中考数学复习函数17 反比例函数中的四边形问题（教师版）

专题17反比例函数中的四边形问题

1知识对接

考点一、反比例函数中的四边形问题

类型1单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积

II项训练

一、单选题

I.如图，四边形OABF中，NoAB=NB=90。，点4在X轴上，双曲线y=∙^过点尸，交

X

BF3

AB于点、E,连接ER若==；，SABEF=9,则左的值为（）

OA4

【答案】A

【分析】

kRF3

设点尸（”，-）,由芸==得点E和点8,再结合SA阳=9求火的值.

aOA4

【详解】

解：设点尸（。，

a

'OA~4

∙・∙点3(44,一),点E(44，——),

a4a

3k

BF=3a,BE=—,

•：SABEF=9,

.13⅛

..-∙3qa∙-=9o,

24a

.'.k=8,

故选：A.

【点睛】

本题考查了反比例图象上点的坐标，三角形的面积，采用了设而不求的方法求攵的取值.

2.如图，函数y=&(⅛>0)的图象经过矩形。ABC的边8C的中点E,若四边形OOBC的

X

面积为6,则k的值为()

【答案】C

【分析】

k

根据反比例函数y=-(k>0)的图象经过矩形。45。的边BC的中点E,可得到点D是AB

X

的中点，进而得出S*cw=gs岷ij"80=2=j4，求出k即可•

【详解】

设B(2ffl,2"),

•：E为8C中点，四边形0C8A是矩形，

.'.E(2m,〃)

∙.∙函数y=V(⅛>0)的图象经过矩形。ABC的边8C的中点E,

X

.*.k=2ιnn,

又点。在函数y=A(Λ>o)的图象上，

X

，点。坐标为（"7,2"）

.∙.点。是AB的中点，

∙"∙SAAOD—-S四小彩OCHD-]X6=2=ɪ-1⅛∣,

.^.k=4或&=-4<2（舍去），

故选：C.

【点睛】

考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数人的儿何意义，以及矩形的性质，求出

ΔOAD的面积是解决问题的关键.

3.如图，aABO的顶点4在函数y=K（x>0）的图象上，/480=90。，过A。边的三等

X

分点历、N分别作X轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形例OBP的面积为5,则上的值

为（）

y∖

θ∖B*

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】

SA4

根据已知条件，证明A45OAAPM,得至∣J*≡=G,推出S08。=9,又根据函数图象

'△ABO"

上点的几何意义，知道S△.,=耳，从而推得女值.

【详解】

解：YM、N为Ao边的三等分点，且NQHOB,MPHOB

：,AN=；AM=gAO,ZAQN=ZAPM=90

在AABO与AAPM中：

ZPAM=ZBAO

ZAPM=ZA80=90

.∙.∕∖ABOAAPM

SiJAMY(2)14

S△即UθJ⑺9

又•・•四边形MO8尸的面积为5

即S四边形MOBP=Sabo-Sapm=5

∙,∙SAABO=9

L

又YA在函数y=—（Λ>0）的图象上，/450=90。

X

.s一付

,.dΔΛSO-2

.∙.陶=18

V函数图象在第一象限

Λjt>O

，％=18

故选：D

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的几何意义，以及相似三角形的相关判定和性质，根据图形进

行数形结合是解题关键.

4.如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作A3，），轴于点8,点C、。在X轴上，且

BC//AD,四边形ABCO的面积为3,则这个反比例函数的解析式为（）

【答案】D

【分析】

过4点向X轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值因，由此可得出答案.

【详解】

解：过点A向X轴作垂线，如图，

四边形ABC。的面积为3,根据反比例函数系数k的几何意义可得：闷=3,

又反比例的函数图象在第二象限，

；•&=—3,

3

即这个反比例函数的解析式为y=--∙

X

故选D.

【点睛】

此题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中左所代表的几何意

义，属于基础题，难度一般.

5.如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，A(6,2),8(2,4),反比例函数

y=A(kwO)的图象经过四边形04?C的顶点C,则k的值是()

X

【答案】D

【分析】

连接。8,AC,根据0,8的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平

分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值.

