⅛

故答案为：（2,0）.

【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交

于一点，对应边互相平行(或共线)，掌握位似变换的性质是解题的关键.

9.数据-1,O,I,2,3,7的方差为.

202

【答案】—##6-

33

【解析】

【分析】先求出这组数据的平均数7=2,再根据方差公式进行计算即可得到答案.

一1

【详解】解：.这组数据的平均数XJX(T+0+1+2+3+7)=2,

6

这组数据的方差Y=，x「(_l_2)2+(0—2)2+(1—2)2+(2—2)2+(3—2)2+(7-2)丁

6l-

=lχ(9+4+l+0+l+25)=y=y,

20

故答案为：.

【点睛】本题考查了方差的计算，解题关键是熟练掌握方差公式

10.将抛物线y=-(X-3)2+1先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得

抛物线的表达式是.

【答案】y=-(%+l)2-3

【解析】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则即可求出平移后的二次函数的解析式.

【详解】解：由题意可知，平移后抛物线表达式为：

y——(%-3+4)"+1—4,

即y=/+l)2_3,

故答案为：y=—(ɪ+1)^—3.

【点睛】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图

形平移的规律.

ɪɪ.已知加，〃是/一4χ+2=0的两个根，则加2一3m+〃=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，利用根与系数的关系求出机+〃的值，把X="，代入得到关系式，原式

变形后代入计算即可求出值∙

【详解】解：鹏〃是f-4χ+2=0的两个根，

.∙.m2-4w+2=0>即加？-4根=-2,根+〃=4,

则原式=（机2-4机）+（根+"）=-2+4=2.

故答案为：2.

【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的

关键.

12.已知线段A5=2,若C，。是AB的两个黄金分割点，则Cr）长为.

【答案】2√5-4

【解析】

【分析】根据黄金分割的概念先计算出4C,然后再计算AO,最后根据CZ›AC-Ar）即

可求出答案.

【详解】如图，C,。是AB的两个黄金分割点，设AC>BC,AD<BD

I11」

ADCB

根据题意得，AC=BD=匪」AB=昱匕2=逐一I

22

AD=AB-Br>=2-（√5-l）=3-√5

.∙.CD=AC-AD=√5-l-（3-√5）=2√5-4.

故答案为：2√5-4.

【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线

段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值处•叫做黄金

2

比，熟练掌握黄金比是解题的关键.

13.已知ZVWCsaDEF,若qABC的三边分别长为6,8,10,即的面积为96,则

乙。砂的周长为.

【答案】48

【解析】

【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可证得.ABC是直角三角形，即可求得ABC的面

积，再根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：ABC的三边分别长为6,8,10,62+82=102,

.二ABC是直角三角形，

.•一ABC的面积为：LX6x8=24,

2

设的周长为X，

••二ABCs_DEF,

f6+8+10?24

'∖ɪ~)=96*

解得x=48,

故答案为：48.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形

的性质是解决本题的关键.

14.如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分(用于黏

贴).已知生日帽的母线长为25cm,高为24cm,AB长为乃cm,则原扇形纸板的圆心角度

数为°.

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算.

【详解】解：圆锥的底面半径为也52-24?=7(Cm)，底面周长为2万x7=14〃(Cm),

设原扇形纸板的圆心角度数为〃度，

Myτ-X25

.∙.---------=14π+π,解得n-108.

180

故答案为：108

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆

锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作

为相等关系，列方程求解.

15.如图，qABC内接于O。，NABC外角的平分线交二。于点射线AD交CB延

长线于点E.若NB4C=28°,BC=BD,则NE的度数为1

【答案】40

【解析】

【分析】根据已知可得BC=B0，由圆周角定理可得N84C=44£>=28。，进而求出

ZDAC=ABAC+ZBAD=56°,再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得

ZDBE=ZDAC=56°,继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解.

