三角函数的范围与最值（解析版）

微专题三角函数的范围与最值

【秒杀总结】

一、三角函数f(力=4sin(ωx+3)中β>的大小及取值范围

rT

L任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即∈Z);

T

2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即fc-y(fc∈Z)；

3.任意对称轴与对称中心之间的距离为1周期加半周期的整数倍，即:+∈Z);

4.∕(x)=√4sin(sa:+¢)在区间Gb)内单调=>b—αW看■且/ra—£&(13+0<励+,<阮+ɪ(fe∈Z)

5.∕(τ)=ASin(OKC+少)在区间(a,b)内不单调n(α,b)内至少有一条对称轴，as+p≤k兀+1≤bo+夕

(fc∈Z)

、T

6.∕(x)=Asin(ωx+¢)在区间(a,b)内没有零点nb-a≤万且AπWaω+p≤bcu+3≤(A;+l)π(fc∈Z)

,,-f(fc-l)π≤aω+<z><fcπ_

7J(c)=>lsin(33;+夕)在区间(a,b)内有n个零点=><∕,.,(fc∈Z).

((K+n—l)π<oω+¢)≤(fjc+n)π

二、三角形范围与最值问题

1.坐标法：把动点转为为轨迹方程

2.几何法

3.引入角度,将边转化为角的关系

4.最值问题的求解，常用的方法有：(1)函数法；(2)导数法；(3)数形结合法；(4)基本不等式法.要根据

已知条件灵活选择方法求解.

【典型例题】

例1.(2023∙全国•高三考题练习)在A43C中，COSA=J,/XABC的内切圆的面积为16兀,则边BC长度

的最小值为()

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【解析】因为AHBC的内切圆的面积为16兀，所以AABC的内切圆半径为4.设ZXARC内角R,。

所对的边分别为a,b,c.因为cosA=ɪ,所以sinA=-ʒp-,所以tanA=.

NJI因为SAABC=

119ρ⅛z94

—bcsinA=ɪ(ɑ+b+c)X4,所以bc=-ʌ-(ɑ+fe÷c).设内切圆与边4C切于点。，由taπA=—

可求得tanj^-=4=-ɪr,则AD—毕.又因为AD=ð^*~ɑ——,所以b+c=与÷α.所以be=

Z4AUOΔo

⅛-(∙⅜l÷2α)=⅜ɪ^(4r^+ɑ)•又因为b+c>2，贰，所以3j±+α》2、/岑"(W?+α),即(聿'+>

OOO'ɔOVOOvO

ɪ⅛θ(+Q)，整理得Q‘-12α—64>0.因为α>0,所以α>16,当且仅当b=c=∙4τ~时，Q取得最

O'O'J

小值.

故选：A.

例2.（2023∙全国•南三专题练习）已知函数∕Q）=sin—+⑼,其中3>O,㈤≤全一于为/（4）的零点：

且/㈤W卜（于）恒成立，/3）在（—卷壶）区间上有最小值无最大值，则0的最大值是（）

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【解析】由题意，æɪɪɪ是/3）的一条对称轴，所以/（点）=±1,即-jω+φ=fei7U÷-yΛι∈Zφ

又/（―j）=0,所以一ɪɑ）+（P=k2π,fc2WZ②

由①②,得3=2（fe1-fc2）+l,fcι,fc2∈Z

又/（c）在（一区间上有最小值无最大值，所以T>—（一^%）=ɪ

即等>专，解得s≤16,要求“最大，结合选项，先检验口=15

当3=15时,由①得号-15+g=kiπ+ɪ,feiWZ,即0=k↑π--^-ikγ∈Z,又㈤≤∙∣∙

所以P=—ɪ,此时/Q）=sin（15x--ɪ）,当必G（—各，奇"）时，ɪʒʃ-ɪ（-'ɪ,'ɪ）,

当15/一9=一亲即I=一备时，/（%）取最小值，无最大值，满足题意.