【详解】

解：连接08,AC,相交于点P,

：四边形0A8C是平行四边形，

：.AP=CP,OP=BP,

VB(2,4),

.∙∙P的坐标(1,2),

VA(6,2),

∙∙.C的坐标为(-4,2),

V反比例函数y=A(%≠0)的图象经过点c,

X

/.⅛=-4×2=-8,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解

答此题的关键.

6.如图，四边形QABC是平行四边形，点月的坐标为4(3,O),NCOA=60。，。为边AB

k

的中点，反比例函数y=—(x>0)的图象经过C,。两点，直线CZ)与y轴相交于点E,

X

则点E的坐标为()

A.(O,2√3)B.(O,3√3)C.(0,5)D.(0,6)

【答案】B

【分析】

作CELX轴于点E,过8作8尸_LX轴于F,过力作DMLx轴于M,设C的坐标为(x,√3

x),表示出。的坐标，将C、。两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于X的方程求出X

即可得到点C、。的坐标，进而求得直线CO的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即

可得出结果.

【详解】

解：作CELV轴于点E,则NCE890。，

过8作BFLr轴于尸，过。作DWJ_x轴于

贝1J8F=CE,DM//BF,BF=CE,

；。为A8的中点，

：.AM=FM,

：.DM=《BF,

,：ZCOA=60o,

.".NoCE=30。，

.∙.OC=2OE,CE=OE,

设C的坐标为(x,JJx),

.∙.AF=OE=x,CE=BF=6*OE=AF=x,DM=；&,

：四边形OABC是平行四边形，A(3,0),

.,.0F=3+x,OM=3+^x,

即。点的坐标为(3+gx,∣√3x),

把C、。的坐标代入V="得：k=x9√3Λ=(3+-ɪ-x)∙ɪ∖[3x,

X22

解得：%)=2,%2=0(舍去)，

：.C(2,2√3),D(4,√3),

设直线C。解析式为：）=0x+⅛,则

∫2√3=2β+Z?a=-------

,解得2,

[6=4a+b

b=3上

.∙.直线8解析式为：y=-ʃx+3√3,

-2

当X=O时，y=3上,

点E的坐标为（0,3石）.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及含30度角的直角

三角形的性质.根据反比例函数图象经过C、。两点，得出关于X的方程是解决问题的关键.

7.如图，四边形AoBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在X轴上，边OB在y轴上,

Q

点D在边CB上，反比例函数y=-2在第二象限的图象经过点E,则正方形AOBC和正

X

方形CDEF的面积之差为()

A.12B.10C.8

D.6

【答案】C

【分析】

设正方形AOBC的边长为a,正方形CDEF的边长为b,则E(b-a,a+b),再根据反比例函

数图象上点的坐标特征得(a+b)∙(b-a)=8,因为S正方形AoBC=a2，S正方形CDEF=b2，从而求得

正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为8.

【详解】

解：设正方形AoBC的边长为a,正方形CDEF的边长为b,则E(a-b,a+b),

(a+b)∙(a-b)=8,

整理为a2-b2=8,

"∙"S,H⅛∙⅛AOBC=a2,S正方彩CDEF=b2，

∙'∙S正方彩AoBC-S∣E⅛JKCDEF-8>

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y="(k为常数，k≠0)的图象是

X

双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即Xy=Ik|；也考查了正方形的性质.

8.如图，四边形AoBC和四边形CZ)EF都是正方形，边OA在)，轴上，边。B在X轴上，

点尸在边AC上，反比例函数y=W在第一象限的图象经过点E,则正方形408C和正方形

X

Cr史F的面积之差为()

A.12B.10C.6D.4

【答案】B

【分析】

设正方形AoBC的边长为α,正方形CZ)EF的边长为江则E(α-。，a+b),代入反比例函数

解析式即可求解.

【详解】

解：设正方形AoBC的边长为4,正方形8EF的边长为6,则E(α-4a+b),

(a+b)∙(a-b)-10,

整理为。2-左=10,

''SY)>HiAOBC-O1ySF,方%CDEF=b2，

:∙S上方彩AOBC-SIE方彩COEF=10.

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象匕点的坐标特征：反比例函数y=A∕是常数，原0)的图象是双

X

曲线，图象上的点α,y)的横纵坐标的积是定值匕即町二%.