【详解】YBC=BD,

∙*∙BC=BD，

二ZBAC=ZBAD=280

：.ZDAC=ZBAC+ZBAD=56°,

•••四边形ACBD是圆内接四边形，

/•ZDBC+NDAC=180°，

•：NDBC+ZDBE=180°,

二ADBE=NDAC=5G,

'：BD平分NABE,

二ZABE=2ZDBE=ll2o,

：.ZE=180o-ZABE-ZfiAD=40°,

故答案为：40.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定

理，熟练掌握知识点是解题的关键.

16.将二次函数y=4/+mχ+〃（Μ，〃为常数）的图像沿与X轴平行的直线翻折，若翻

折后的图像将X轴截出长为2√Σ的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为.

【答案】-8

【解析】

【分析】设设翻折后图像与X轴的两个交点的横坐标分别为斗々，则

ZW

Xi+X2=-？平2=：,再进行变形得出（X1+/）2-4X1Λ2=8,再代入可得丁二=8,

进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标

【详解】二次函数y=4χ2+πix+/(m,〃为常数)的图像沿与X轴平行的直线翻

折，若翻折后的图像将X轴截出长为2夜的线段，

翻折前两交点间的距离不变，

设翻折后图像与X轴的两个交点的横坐标分别为孙⅞,

,mn

rt-

贝IJX]÷X2=-,X1%2=7，

.∙J%-JC21=2V2,

2

.∙.(xl-X2)=8,

.,.(Xl+马-4玉/=8,

2

-4×-=8,

4

m^-16

/.---------=8o,

16

P“2A∕,r∣,-ι-L4×4Π-∕∕Z2∖6n-m^

Xvy=4x+∕nx+〃的i纵坐li标i为-----------=----------,

4×416

16-m2

=-8,

16

即该二次函数图像顶点纵坐标为-8

故答案为：—8

【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与X轴

交点之间的距离是解题的关键.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.解下列一元二次方程.

(1)VT-3=0；

(2)3X(X-4)=Λ-4.

ZI1

(2)x∣=4,X2=—

【解析】

【分析】（1）移项后，利用配方法求解即可;

（2）移项后，利用因式分解法求解即可.

【小问1详解】

解：移项，得：X2—%=3-

11

配方，得：7—X-\—=3d—,

44

孚或T

【小问2详解】

解：移项，得：3x（x—4）-（x—4）=O,

二(x-4)(3x-l)=0,

,x-4=0或3x—1=(),

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.

18.如图，AB为（。的直径，。是弦AC延长线上一点，AC=CD,OB的延长线交（O

于点E，连接CE.

（1）求证NA=Nz）；

（2）若片E的度数为108°,求NE的度数.

【答案】（1）见解析（2）27°

【解析】

【分析】（1）连接BC,首先证明M=如，即可求解；

（2）根据舛E的度数为108°,可得到NEB4,根据/EBA=NA+",且NA=N£＞，

即可求解.

【小问1详解】

如图：连接BC

AB是.。的直径

ZACB=90°,即AOlBC

又AC=CD

∙∙∙AB=BD

ZA=ZD•

【小问2详解】

用E的度数为108°

NEBA=54。

又ZEBA=ZA+ZD，且NA=NZ）

.∙.ZA=-ZEBA=27°

2

NE=ZA=27°.

【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决

问题.

19.如图，在ABC和VADE中，ZBAD=ZCAE,ZE=ZC.

（1）求证aAecs44）E;

（2）已知AB=3AT>,BC=6,求OE的长.

【答案】（1）见解析（2）DE=2

【解析】

【分析】（1）利用相似三角形的判定定理证得"C与VADE相似；

（2）利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到：—,由此可以求得OE的长

ADDE

度.

【小问1详解】

证明：VABAD=ZCAE,

：.ΛBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC

：.ZBAC=ΛDAE.

又NE=∕C,

：.ΛABC^ΛADE.

【小问2详解】

解：V∆AβC^∆AZ>E,

.ABBC

"~AD~~DE'

又AB=3AD,BC=6,

二DE=2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关

键.

（1）根据图像，回答以下问题：

①。与。的数量关系为：b—；

②关于X的方程0c2+fox+c=o的解是.

（2）若该函数图像经过点（0,-5）,求它的顶点坐标.