4NDU

故选：c

例3.（2023∙高一课时练习）如图，直角A4BC的斜边BC长为2,N。=30°,且点BC分别在4轴，0轴正

半轴上滑动,点>1在线段BC的右上方.设OE=C词+》云，（rr,yCR）,记Al=ON∙五，N=±+

",分别考查M,N的所有运算结果,则

A.M有最小值，N有最大值

B.M有最大值,N有最小值

C.M有最大值，N有最大值

D.M有最小值，N有最小值

【答案】B

［解析】依题意ZBCA=30°,BC=2,/4=90°,所以AC=禽,4b=1.设40cB=α,则ΔABx=a+

30°,0°Va<90°,所以A(√3sin(α+30°),Sin(&+30°)),8(2Sina,0),C(0,2CoSa),所以AI=OA-OC=

11Q

2cosσsiπ(αf+30°)=sin(2α+30o)+∙y,当2a+30°=90°,α=30°时，M取得最大值为1+∙y=j∙.

无初+辰所以片以N=f=^⅛⅛±≡+

V',2sma,2cosα',"2smσ

sin(α+3(T)=14

当2a=90°,α=45°时,N有最小值为1+-ɪ-.故选8.

2cosσ2sin2df

例4.(2023・全国・高三专题练习)已知函数f(x)=QSinC+bcosx+d图象上存在两条互相垂直的切线，

且"+〃=L则α+b+c的最大值为()

A.2√3B.2√2C.√3D.√2

【答案】D

【解析】由常+/=1,令α=Sin仇b=cos6^,

由/(x)=QSinR+bcosx+ex,

得/(c)=QCoSN—bsinx÷c=sinGcosc—cos0sinτ÷c

=sin(O—R)+c,所以c-1≤∕'(ι)≤c+1

由题意可知，存在孙立2,使得/'(皿)/'(6)=-1,

只需要∣C—l∣∣c+1∣=IC2—1|>1,即c'2-1≤—1,所以。2<0,C=0,

a+b+c=a+b=SinJ+CoSe=√2sin(0+ʌ)≤√2

所以α+b+c的最大值为√Σ

故选：D

(X—2)ln(x÷1),—1<x≤m,

例5.(2023・全Bl・方三专题练习)已知τn>0,函数/3)=恰有3个零点,

cos(3x÷-j-),m≤x≤π,

则m的取值范围是()

B∙[⅛⅞)uI2⅜]

D∙(O,⅞)U[2,⅜]

【答案】A

【解析】设g(∙∕)=(Ir-2)In(C+1),ZlQ)=Ce)S(3C+-ɪ),

求导g'Q)=EQ+1)+ɪɪɪ=ln(æ+1)+1-—ɪr

JUIɪJUIɪ

由反比例函数及对数函数性质知g'(z)在(―l,m],m>0上单调递增,

且g'(4^)〈。，g'(i)>0,故g'(力)在(3」)内必有唯一零点外

当Ie(-Ln))时，g,(x)<O,g(%)单调递减；

当①∈(χ0,m]时,g'(c)>O,g(c)单调递增;

令g(ι)=0,解得％=0或2,可作出函数g(z)的图像，

例6.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/⑸=COS（公r-,）（s>0）在[专6]上单调递增,且当工C

呼，告1时，f⑺≥（）恒成立，则。的取值范围为（）

L4J」

A.（θ.ɪ]u[ɪ,ɪ]B,（θ,ɪ]U[ɛ,ɪ]

C.（θ,ɪ]u[s,ɪ]D.（θ,ɪ]U[^-,8]

【答案】B

【解析】由已知，函数/(。)=COS(Sl--y)(ω>0)在［ɪ,ɪ］上单调递增，

所以2km-τr≤cox—?-≤2k［7c(k↑∈Z),解得：----≤x≤———F--~(feɪEZ),

OU)OUJCOOCO

(兀>24ITr2兀

由于［帝号］］等一器，等+W⅜∣≡Z),所以：2短?，解得:12fcι-4≤ω≤8fcl+

［4、F-+右

∙⅜(kIeZ)①

又因为函数/(%)=COS(⑷出一')(">0)在1∈［ɪ,ɪ］上/(a)>0恒成立,

所以2k)兀—?-≤cox—5-≤2k>τt+(k<>∈Z),解得：――ɪ-----若~≤纪≤--匹+EZ),

2O-ZCOOCt)coU①~

+∙∣(A⅛eZ)②

ω>O

-4≤ω≤f,解得Oe(O,豹;

又因为s>0,当自=fc2=0时，由①②可知:

—≤<o≤^⅛

əZ

ω›O

28

当岛=A⅛=1时，由①②可知：,8WsW丁，解得“C［8,9］.