2

9.如图，在平面直角坐标系中，函数y=—(x>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中

X

点D,且与边AB相交于点E,则四边形ODBE的面积为()

【答案】B

【分析】

由矩形的性质求出SΔOAB=SΔOBC,反比例函数系数k的几何意义△OAE和^OCD的面积各

为1,根据等底同高，面积和差求出四边形OEBD的面积为2.

【详解】

解：连接OB,如图所示：

VOB是矩形OABC的对角线，

∙*∙SΔOΛB=SΔOBC

2

又V点D、E在反比例函数y=-(x>0)的图象上，

X

,

∙"∙SAOA£=SAOCD=5*2=1

又YCD=BD,OC是AOCD和AOBD的高，

•∙SΔOCD=SaOAB=1,

乂*∙'S∆OBC=SAOCD÷SΔOBD，

∙*∙SΔOAB=SaOBC=2

X*∙,S∆OBE=S∆OAB-S∆OAEτ

∙*∙SΔOBE=2-1=1,

XVS四边形OEBD=SAODE+SAOBE,

∙*∙S四边形OEBD=1+1=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积和差法，等底同高法两个三角形

的面积相等相关知识点，重点掌握反比例函数系数k的几何意义，难点是作辅助线将不规则

的四边形转化成三角形求解.

10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=L(x>0)的图象经过矩形OABC的边BC

X

的中点。，且与边AB相交于点E,点B的坐标为(4,2),则四边形。DBE的面积为()

ʌ-1B.2D.4

【答案】D

【分析】

首先根据条件求出反比例函数的k值，再根据其几何意义对面积进行转换即可.

【详解】

Vβ(4,2),。为BC的中点,

.∙.O(2,2),把点。(2,2)代入反比例函数解析式得出=4,

4

・・・反比例函数解析式为y=—(x>0),则E(4,1),

X

∙'.S四边vθEBo=S⅛κOΛBC-S^OCD—S&0Λfc-4×2—ɪ×2×2—ɪ×4×1—4

故选：D.

【点睛】

本题考查了求反比例函数解析式及反比例函数k的几何意义，灵活利用k的儿何意义求解面

积是解题关键.

二、填空题

11.如图，反比例函数y=%χ>O)的图象经过长方形Q4BC对角线的交点M,分别与AB,

BC相交于点O,E.若四边形0£>8E的面积为3,则％的值为.

【答案】1

【分析】

设”点的坐标为(〃?,〃)，根据矩形性质求得A,B的坐标，根据矩形的性质以及反比例函数k

=

的几何意乂SM)CE~S△()AD=ɪ,根据SQ通形ODBES中形ABCD~^j^OCE~^ΔOΛD，以及已知条件即

可求得&.

【详解】

四边形ABCZ)是矩形，

，8C_Ly轴，BAJ_x轴，

由反比例函数%的几何意义可知，

瓦。在反比例函数图像上，

∙'∙S40cκ=S40AD=—

设M点的坐标为(m,n),而点M在反比例函数图像上，则/m=%,

又；矩形。4BC对角线的交点〃.

..M为08的中点

.∙.B(2∕n,2rt),A(2%,0),C(0,2n),

S>∣.⅛ΛBCD=AB×OA=2n×2m=4mn,

∙,∙S叫边柩ODBESli,lβABCD~^^OCE~^ΔOAD=4⅛--⅛--⅛=3⅛,

.S∖WiODBE~3>

34=3,

解得Z=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了反比例函数%的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题

的关键.

12.如图，已知在平面直角坐标系XOy中，RtΔ0A3的直角顶点8在X轴的正半轴上，点A

在第一象限，反比例函数y=A(χ>0)的图象经过OA的中点C∙交AB于点O,连接C£>.若

X

AACD的面积是3,则四边形08。C的面积是.

【答案】5

【分析】

作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数%的几何意义得到，κ∙g=SW=《A，根据OA

的中点C,利用中线的性质和三线合一得到40CE殂MOA8的血枳比为1:4,代入可得结

论.

【详解】

解：连接O。，BC,过C作CE//AB,交X轴于E，

NABo=90。，反比例函数y=,χ>O)的图象经过OA的中点C,

X

=,

•∙SACoE=ΔBOD2S∆4c0=S&OCD=ɜ，SmBC=S&OBC»AC=OC=BC»

CElIAB,

：.CEA.OB,

：,OE=BE,

.SM)CE_ɪ

••4SACJCE=SAOA8,

.∙.4χL%=3+3+∙U,

22

.∖k=4,

∙,∙^AOAB=4×-×4=8,

••・四边形的面积为

OBEJCSAauJ-SΛ48=5,

故答案为：5.