【答案】（1）①-4a；②Xl=-1；Z=5

（2）（2,-9）

【解析】

【分析】（1）①根据函数图像可知，抛物线的对称轴为χ=2,由此可得。与力的数量关系；

②根据抛物线的对称轴为χ=2,图像与X轴的一个交点为（5,0）,可知另一个交点为（一2,0）,

由此可解答.

（2）根据。与方的数量关系，再将两点代入求得函数解析式，再根据函数的性质解答即可.

【小问1详解】

①解：对称轴为x=2,

・上=2,

-2。

.∙.b=YQ.

故答案为：-4a.

②解：对称轴为χ=2,图像与X轴的一个交点为（5,0）,

∙∙∙》轴与图像的另一个交点为（—2,0）,

可得方程解为玉=-1,x2=5.

故答案为：Xl=-1,XI=5.

【小问2详解】

解：设所求函数表达式为y=α（x-2y+Z:,

根据题意，将（0，-5）,（5,0）代入函数解析式，

9。+%=0

得：V,

[4a+k=-5

Q=I

解得♦C，

K=-9

.∙.所求表达式为y=（x-2p-9∙,

顶点坐标为（2,-9）.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

21.甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布"：两人先把手伸进不透明的圆筒中

出手势，然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行.

（1）两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率.

（2）两人玩两次“石头、剪刀、布”，则甲胜、负各一次的概率为

【答案】（1）-

3

⑵-

9

【解析】

【分析】（1）根据题意，列出表格可得共有9种结果，它们出现的可能性相同，其中甲获胜

只包含其中3种结果，再由概率公式计算，即可求解；

（2）分别求出甲第一局获胜，第二局负的概率；甲第一局负，第二局获胜的概率，即可求

解.

【小问1详解】

解：根据题意，列出表格如下：

石头剪刀布

石头（石头，石头）（石头，剪刀）（石头，布）

剪刀（剪刀，石头）（剪刀，剪刀）（剪刀，布）

布（布，石头）（布，剪刀）（布，布）

共有9种结果，它们出现的可能性相同，其中甲获牲只包含其中3种结3I9

31

所以甲获胜的概率=—.

93

【小问2详解】

131

解：由（1）得：甲第一局获胜的概率为一，第二局负的概率=一=一,

393

甲第一局获胜，第二局负的概率=LXl=L,

339

131

甲第一局负的概率为一，第二局获胜的概率=一=一，

393

甲第一局负，第二局获胜的概率=JXJ=L,

339

.∙.甲胜、负各一次的概率为!

999

2

故答案为：—

【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确列出表格或画出树

状图是解题的关键.

22.某机构调查了“消费者换眼镜时长与更换因素”并统计如下.

消费者更换频次与更换眼曜原因对比

S片

追到7处3

w:wauinME

KSJB

6个月以内

6个月•诔

1-1.5Φ

1.S∙2年

3年以上I1Is1«I4

•住043次下.BIT电门正楼，岫四8IfEadl人）

：Π^BN.2O63.∣qK2WGCkTfjCJJAiHV

<*202211IRefhIrx¼γ.vwttv⅞rArcncomcn

（1）以下说法正确的是.（填写正确说法的序号）

①镜片因素是导致消费者更换眼镜的最主要原因；

②消费者的眼镜使用寿命集中在1.5年~2年；

③镜架因素中，镜腿变形所占的比重最大.

（2）请再写出一个正确结论或合理猜想，并使用上图提供的信息加以佐证.

【答案】（1）①③（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据图示统计可知①③正确，消费者的眼镜使用寿命集中在6个月~1年和1年~

1.5年；

（2）根据图示信息进行判断即可.

【小问1详解】

①③.

【小问2详解】

本题答案不唯一，如：

①消费者的眼镜使用寿命集中在6个月~1.5年，因为这个阶段的条形图明显更长；

②表中数据总和比样本量N大得多，可见很多消费者更换眼镜是多种因素造成的.

③因为最后一行中，26是最大数据，可见更换频次在3年以上的消费者更换眼镜的主要原

因是眼镜损坏.