々々

［丁22(3≤丁17

所以0的取值范围为(0,弓]U[8,孝■].

故选：B.

例7.(2023∙全国•高三专题练习)在锐角△力BC中，角工，B,C的对边分别为α,b,c,△?!Be的面积为

S,若SinC4+C)=空■亏,则tanA+=2＞、的取值范围为()

τbs-a^3tan(S-A)

S竽+8)卜孳学C∙(⅛⅛)D.[⅛1A)

【答案】C

【解析】在AABC中，sin(A+C)=SinBS=-^-αcsiπB,

故题干条件可化为〃一/=αc,由余弦定理得b2=a2+C2-2αccosB,

故C=2αcosB+Q,又由正弦定理化简得：

Sine=2sinAcosB+sinA=sinAcosB÷cosAsinB,

整理得sin(8-A)=Sin/,故B—4=4或6—4=兀一行(舍去)，得3=2A

OVAV/

△4BC为锐角三角形，故[OV2/V强，解得《＜4＜与，故今Vtan√lVl

()V兀-3J4V个

tan√4+-----ɪ—TT-=tan/l+o~~-rE(＞^τ)

3tan(B-A)3tanΛ13'3，

故选:C

例&(2023-上海•高三专题练习)在钝角AABC中，α,b,c分别是△力Bc的内角ABC所对的边,点G是

△ABC的重心,若AGJ_BG,则CoSC的取值范围是()

A.(0,字)B.俗号)C.(ɪ,l)d-[y-i)

【答案】C

【解析】延长CG交AB于如下图所示：A

∙.∙G为RC的重心，.∙.。为中点且CD=；T

∙.∙AG±BG,：.DG=yAB,.∙.CD=^AB=-

六Λ4CCU,/4AD2+CD2-AC2

在中，ZADCD---：

4ADCCOSNADC=-----^3-7一

Tc

5c2—2b2.

-3c5~；

52_2

,.eχBD2+CD--BC22^c-α5c2-202

在λΔλBdDπλC中,cosZBPC=­2S^CD=~ɜʃ=

^2c

∙.∙NBDC+ΛADC=π,：.COSNBOC=一cos/ADC,

5c22fej22

即源二,/=-~2,整理可得：a+b=5/>C?,c为锐角；

3c-3c~

设√4为钝角，则b2+c2<a2,a2+C2>b2,α>6,

.y译+¥((⅛)2÷⅜÷⅜(∣)2<ιʌ,ɪ

∙%(α2¥一[白2。+春+春仁)・％)<下

TQ>b>0,.*.OV—V∙^^,

ChJ

由余弦定理得3sC=^⅛U=看•穹产=看传+?)>卜(乎+4)=乎,

又C为锐角，；.(^<cosCV1,即cosC的取值范围为(乎∙,1).

故选：C.

例9.(2023∙全Bl•高三专题练习)设锐角&4BC的内角人民仁所对的边分别为公"如若^=⅞,α=√3,

O

则从+c2+bc的取值范围为()

A.(1,9]B.(3,9]C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【解析】因为A=等,α=√5,

由正弦定理可得Tɪ=二零=2=L⅛∙=-——

si"粤SmBsin(⅛.β)

则有b=2sinB,c=2sin(弩—B),

由AABC的内角AB,C为锐角，

[0<B<⅜,

可得2-r万，

IOV弯-BV多

^5-≤β≤-5-=⅛-5^<2B—5-<-ɪ-=>ɪ<sin(2B—)≤1=⅛2<4sin(2B—≤4,

62666216/16，

由余弦定理可得a?=62+C2-26CCOSyl=3=b?+C2—be,

因此有b2+c1+bc=2bc+3

=8sinβsin(-^—S)+3

=4Λ∕3si∏βcosB+4sin2B+3

=2√3sin2B-2cos2B+5

=5+4sin(2B--∣-)∈(7,9]

故选：D.

