浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学提优卷

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学提优卷

亲爱的考生：

欢迎参加考试！请你认真审题,仔细答题,发挥最佳水平,答题时,请注意以下几点：

1.全卷共4页,满分120分,考试时间120分钟。

2.答案必写在答题纸相应的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）

I.RtZXABC中，ZC=90°,AC=2,BC=\,sinA=()

A.立B.2C.返D.工

522

2.如图，在△ABC中，DE//BC,AD=2DB,DE=2,则8C=(

C.4D.3

3.对称轴为y轴的二次函数是（）

A.y=(x+1)2B.y=2(x-1)2C.y=2x2+lD.y=-(x-1)2

4.两个相似三角形的相似比是g其中较小的三角形的面积是1W,则较大三角形的面积

是()

A.10c/nB.^-cmC八.——7cm2D.——686cm2

55025

5.如图，两张完全重合的正方形纸片，将上面一张正方形纸片绕着它的中心。按顺时针方

向旋转，旋转的角度数依次为45°,90。，135。，180。，能够使得两张正方形纸片完

全重合的旋转角度数为（）

C.90°,180°D.45°,90°,135°,180°

6.如图，在中，/W是BC边上的高，BC=12,AD=8,矩形EFGH的边EF与8c重合,

点G、H分别在4C、4B上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（）

A.5B.6C.7D.8

7.下列图象中，可能是二次函数y=-3/的图象的是（）

8.生活中到处可见黄金分割的美.在设计人体雕像时，使雕像的下部（肚脐以下）与全部

（全身）的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.如图，某雕像的高为2勿，为使它

符合黄金分割比例，那么它的下部（肚脐以下）应设计为（结果保留两位小数）（）

A.1.23勿B.1.24〃C.1.25屈D.1.26m

9.如图，在AABC中，点D在边AB上，DE〃BC交AC于点E,连接BE,DF〃BE交AC于点F.

10.如图，四边形5内接于半径为6的。0,BD=6用,连AC交BD千E,若£为/c的中

点，且=则四边形4腼的面积是（）

A.6次B.12V3C.18V3D.9V3

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题有6小题,每小题4分，共24分）

11.己知a=3,6=27,则a,6的比例中项为.

12.如图，若△/花与△叱都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与

△45C的周长比为.

13.把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出

1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为一.

14.如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背4。与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠

背，把面绕点。旋转到十'处，若AO=m,ZAOA,=a,则调整后点才比调整前点力的

高度降低了（用含加，a的代数式表示）.

15.如图，在△/仇?中，N4CS=90°,BC=\2,AC=9,以。为圆心，6为半径的圆上有一

2

动点〃连接以BD、CD,则§力必放的最小值为.

16.如图，在aABC中，ZACB=9O0,D是BC边上的点，CD=2,以CD为直径的。与AB

相切于点E.若弧DE的长为gn,则阴影部分的面积____.（保留n

15题图

三、解答题（共7题；17题12分，18-21题每题8分，22题10分，23题12分，共66分）

17.某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行,

运动员通过抽签决定分组.

（1）甲分到A组的概率为；

（2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率.

18.如图，在△4BC中，4DJLBC,垂足为D,BC=12,AD=6,tanC=|.

(1)求smZABD的值；

(2)过点B作BE1BC,若BE=10,求AE的长.

19.如图，在△ABC中，点以£分别在边46、〃■上，NSED=,行分别交线段应1、

BC于点F、G,且仍AC=DF：CG.求证:

(1)AG平分44C；

(2)EF-CG=DF-BG.

20.如图，△49。内接于。0,四为。。的直径，AB=5,AC=3.连接比；弦分别交0G

BC于■点、E,F,其中点£是的中点.

(1)求证：NCAD=NCBA.

(2)求硒物的值.

21.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价

是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10

件.

（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式：

（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润犷（元）与销售单价x（元）之间

的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销

售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？

22.如图，抛物线y=ax2-|x+c（a^0）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C（0,-2）,

tan^TlBC=|.直线x=1交BC于点D,点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PD.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1,连接PC,求△PC。面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2,连接AC,过点P作PE1BC于点E,是否存在点P使以P,D,E三点为顶

点的三角形与△力BC相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）

12345678910

ADCDCBDBBC

二、填空题（本题有6小题,每小题4分，共24分）

11.±9.

12.V2：1.

13.生

9

14.m~/ircosa.

15.4710

16.

三、解答题(本大题共7小题，共66分)

17.