【点睛】此题考查了统计图，解题的关键是读懂图片提供的信息并根据信息进行判断.

23.甲同学在操场上向正前方伸直手臂，保持大拇指竖直，视线从大拇指边缘穿过观察植树

的乙同学，发现视野中乙同学的身高大概是大拇指高度的五分之一（如左图所示），测得甲

同学臂长为60cm,大拇指长为6cm,乙同学的身高为180cm.

(1)在右图中，。表示视点，OE表示臂长，CO表示乙同学的身高，则O尸表示

，AB的实际长度为.

(2)估算甲，乙同学之间的距离.

【答案】(1)甲、乙两人之间的距离，1.2cm

(2)90m

【解析】

【分析】(1)根据题意结合图形进行解答即可；

(2)由A3〃Cr>,得出4Q45S4oco,根据相似三角形的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意可知：O尸表示甲、乙同学之间的距离；

AB的实际长度=6x1=1.2(Cm),

故答案为：甲、乙两人之间的距离，1.2cm；

【小问2详解】

解：根据题意，得A8,

：.二OABSjJCD，

OE,OF分别是上。钻，OCz)对应边上的高，

ABOE

---=-——.,

CDOF

•_1_._2__6_0_

■180-OF'

.∙.OF=9(XX)cm=9()m,

答：甲、乙同学之间的距离约为90m.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是理解题意把实际问题转化为相似三角

形的问题.

24.已知二次函数y=αr?+公+2的图象经过点(2,0)和点C.

(1)若点C坐标为(1,3),

①求这个二次函数的表达式；

②当一ι≤x≤2时，直接写出y的取值范围.

(2)若点C坐标为(1,机)，且该函数图象开口向上，直接写出〃?的取值范围.

25

【答案】(1)①y=-2f+3x+2;②一3<y≤—

8

(2)m<∖

【解析】

【分析】(1)①利用待定系数法解答，即可求解；②把二次函数的解析式化为顶点式可得当

325

x=一时，y取得最大值，最大值为一，再由二次函数的性质可得当X=-I时，y取得最小

48

值，即可求解；

(2)把点(2,0)和(1,m)代入广/+数+2,可得a=l—机，再由α>0,即可求解.

【小问1详解】

解：①根据题意，当χ=2时，y=0；当X=I时，y=3.

3=0+b+2'解得

。=3

所求表达式为y=-Ix1+3x+2;

②Yy=-2/+3X+2=-2(X-《)+ɪ,

V-2<0,

325

.∙.当x=1时，y取得最大值，最大值为G,

V--(-l)>2--,

4v,4

.∙.若一l≤x≤2,当户一1时,y取得最小值，最小值为y=—2x(—l『+3x(—1)+2=—3,

25

，当—l<x≤2时，y的取值范围为-3≤y≤,;

8

【小问2详解】

解：把点(2,0)和。加)代入得:

4。+2Z?+2=0

V7_，解得：a=l-m

a+b+2=mf

・・•该函数的图象开口向上,

，α〉0,

，1—"2>0,

解得：m<∖.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系

式时，要根据题目给定的条件，选择怡当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了

二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征.

25.如图，在.ABC中，ZC=90o,AB=K）,BC=6,P是边AB上的一点，以P为圆

心，PB为半径作0P.

（1）尺规作图：求作一P,使得OP与直线AC相切；（保留作图痕迹）

（2）求（1）中P的半径.

【答案】（1）见解析（2）”

4

【解析】

【分析】（1）作NZABC的平分线交AC于点再过。点作AC垂线交AB于尸点，然后

以P点为圆心，P。为半径作圆即可；

（2）设切点为E,连接PE,根据切线的性质推出ZAEP=ZC,接着证明i.AEPS二Aa3，

再结合题目条件和两个相似三角形的性质即可求解.

【小问I详解】

如图，C）P即为所求作的圆

【小问2详解】

设切点为E，连接PE

-P与直线AC相切于E

PELAC

ZAEP=90°

ZC=90°

ZAEP^ZC

又ZA=ZA

∙∙∙,AEPACB

.PE_AP

~BC~~AB

AB=IO

AP=IO-PB

又PE=PB

,PBIo-PB

~BC~AB

BC=6

,PBIQ-PB

610

即:P的半径为一.