例10.(2023∙上海•高三专题练习)某公园有一个湖，如图所示,湖的边界是圆心为O的圆，已知圆。的半

径为IOO米.为更好地服务游客,进一步提升公园亲水景观,公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥,设

计弓形MMNP,PQ,QM为亲水木平台区域(四边形AWPQ是矩形，/1,D分别为MN,PQ的中点，

OA=。。=50米)，亲水玻璃桥以点4为一出入口，另两出入口B,C分别在平台区域Λ∕Q,NP边界

上(不含端点),且设计成NBAC=专,另一段玻璃桥R-。一E满足FD〃AC,RD=47,ED〃√1B

,ED=AB.

(1)若计划在6,F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；(f!f⅛:√2≈1.414

,√3≈1.732)

(2)设玻璃桥造价为().3万元/米,求亲水玻璃桥的造价的最小值.(玻璃桥总长为AB+4。+DE+

DF,宽度、连接处忽略不计).

【解析】⑴由题意，。4=50,0M=IOO,则MQ=IoO,AW=50√3,ZBAC=£,设^MAB=Θ,ΔNAC

Q/D

75<MB<100,<tanO<-y=∙,MB=AM-ta,nθ=5O√3tan0,

Rf)∕7Γr∩∕TΓMλκA/八

M7=A7V∙tantz=4y^-,而MF=CP=IOO—NC=Ioo—

tanσtanσ

.∙.BF=MB-MF=50√3(tan6*+-ɪ-r)-100≥100(√3一1),当tan∣9=1(符合题意)时取等号，又

100(√3-l)>70,

可以修建70米长廊.

(2W=∠4M=∞√3acAJ^50V3_则AB+AC=22=50√^(sinJ+cos/

⑷cos0COS0'CoSasin。"」cos。sin。sin%osO,

设力=Sine+COSe=√2sin(0÷ʌ),则t2=1+2sin0cos∕9,即SinGCoSG='J.

4n,100√3t_100√3.,√3..夕/2匚瓜/瓜1/穴、？门点

AB+AC=-产_].=----「，由z(Dn知~2~V4tan夕<,而^^ɜ-VVɪv3,・・三夕使

t一_t

6+子=卷且与<6+与<年,即1Vt≤√5,0Vt-1≤察，

42444L2.

：.AB+AC=W缪≥l()0√6,当且仅当t=声,夕=1时取等号.

由题意，AB+力C=JDE+DR,则玻璃桥总长的最小值为200西米，

铺设好亲水坡璃桥，最少需200√6X0.3=60√6万元.

例11.(2023•全国•南三专题练习)在aABC中，角A,B,。的对边分别是α,b,c,满足bsin4=

αsin(B+ɪ-)

(1)设a=3,C=2,过右作BO垂直AC于点。,点E为线段的中点,求丽∙丽的值；

(2)若AABC为锐角三角形，c=2,求&48C面积的取值范围.

【解析】(l)6sinA=asin(B+ɪ-),由正弦定理得：

SinjSSin√4=sinAsin(β÷ɪ)=ɪsinAsinB+-^-sinΛcosB,

所以γsiπAsinS—∙^-sinAcosB=0,

因为√4∈(0,π),所以SirLA≠0,

所以-ysinB--^y-cosB=0,即=

因为B∈(0,兀),所以B=与,

因为Q=3,C=2,由余弦定理得：b2=d2+C2—IiaccosB=9+4-6=7,

因为6>0,所以匕=，7,

其中

SΔ4BC=ɪaesins=-ɪ-×3×2×=ɜ^ɜ5

诉HRF)_2S△人改，_3/—3√21

因为点E为线段BD的中点，所以BE=笔L,

由题意得：示=反5+育=炭+示，

所以说•丽=丽•(屈+51)=屈2+0=符.