(2)解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、

(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结

果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，

所以P(甲乙不在同…殂)=1=1

18.(1)解：在RtAADC中

3

AD=6,tanC=-

ACD=4

ABD=12-4=8

在RtZkABD中，根据勾股定理可得

AB=y]BD2^AD2=10

••/An63

(2)解:作AF_LBE于点F

*.•BE1BC,AD1BC

・・・四边形ADBF是矩形

AAF=BD=8,AD=BF=6

・・・EF=10—6=4

在Rt^AEF中，根据勾股定理可得

AB=J——2+“2=4\/5

19.(1)证明:如图所示:

•・•ZDAE+ZAED+ZADE=180

ZBAC+/B+NC=180°,ZAED=NB,・•・ZADE=ZC,

在AADF和AACG中，

AD:AC=DFiCG

{NADE=ZC

/.△ADFs△ACG,...ZDAF=ZCAG,

­.AG平分ZBAC

(2)证明：在〉AEF和AABG中，

,ZAED=NB

(，

ZEAF=ZBAG

AEFs〉ABG,

・•・一EF=一AF,

BGAG

在AADF和AAGC中，

ZDAF=ZCAG

ZADF=NC，

ADFs△4GC,

DF_AF

‘节=而'

EF_DF

EF-CG=DF-BG.

20•【解答】(1)证明：为半径，£为4〃中点.

：.OCLAD,AC=CD,

.,.ZABC=ZCAD；

(2)解：在口△/及；中，A&=5,AC=3,则比-4,

；.sinN烟=至=鼻，

AB5

.•.sinNOW=%屈，则CE=>,

AC55

则小=近2小2=普=微

YcosN烟=91,则cos/Og£1，

AB5AF5

则加三22£旦=匹，

44

：.EF=AF-AE=^--四=坦，

4520

则FD=AD-AF=^--西=风

5420

J.EFzFD=9：7.

21.(1)y=5OO-iOx-

(2)W=-10X2+700X-10000;

(3)当售价为34元时，每天的销售利润最大为2240元

22.(1)解：・・・C(0,-2),

・•・OC=2,

RtLBOCtanZ'ABC=-=—=-,

VOBOB2

・・・08=4,即8(4,0),

将点B(4,0),C(0,-2)代入抛物线的解析式得：｛16。-6+;=0,

c=—Z

_1

解得｛a=5,

c=-2

则此抛物线的解析式为y=：/一|%一2:

(2)解：设直线BC的函数解析式为y=kx+b,

将点B(4,0),C(0,—2)代入得：｛42+。；。，解得｛,

则直线BC的函数解析式为y=[x-2,

当x=l时，y=：xl-2=-|，即。(1,一|),

则CD=J(l-0)2+(-1+2)2=苧,

要使APCD的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，

设与直线BC平行的直线I'的函数解析式为y=[x+d,则F(0,d\CF=-2-d,

如图，过点C作CE1，’于点E,则CE为直线BC与直线，’间的距离，

在Rt^BOC中，OB=4,BC=7OB?+OJ=2遮,则smZOCB=21=^1,

BC5

VBC//1

•••ZCFE=ZOCB,

•••sin/CFE=sinZl9cB=等，

<£Rt^CEFsmZCFE=—=,

CF-2-d5

解得CE=等(-2-d),

-.d越小，CE越大，当直线r要与抛物线y=1x2-|x-2有交点，

即当直线I'与y=：x2—1%-2有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点P,

123n

V=-%——X—2

联立｛22,

y=|x+d

整理得：^%2—2x—2—d=0,

则其根的判别式J=4-4x1(-2-d)=0,

解得d=—4,

则此时CE=等x(-2+4)=誓,

△PCD面积的最大值为1xx~~=1，

将d=-4代入—2x—2—d=0得：xt=x2=2,

当尤=2时，y=1x22-|x2-2=-3,

PCD面积取得最大值时，点P的坐标为(2,-3)；

(3)解：对于y=1x2—|x—2,

当y=0时，-x2—jx-2=0,解得x——l,x—4,

/I(-1,0),

•••8(4,0),C(0,—2),

AB=4+1=5,AC—Vl24-22—V5,BC—V22+42—2V5,

AC2+BC2=AB2,

ABC是直角三角形，且4cB=90°,

设点P的坐标为一|7n一2),

PE1BC,直线BC的函数解析式为y=1x-2,

设直线PE的函数解析式为y=-2x+n,

将—|^n—2)代入得：-2m+n=1巾2一17n一2,

解得n=|m24-|m—2,

则直线PE的函数解