数学-讲义10初三预习+图形的相似(4-5节)+

相似三角形的判定相似三角形◆相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形的判定：

(1)判定1：两角对应相等的两个三角形相似；

(2)判定2：三边对应成比例的两个三角形相似；

(3)判定3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

●引申直角三角形除了具有以上3种判别方法，还有以下方法：①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。★说明：(1)相似三角形判定的三种判别方法中，“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；(2)要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。“共角“共角”型“A”“A”型““X”型子母型子母型““共角共边”型““蝴蝶”型典型例题两角判定相似：例1、如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC.〔1〕图中有哪些相等的角？〔2〕求证：△ADE∽△ABC；〔3〕AD=2，AE=1.5，AC=3，求AB．变形1：如下图，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果物体AB=30，那么CD的长应是〔〕A、15B、30C、20D、10AABCDO图712变形2：在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的相似三角形,并求出CD的值两边一角判定相似：例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E是直线BC上的点，且满足AB2＝BD·CE,问△ABD与△ACE是否相似？并说明理由。变形1：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线。

(1)△ABC和△BCD相似吗？

(2)试说明AD2＝DC·AC；

(3)假设AC＝，求BC的长。三边判定相似：例3、以下四个三角形，与左图中的三角形相似的是〔〕A．B．A．B．C．D．变形3：如图，小正方形边长为1，那么以下图中的阴影三角形与△ABC相似的是〔〕稳固训练如图，点B，D和C，F分别在A的两边上，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE和CD相交于点F，那么图中的相似三角形共有_________对。P为Rt△ABC的斜边AB上的任意一点〔除A，B外〕，过点P作一条直线截△ABC，使得截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有〔〕

A.1条B.2条C.3条D.4条如下图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3。如果AB边上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有〔〕

A.1个B.2个C.3个D.4个如图，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB于点D，AB＝30，AC＝18，求图中四边形ADEC的面积。如图XS—26，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P是AB的中点，Q是BC上的不与B、C重合的动点，假设以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这样的Q点有几个？分别求出相应的CQ的长。如图，△ABC中，AC=2AB，AD是∠BAC的平分线，过D分别作AC、AB的平行线交AB、AC于E、F，FE与CB的延长线相交于G。求证:EF=EG.12、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕P点旋转．〔1〕如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；〔2〕操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF．①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．黄金分割0201黄金分割

概念：假设点C把线段AB分成两条线段AC、BC(AC＞BC)，假设，我们称线段AB被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段〔或较长线段与原线段〕的比叫做黄金比。

★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2)一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：假设AB＝1，(3)作一条线的黄金分割点一般有两种方法，如右图01、02：0201典型例题例1、假设点C是线段AB的分割点〔AC＞BC〕，AB＝16，那么AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，那么CD＝_______。变形1：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB.当PA2＝PB·AB时，那么称点P是线段AB的黄金分割点，现线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图XS—03所示，那么线段PB的长约为〔〕

A.6.18B.0.382C.0.618D.3.82:变形2：线段AB＝6，C为其黄金分割点，求以下各式的值：

(1)AC：BC；(2)AB－BC；(3)AC·BC.

例4、如图2，在“黄金矩形”ABCD〔即≈0.618〕中，依次画正方形①、②、③、④．〔1〕观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？〔2〕设BC=1〔单位长度〕，通过计算，能否验证你的判断？变形4：在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．稳固训练把长为7cm的线段进行黄金分割，那么分成较短线段的长是〔〕

A.cmB.cmC.cmD.cm以下式子能表达点E是线段MN的黄金分割点(ME＞EN)的是〔〕

A.B.C.D.XS—05如图XS—05所示，线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，设以AP为边的正方形的面积是S1，以PB、AB为边的矩形面积是S2，那么S1与S2的关系是〔〕

A.S1＞S2B.S1＝S2C.S1＜SXS—05根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称．某成年女士身高166cm，下肢长101cm，持上述观点，她所选的高跟鞋的最正确高度约为多少？〔精确到0.1cm〕 如图,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，〔1〕求AM、DM的长.〔2〕求证：AM2=AD·DM.〔3〕根据〔2〕的结论你能找出图中的黄金分割点吗？课后作业1.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，假设BG：GA＝3：1，BC＝10，那么AE的长为_________。2.下面各选项图形中不一定相似的是〔〕

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形

B.各有一个角是60°的两个等腰三角形

C.两个等腰直角三角形

D.各有一个角是105°的两个等腰三角形3.在某一三角形中，三边长分别为12，10，18，另一个三角形与它相似且最长边为9，那么最短边为〔〕

A.5B.6C.7D.84.假设C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，假设AC＝4cm，那么BC等于〔〕

A.cmB.cmC.cmD.cm5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E为BC上的一点，且AE⊥ED，假设BC＝12，DC＝7，BE：EC＝1：2，求AB的长。:6.点C是线段AB的黄金分割点AC＝，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。7.如图XS—25，矩形ABCD中，E为AD的中点，EF