⑵由⑴知：3=与，又c=2,

O

由正弦定理得：Tɪ=-7⅛-=————

SmASinCSin(A+专)

M-2sinΛ2sinA4

所以Q=----------------=G-------------后-----=------后L，

sin(A+ɪ)亨Sinyl+-y-cosA1+-~~

'J/22tanΛ

(4€(0,生)

2

因为BC为锐甭三角形，所以《9'.寸、，解得：Ae(杳，与)，

[C=等Te(0,£)62

则tanA∈(哈+8),ɪ∈OU),1+ɪe(L4)，

4

故Q=∈(1.4),

ɪ+tanA

△ABC面积为S=/acsinB=空α∈（乎,2勾

故AHSC面积的取值范围是（李,2代）.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023*全国•高三专题练习)已知a,b∈7?,设函数力(6)=cos2x,f2(x)=α-bcosc,若当力(2)≤∕2(≈)

对cC[m,n](m<∙n)恒成立时，九—m的最大值为号,则()

A.a≥Λ∕2-1B.a≤Λ∕2—1C.b>2—√2D.fe≤2—Λ∕2

【答案】A

【解析】设t=Cosx,X∈[m,n],因为n—τn的最大值为李>兀=手，所以：r∈[m,n]时，I=CC)SZ必

取到最值，

当n—m=ɪ时，根据余弦函数对称性得cos%∣a=1=>m^^n.=2kπ,k∈Z,此时CoSTn=

/m+nn-m∖∕3兀\3兀√2

CoS(5-----------2/=COS(2π7∕θTr1)=CQS丁=—y-

/m+n.n-m∖∕3π\3兀√2

cosn=COs(—2-----1----2—)=cos∖2o欣7+l-ɪ-j=eos-ɪ-=—N

XLm+nim+n.πj»z7.brtj./m÷nn-τn∖

或者cos---=-1≠>——=兀+2kπik∈Z,止匕时COSm=Cos(—------------—)=

∕f.3π\3兀√2

costθ2fcπ+π----尸=—cos—j-=—^―

'4f42

/m+n.n-m∕2..3π\3兀√2

cosn=cos(-------1-------∖)=COs(2∕cτu+兀+—r-I=—cos-r-=-ʒ-

由力(.)≤∕z(x)n2cos2x-1≤α-bcosx=>2cos⅛+hcosx—(1+α)≤0,

设t=cosx,X∈[m,n]时2铲+b力—(1+α)≤()对应解为il≤t≤⅛5

由上分析可知

当力I=，力2'1或tι≤—1,t2=-ɪ-时，满足Tt-Tn的最大值为-ɪ-,

所以≤—，即—1.α≤—,所以Q>—1.

—=%]+21—I,?-或—=力]+t?<—1+,即bW,x∕2—2或b>2—∙∖∕2,

故选：A.

2.(2023-全国・高三专题练习)A46C中，AB=嚣，ZACB=与，。是/XABC外接圆圆心，是双？∙

4

+方•国的最大值为()

A.OB.1C.3D.5

【答案】C

【解析】过点。作OD±4C,OEJ_BC,垂足分别为。，E,如图，因O是AABC外接圆圆心，则。，E

分别为AC,BC的中点，

在aABC中，荏=方一方,则I湿|2=|可|2+|南『一2国・怎,即文・

∖CA∖2+∖CB∖2-2

θð.(5X=必11的COSNOc½=I司M司=同词：同理eð.3=

y∣CB∣2,

因“匕，OC∙AB+CA∙CB=δC∙(CB-CA)+CA-CB=CO-CA-CO-CB+CA-CB

=-∣∣CA∣2-j∖CB∖2+QA『+产7=时?_1,

由正弦定理得：IeXI="叟嚅■=①辿∙=2sinB≤2,当且仅当B=专时取“=”，

SlnNACBsinɪ2

所以正•四+0%∙国的最大值为3.