【点睛】本题考查了作图，解决此类问题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何

图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作，也考查了切线的判定与性质和相

似三角形.

26.一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为40

Y

元，售价y（元）与产量Mkg）之间的函数关系为y=-]+120∙

（1）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）若企业每销售该产品Ikg需支出其他费用。元（α＞（））,当70≤x≤8（）时该企业获得

的最大利润为2450元，求”的值.

【答案】（1）当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元

(2)10

【解析】

【分析】(1)设当该产品产量为Xkg时，获得的利润为W元，根据利润等于售价减去进价

乘以销售量，列出函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解；

(2)设当产品产量为X千克时，获得的利润为P元，得出P=—gf+(80-a)无，该函数

图像的对称轴为直线x=80—α,由70≤x<80,分类讨论即可求解.

【小问1详解】

解：设当该产品产量为Xkg时，获得的利润为W元.

根据题意，得W=Xl-gx+12θ-4θ)=-∣X2+80Λ=-∣(x-80)2+3200.

".'a——■-<0,

2

.∙.当x=80时，W有最大值，最大值为3200元.

答：当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元.

【小问2详解】

解：设当产品产量为X千克时，获得的利润为P元.

根据题意，得P=X(-2%+120—40—α),

即尸=—//+(80—α)x,

其中70≤xW80.

该函数图像的对称轴为直线x=80-α.

①若α>10,则当x=70时，尸有最大值，

即P=3150-70α<2450.(不合题意，舍去)

②若0<α≤l(),则当x=80—α时，P有最大值，

1,

将x=80—α代入，得P=5(80—a),

I,

当尸=2450时，2450=](80-αy.

解得％=10,¾=150(不合题意，舍去).

综上所述，。的值为10.

【点睛】本题考查了二次函数应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

27.解题探索.

在RtZ∖ABC中，ZACB=90。，AC=I,BC=t,ZABC=a,点。在BC延长线上,

将射线D4绕点。顺时针旋转1角后得到射线DE,过点A作AO的垂线，与射线DE

交于点P，点8关于点。的对称点为。，连接PQ.

当PO=PQ时，用，表示BO的长.

解：过P作设AD=DQ=X,

①②③④

（1）根据题意，可知z∖ABCs,AB=（用r表示）.

（2）从线索①入手可以如下解决问题，请填充思路框图.

（3）参考其他线索，用不同的方法解决问题.

写出主要步骤（如①②③…）或画出思路框图，无需写出详细过程.

【答案】（I）PDA；

ɜrr）t24-?

（2）①二T；②PGA；③

23/

（3）见解析（答案不唯一）.

【解析】

【分析】（1）根据垂直和旋转的性质，即可证明ABCSPDA；利用勾股定理即可求出AB

的长；

（2）过P作PFL。Q交。。于点尸，作PG_LAC交AC延长线于点G,则四边形

CFPG是矩形,根据对称的性质，设5O=OQ=x,则CQ=X-/,再根据等腰三角形的

判定和性质，得到。F=:，进而得到CF=±x-r,即可得到①答案；根据垂直得到

22

ZAGPZPAD=90°,再利用三角形内角和定理和平角性质，得到

NG4尸+NGQ4=90°,ZGAP+ZCAD=90°,推出NGR4=NC4D,即可证明

PAAΓ1PCPA

ACD-PGA得到②答案；根据相似三角形的性质，得到8=丝=L—,

fADBCtACAD

推出X=竺吧，即可用r表示出BZ）的长，得到③答案；

3t

（3）作辅助线如图，设8D=OQ=x,根据NB4D=NPED=90°,易证点P,A,D,

F■在同一个圆上，可得NpE4=NPD4=α,再根据三角形内角和定理和互余，得到

ACAF=ZABC,进而得到NB4/=90°；证明4ABCsAfχc,得到生=4£,求出