7

J

⅛

。ɪX

【点睛】

本题考查了反比例函数比例系数%的几何意义：在反比例函数y=&图象中任取一点，过这

X

一个点向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值∣A∣∙在反比例函数的

图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是

ɪiλi,且保持不变.

13.如图，过点P(2,3)分别作PcLX轴于点C,轴于点。，PC,尸。分别交反比

2

例函数)=一(x>0)的图象于点A、B,则四边形304户的面积为一.

∖B_P

【答案】4

【分析】

根据反比例函数系数k的几何意义可得SAOBo=SAAoC=T因=1,再利用矩形OCPD的面积减

去ABDO和^CAO的面积即可.

【详解】

2

解：∙.∙B∖A两点在反比例函数y=—(x>0)的图象上，

•∙SA∕>80=SAAOC=5X2=l,

,：P(2,3),

/.四边形DPCO的面积为2x3=6,

四边形BOAP的面积为6-1-1=4,

故答案为4.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数%的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐

标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是T因，且保持不变.

14.如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边AB交于点G,与边BC交于点D过点A,

。作DE//AF,交直线y=h(4<())于点E,F,若OE=OF,BG=GG4,则四边形ADEF

的面积为.

B

AX

【答案】3+√3∙

【分析】

延长DE交无轴于K,WDHA.OATH,证得DOEK@DOE4,即可证得

得即可结果.

【详解】

解：延长£)E交X轴于K,作DH_LOA于

33

设G(α,3),则CM=α,AG=-

aa

QBG—y∕3GA，

∖BG=—,

a

∖DH=AB=AG+BG=3^*^,

DEIlAF,

∖?EKO?FAO,

在AOEK和AQEA中，

!?EKO?FAO

VlEOK?FOA,

IOE=OF

∖DOEK@DOFA(AAS),

∖OK=OA=

∖AK=2a,

]13+3>/3

∙,∙S四边形AQE尸=S四边形A.。+S&KE0=SMDK=^AK∙DH=-×2a×-=3+ɜʌ/ɜ,

故答案为：3+ɜʌ/ɜ.

【点睛】

本题考查了反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，证得

S四边形AoEF=S四边形AOEO+SDKEO=SDADK是解题的关键.

15.如图，两个反比例函数y=2和y=1在第一象限内的图象依次是C和C2,设点尸在Cl

XX

上，PC,X轴于点C,交C2于点A,PDLy轴于点。，交C2于点8,则四边形B4O8的面

积为.

C2C1

【答案】2

【分析】

根据反比例函数k值的几何意义即可求解.

【详解】

13

'-Cizy=一过A,8两点，Cl：y=一过P点，

X'X

♦∙SAACO=SABOD=万,S⅛fti。户c。=3,

∙'∙S四边IwPΛOB-SDPCO-S∆ACO-SABOD=3-^∙-ɪ=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数k值的几何意义.

三、解答题

16.如图，点A是坐标原点，点。是反比例函数y=∙∣(x>0)图像上一点，点3在X轴上,

AD=BD,四边形ABc。是平行四边形，BC交反比例函数y=%x>O)图像于点E.

(1)平行四边形A8C3的面积等于；

(2)设。点横坐标为如试用机的代数式表示点E的坐标；(要有推理和计算过程)

(3)£B的最小值为.

【答案】(1)12；(2)[(√2+l>,述二^]；(3)2√6-2√3

rn

【分析】

(1)作。HLAB丁方，设£>(%,〃).首先证明/3=2∕n,根据反比例函数的几何意义求出

mn=6即可解决问题.

（2）利用（1）中结论，根据CO=A8=2m得到点。坐标，求出直线BC的解析式，构建

方程组确定点JE的坐标.

CFFClL

（3）作EFJ_x轴于F,CG_LX轴干G.利用平行线分线段成比例得到芸==⅛=夜，得到

BE=AD求出An的最小值即可解决问题.

√2+l

【详解】

解：（1）如图，作D”_LAS于”，设。（相,〃）.