故选:C

3.(2023*全国•方三专题练习)在锐角AABC中，若√3sinA(-5^-+C)=SinBSinC,且√3sinC,

+cosC=2,则α+b的取值范围是()

A.(2√3,4]B.(2,2√3]C.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【解析】由√3sinC+cosC=2sin(C+ɪ)=2,得C+优=卷+2kπ,k&Z,

fe.√3

∙.∙C∈(O,⅞),ΛC=⅜,由题笆a+空空=喏呼,由正弦定理有/i+3。=T-

'2八3ac√3sinΛQC√3α

ɪɪ,故'cs?+CQSg=瓦/二，即cos/∙sinC+sin/∙cosC=.si;C-ʌ/ɜfe故sin(√l+C)=

2αsιn√4sinC2smΛ24x

a

SinB=々2,即-R="算，由正弦定理有δ—I，=C=,故Q=仝件sin4,b=

4SinB3sιnASinBSinC33

sinS,又锐角ΔABC,且C=ɪ,.*.A∈(θ,ɪ),B=-ɪ-AE(θ,ɪ),解得4∈(ɪ,ɪ),.,.α÷

b=-ɜɪ(sin?1+sinB)=-ɜɪ[sin^+sin(-ɪ­Λ]]=+?(SinyI÷-ɪ-eos^+ɪsin?1)=

4sin(A+ʌ),

"∙"ae(⅜>y)»λ^4+⅞g(⅜>⅜^)>sin(24+⅞)e(坐'ι]'

.∙.α+B的取值范围为(2√3,4].

故选：A.

2sin(ωx+y-),x≥O,

4.(2023•全•国•南三专题练习)设①eR,函数/(ι)={?'g{x}=ωx.若/(力)在

I卞立2+4”6+5,1V0,

(-ɪɪ)上单调递增,且函数/(乃与g(x)的图象有三个交点，则3的取值范围是()

-

ʌ-⅛'⅜]b∙(喑等]c∙D∙[3^∙O)UI⅜'⅜]

【答案】B

【解析】当Ne[o,ɪ)时,口力+方e[玄+ɪ),

因为AN)在(一卷与)上单调递增，

∖ɔΔ,

三”4.ɪ≤ɪ

2十6、2

4ωV__12

所以,1解得十≤s≤等,

・万、一§t4o

2si∏a2

又因函数/(力)与g(ι)的图象有三个交点,

所以在X∈(—8,0)上函数/(%)与g{x}的图象有两个交点，

Q1

即方程勺"+4cαz+受=S立在ZC(―∞,0)上有两个不同的实数根,

即方程3∕2+6ftxr+l=0在ze(-∞,0)上有两个不同的实数根，

Δ=36ω2-12>0

所以;°V°,解得。>率，

I∙^-×O2+6。X0+1>0

当“C(李气时,

当N>0时，令/(1)-g(ι)=2sin(ωx÷ʌ)—ωx,,

由/(力)-gQ)=I>0,

⅛CDX+瓦=-y-时，OKC=-ɜ-,

此时,/3)-ð(ʃ)=2-⅛<0,

O

结合图象，所以N>0时，函数/(Z)与g(±)的图象只有一个交点,

综上所述,ω∈

故选：B.

5∙(2023枚∙湖南长沙.商三长聊中学校考阶段练习)已知函数/(⑼=sin(ωx+∣)(ω>0)在［-∣-,π］上

恰有3个零点，则3的取值范围是()

,

ʌ-I⅜⅜)0(4,⅜)b∙[⅜,4)u[⅜,^y^)

α[⅜,T^)u(5,⅜)D∙[^5)U[*^∙)

【答案】C

【解析】①CΓ等，兀]>ωχ÷^ψɛf^ψω+^5^,πω+与],其中≤*—γ<解得：3≤ω<6,

LJ」JLJJJ」(Jl)OCl)

d(兀+2km≤冬z>+*V2ττ+2k]兀

则Ws+与要想保证函数在恰有三个零点，满足①《''

JJJI14兀+2kITrV兀/+互≤5兀+2k∣τr

O

［1［4(2k)7t≤与CO+ɪV兀+2fc>7Γ

自∈Z,令岛=0,解得：0;e［今,分)；或要满足②《一JJTr^,品GZ,

JJ∖2k2π÷3π‹πω÷-y≤2k亦+4兀

令灯=1,解得：3e(5，¥);经检验，满足题意，其他情况均不满足3W0V6条件，

综上：s的取值范围是［ɪ,-ɪ)U(δ,4r^).