DA=DB,DHA.AB,

.∙.AH=BH=m,

点。在y=9上，

X

：.mn=6,

.∙S平行四边形A8C&=ABDH=2"In=12,

故答案为12.

（2）由题意拉（成勺■）,

IYl

由（1）可知A3=2优，

四边形ABC。是平行四边形,

.∖CD=AB=2m,

.∙.C(3∕n,-),

m

8(2私0),设直线BC的解析式为y=lcx+bf

6

6.k=~

—=3mk+b,,m

m,解得：<

12

0=2mk+bt

m

•・.直线BC的解析式为y=-⅞x-乜，

tnm

y=-X=(>/2÷1)∕∏X=Q-亚)m

Y

由612,解得=6夜-6或=6(l+√2)(舍弃)，

V=-X—y-y~

in2mmm

.∙.EI(^+I>,处-6].

m

(3)作EFI.x轴于尸，CGJ轴于G.

EF//CGf

.CEFG3,"-(夜+l)m2-√Σ丘

-BE~BF~(42+l)m-2m~√2-l-

:.BE=-Ij-AD,

√2+l

要使得BE最小，只要AO最小，

.∙.A。的最小值为2石,

.∙.BE的最小值为青-=2√6-2√3.

√2+l

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性

质，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于

中考压轴题.

17.如图，在平面直角坐标系XOy中，点A8在反比例函数y=±（x>0）的图像上（点8的横

X

坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2,4）,过点A作ADLX轴于点。,过点8作BCLx

轴于点C,连接OA45.

（1）求反比例函数y=A的表达式；

X

（2）若点。是OC的中点，求四边形。ABC的面枳.

Q

【答案】（I）y=-；（2）IO

X

【分析】

(1)反比例函数待定系数法求解析式，将已知点A的坐标代入反比例函数y=A即可;

X

(2)四边形OABC的面积可以拆解为ΛA0D和四边形ABCD

【详解】

Lk

⑴把x=2,y=4代入y=±得4=暂，

X2

:.k=8.

Q

，反比例函数的表达式是y=2.

X

(2)Y点D是OC的中点,

.∙.OC=2OD=4.

Q

当x=4时y=-=2.

4

.∙.BC=2.

四边形CMHC=SAOD+^illKABCD=~×2×4+-×(2+4)×2=10.

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,第二问考查了求反比例函数图像上的点的

特点，解题的关键是求出点8的坐标.

18.如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，0A=2,OC=3,E是AB中点，反比

例函数图象过点E且和BC相交点F.

(1)直接写出点8和点E的坐标；

(2)求直线OB与反比例函数的解析式；

(3)连接OE、OF,求四边形OEBF的面积.

333

【答案】(I)B(2,3),E(2,-)；(2)y=—x,y=—；(ɜ)3

22x

【分析】

(1)根据OA—2,OC-3,得到点B的坐标；根据£是A8的中点，求得点E的坐标，

(2)运用待定系数法求直线OB的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解

析式；

(3)根据反比例函数的解析式求得点尸的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的

面积减去两个直角三角形的面积进行计算.

【详解】

解：(1)V04=2,OC=3,E是48中点，

3

：.B(2,3),E(2,-)；

2

(2)设直线OB的解析式是y=hx,

3

把8点坐标代入，得h=”,

2

3

则直线的解析式是y=5x.

设反比例函数解析式是y=与，

X

把E点坐标代入，得的=3,

3

则反比例函数的解析式是y=，；

'X

3

(3)由题意得R=3,代入y=2,

X

得瓦=LBPF(1,3).

则四边形OEBF的面积=矩形048C的面积-△OAE的面积-△OCF的面积=2x3-→

13

l×3——×2×-=3.

22

【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反

比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中

考的常考题型

19.如图，已知反比例函数y=∙^(χ>0)的图象经过点4(4,2),过A作ACLy轴于点C.点

B为反比例函数图象上的一动点，过点B作8。，X轴于点。，连接AE).直线BC与X轴的

负半轴交于点E.

(I)求发的值;

(2)若BD=30C,求四边形ACE。的面积.

【答案】(I)%=8：(2)6.

【分析】

(I)利用待定系数法即可解决问题.

(2)分别求出点8、C坐标，再求出直线BC的解析式，进而求出E点坐标，DE的长，即

可利用梯形面积公式解决问题.

【详解】

解：(1)∙.∙反比例函数y=[χ>0)的图象经过点A(4,2),

4

解得：Jt=8,

O

•∙.反比例函数解析式为：y=;(x>0).

(2)：ACLy轴，A(4,2),

，OC=2,

二BD=3OC=6,

'：3£>J_x轴，

QQ

；•点8的纵坐标为6,代入y=2中，得：6=-,

XX

4

解得：X=]，

•/C(0,2),

设直线BC的解析式为：y=kχ+b,

-k+b=6

则有“3

b=2

k=3

解得：＜

b=2

.∙.直线Be的解析式为：y=3x+2,

令y=0,得：3x+2=0,

2

解得：χ=-j,

【点睛】

本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数、•次函数解析式,

熟练掌握待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点是解题关键.

20.如图，将一个矩形放置在平面直角坐标系中，OA=2,OC=3,E是AB的中点，反比

例函数图象过点E且与BC相交于点F.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OE、OF,求四边形。EBF的面积.

3

【答案】(I)y=-(2)3.

X；

【分析】

(1)根据题意求得E点坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式;

(2)根据S四边形0面=-^OAE~S^OCF即可求得四边形的面积.

【详解】

解：⑴由题意得3(2,3),

设反比例函数的解析式是y=g%≠O),

把E点坐标代入，得左=3,

所以反比例函数的解析式是)，=士；

X

3

(2)由题意得力=3,代入y=二，

X

得XF=1,即E(l,3),

==

•∙S四边形OMF=S矩形(MBC-SAoAE~^SAOCF^~2~2^

【点睛】

本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数4与图形面积，矩形的性质.(1)中

能正确求得E点坐标是解题关键；(2)中掌握割补法是解题关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=〃优与反比例函数y=±上的图象交于A、

X

P(-上,2√3)两点，点B(√3,3√3)与点。关于直线AP对称，连接48,作C£>〃>

轴交直线AP于点C.

(1)求m、n的值和点A的坐标；

(2)求SinNCoB的值；

(3)连接A。、BC,求四边形ABCD的面积.

【答案】(1)m=-2,"=-3,A(√3,-2√3)；(2)半；(3)60

【分析】

〃一3

(1)把P点的坐标分别代入y=小与y=~即可求得；

X

(2)根据反比例函数和正比例函数的对称性求得A的坐标,即可得出AB〃.y轴,AB=5√3,

然后通过证得△COP丝Z∖A8P,得到AB=CD=56，CP=AP,即可证得四边形ABC力是

菱形，根据勾股定理求得AP,即可求得Pe解直角三角形即可求得结论；

由菱形的性质可知求得△的面积，即可求得四边形

(3)SMi)MBa)=4SAEB,CPBABCQ

的面积.

【详解】

解：(1)•••正比例函数尸小与反比例函数y==-的图象交于A、P(-√3,2√3)两

X

点，

2∖∣3-y/3w,2下)=-,

解得，m=-2,n=-3；

由题意可知A与P关于原点对称，且P(-G，2√3),

ΛA(√3,-2√3)；

(2)(√5,3石)且A(5-2√3),

，A8〃y轴，

：.AB=50,

∙.∙CZλ√y轴，

.∖AB∕∕CD,

：.ZCDP^ZABP,

,:点B(63√3)与点。关于直线AP对称，

.,.AC±BD,PD=PB,

在4CDP和AABP中，

ZDP=NABP

PD=PB,

NCPD=NAPB

.,.ACDP^^ABP(ASA),

ΛΛB=CD=5√3,CP=AP,

5L"：ACLBD,PD=PB,

.∙.四边形ABCQ是菱形，

'：P(-√3,2√3),Λ(√3,-2追),

，PC=PA=√(-√3-√3)2+(2√3+2√3)2=2√15，

(3)'：PC-2√3),B(√3,3√3),

∙"∙PB=J(-√3-√3)2+(2√3-3√3)2=√15，

∙,∙S四边”ΛBCD~4SACPB=4XmPB,PC=4×—×Jl5×2J15=60.

【点睛】

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称

的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，菱形的判定和性质，三角形面积以及解直角三

角形等，证得四边形是菱形是解题的关键.

22.如图，已知矩形38C的顶点3