故选：c

6.(2023-全国•南三专题练习)已知函数/⑵=sin(ωx+-^)(ω>0)在区间［0,π］上有且仅有4条对称

轴,给出下列四个结论：

①/3)在区间(O,K)上有且仅有3个不同的零点；

②/(⑹的最小正周期可能是

③⑷的取值范围是［号，苧)；

④/(0在区间(0,卷)上单调递增.

其中所有正确结论的序号是()

A.①④B.②③C.②④D.②③④

【答案】B

【解析】由函数/(0=sin(ωx+-^-)(ω>0),

令ME+与=告+kπkWZ,则％=,k∈Z

42i4ω":M"

(ɪ_4k)Tr

函数/(c)在区间［0,兀］上有且仅有4条对称轴，即O≤------j-----&兀有4个整数k符合，

4Ct)

由OW（It'）兀≤7r,得o≤l14k≤in0Wl+4kW4s,则k=0,1,2,3,

4a）4ω

1Q17

即1+4X3≤4ωVl+4X4,∙~j-≤3Vʒɪ-,故③λ正确；

对于①，*∙*W（0,π）,.∖ωx÷ɪE［∙^^,ωπ+-ɪ-］,ωπ+ʌ6（-ʃ,-ɪ）

当ωx+G［与■，专^）时，/（ʃ）在区间（。，兀）上有且仅有3个不同的零点；

当3工+亨∈序,等）时，/3）在区间（0,K）上有且仅有4个不同的零点；故①错误；

对于②,周期T=与，由苧≤3V学，则会＜。＜/，•・•普VT≤*，

CO44IrCDIo1/IJ

又£©（等,管］,所以/（工）的最小正周期可能是故②正确；

对于④,∙.pe（0,金）,.∙s+∙∣∙∈（字箸+与）,又［竽,¥）,.∙.詈+m∈（条普）

又答〉.,所以/3）在区间（o,含）上不一定单调递增，故④错误.

故正确结论的序号是:②③

故选：B

7.（2023-全国•高三专题练习）函数y=sin（s∕—3）（。＞0）在［0,π］有且仅有3个零点，则下列说法正

确的是（）

A.在（0,π）不存在X1,6使得f（g）—f（g）=2

B.函数/（%）在（Om）仅有1个最大值点

C.函数/（为在（0,£）上单调进增

D.实数。的取值范围是［书,书）

【答案】D

【解析】对于4/（C）在［0,π］上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期TVTr,

所以在［0,π］上存在如g,且/（为）=IJ（g）=-I,使得/（电）一f（g）=2,故4错误；

由图象可知，函数在（0,兀）可能有两个最大值，故B错误；

对于选项D,令GN—e=k兀,k∈Z,

则函数的零点为%=L（kττ+2）,k∈Z,

所以函数在g轴右侧的四个零点分别是：,

υωoωoωυω

函数g=sin（3i—专）（口＞0）在［0,π］有且仅有3个零点，

（13兀V兀

所以黑、兀，解得3C[号,普），故。正确；

I6ωκ

IQ

由对选项D的分析可知，ω的最小值为ɪ,

当OVNV勺时,①c一俞∈（一*，¥^），

但（一"不是（O,]）的子集，

所以函数/（ɪ）在（0,今）上不是单调进增的，故。错,

故选：D.

8.（2023-上海・高三专题练习）在443C中，角A9BfC的对边分别为ɑ,b,c,若sin（>l+C）

（中，+&衿）=舞，B=?则α+c的取值范围是（）

A.（-ɪ-,vɜjB.（ɪ,vɜ]C.D.[^2^>√3]

【答案】A

【解析】由题知Sin(A+C)(罕+等)=罪,3=全

,SinRCoSJB+COSC\_SinyI

∙"`bc'sinCf

日cosB,cosC_2V3sinA

即F-+F^-3sinC

由正弦定理化简得

2√f3δcsin√l2√3afe

/.c∙cosB+b∙cosC=

3sinC3

_2V^Jsin?!

/.sinCcosZ?+cosC,sinJ3

一3-

2V3b⅛inΛ

.,.sin(S+C)=SinA=

3

√3

.∖b

2

Q

SinA

)∣

.∖a+c=sinA+SinC=sinA+sin(2π_A=--sinA+-^-cosA=ʌ/ɜsin(A+ʌ)

T-

•・•0V力VvL

.∙.∣<Λ+f<⅞

Vʌ/ɜsin(A+≤Λ∕3

即Va+c≤√3

故选：A

二、多选题

9.（2023*∙山东济南∙南三统考期中）在BC中，内角4,8,。所对的边分别为。，匕，。，且

tan（Λ+B）（l-tanΛtanB）=黑瘾,则下列结论正确的是（）

A.A=^5^

6

B.若b-c=卓α,则44Be为直角三角形

O

C.若aABC面积为1,则三条高乘积平方的最大值为3√3

D.若。为边BC上一点,且A。=1,BD：DC=2c：b,则2b+c的最小值为用N

I答案IBCD

【解析】对于4因为tan(A÷B)(l—tanΛtanB)=,所以tan√l+tanS=,

则由正弦定理得JJsinC=sin√4cos∙B(tan√l+tanB)=Sin力CoS・)in"CQSz^CQySinZ?=SirIJ4•

COS√⅛COSo

SinG4[B)=Sin儿sinCr

COSAcosA'

则Λ∕3sinC,cosΛ=sinAsinC,

因为OVCV兀，所以SinC>0,故taιιA=ʌ/ɜ,

又OV/V兀，所以力=■,故Z错误；

对于由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b1+C2—be,

因为b—c=-ʃ-ɑ,^∣7b=坐~a+c,4弋入上式得标=（乎PL+C）÷C2-（^y-α+c）c,

整理得3c2+√3αc—2/=0,解得Q=√3c或Q=-^y-c（舍去），则b=2c,

2

所以/=c?+c,故B正确；

对于C,设AB,AC1BC边上的高分别是CE,BF,AD,

则由三角形面积公式易得AD=V,6尸=看,CE=看,则（40XB尸XCE）2=（}U

因为1-+《+!》3A∕}^,当且仅当'=]=」-,即α=b=c时，等号成立，

abcVaocabc

此时S=-^-bcsinA==1,得b'='#,

Δ4.5

所以（ADX6?*侬）2=（43）2«375,故。正确；

对于。，因为Bj□：。。=2。：匕，所以无方=屈+初=屈+7^-尻=m+代\-（於一μ）=

V）I乙C（zI乙C

-b_Tgi2C

b+2cb+2c,

可得]=7.2or,ɛ2+7Γ⅛ΓVb^+27ΓΞ⅛^r^cbcos60°，

(b+2c)~(b+2c)~(b+2c)~

整理得(b+2c)2=7i⅛2,故十+看=√7,

所以2"c=⑵+c)xξ⅛4+看)=*(§+专+5)>*(2√^ψ+5)=竿,

当且仅当a=华且上+禹=√7,即b=c=3,时，等号成立，

coco1

所以26+c)当N,即26+c的最小值为岑N,故。正确.

故选：BCD.

10.（2023秋•江苏苏州•南三苏州中学校考阶段练习）已知函数f（M=,s⅞2迈，则下列说法中正确的

1+2cosX

是（）

A./（x+π）=∕（x）

B.ʃ（æ）的最大值是

O

c./Q）在（一£奇）上单调递增

D.若函数/3）在区间［θ,ɑ）上恰有2022个极大值点，则a的取值范围为（竿兀,竽兀］

【答案】ABO

si∏2xsin2xsin2出

【解析】/Q）=

1÷2cos⅛]I2(1+当s2c)2÷COS2。

sin(2rr+2π)sin2c

A选项：f（x+兀）==∕(rc),A选项正确;

2+cos(2rr+2冗)2+CoS2%

B选项：设/(。)=7:m%=九则sin2x—ICoS2c-cIt-Jl+亦Sin(2c+φ)