数列与不等式结合典型题

数列与不等式结合典型题1.数列中，，其前n项和为，满足，.数列满足〔Ⅰ〕求数列、的通项；〔Ⅱ〕假设为数列的前n项和，求证：2．定义在〔－1，1〕上的函数时，有〔I〕判断的奇偶性，并证明之；〔II〕令的通项公式；〔III〕设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的成立？假设存在，求出m的最小值；假设不存在，那么说明理由.3．〔本小题总分值14分〕设函数〔Ⅰ〕求及定义域；〔Ⅱ〕假设数列的通项公式；〔Ⅲ〕Sn表示{bn}的前n项和，试比拟Sn与的大小.4.〔本小题总分值14分〕数列〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都有成立？说明你的理由；〔3〕求证：5.设函数f〔x〕=〔aN*〕,又存在非零自然数m,使得f〔m〕=m,f〔–m〕<–成立.〔1〕求函数f〔x〕的表达式;〔2〕设{an}是各项非零的数列,假设对任意nN*成立,求数列{an}的一个通项公式;〔3〕在〔2〕的条件下,数列{an}是否惟一确定?请给出判断,并予以证明6.函数的图象过点A〔1，2〕和B〔2，5〕.〔1〕求函数的反函数的解析式；〔2〕记，试推断是否存在正数k，使得对一切均成立？假设存在，求出k的最大值；假设不存在，说明理由.卷二一、选择题：〔每题5分，共50分〕1、数列的一个通项公式是〔〕A、B、C、D、2、等比数列的公比为正数，且，那么〔〕A、B、2C、D、3、等差数列前项和为且那么〔〕A、17B、18C、19D、204、，记，那么M与N的大小关系〔〕A、M<NB、M>NC、M=ND、不确定5、假设，那么以下不等式：中正确的选项是〔〕A、〔1〕〔2〕B、〔2〕〔3〕C、〔1〕〔3〕D、〔3〕〔4〕6、不等式的解集是〔〕A、B、C、D、7、设是等差数列的前n项和，假设〔〕A、B、C、D、8、在三个结论：=1\*GB3①，=2\*GB3② =3\*GB3③，其中正确的个数是〔〕 A、0 B、1 C、2 D、39、目标函数，变量满足，那么有〔〕 A、 B、无最小值 C、无最大值 D、既无最大值，也无最小值10、在R上定义运算假设不等式对任意实数成立，那么〔〕 A、 B、 C、 D、二、填空题：〔每题5分，共25分〕11、等比数列公比,那么的前4项和___________等比数列的前n项和，又，那么公比___________13、假设,且，那么的最大值为___________14、实数x、y满足不等式组，那么W=的取值范围是_____________

15、关于的不等式的解集为三、解答题：〔本小题总分值12分〕等比数列中，，〔1〕求数列的通项公式;〔2〕假设分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和.〔本小题总分值12分〕数列的前项和(1)求数列的通项公式；(2)求的最大或最小值.〔本小题总分值12分〕向量，假设·，〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项和.〔本小题总分值12分〕在数列中，〔1〕设，证明：数列是等差数列;〔2〕求数列的前项和.〔本小题总分值13分〕某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．〔Ⅰ〕假设扣除投资和各种装修费，那么从第几年开始获取纯利润？〔Ⅱ〕假设干年后开发商为了投资其他工程，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼;②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？〔本小题总分值14分〕数列满足：，，求证：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式；〔3〕令，求证：.答案卷一1．解：〔I〕时，1分 当① ② 由②－①，有2分 从而， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列. ∴. ∴〔II〕当时，1分∵ ，③ .④ 由③－④，得 1分 1分2．解：〔I〕令。 又当时，。 ∴对任意。 为奇函数。 3分 〔II〕 。 在〔－1，1〕上是奇函数， 为首项，以2为公比的等比数列。 〔III〕 假设存在正整数m，使得对任意的，有. 即.只需 故存在正整数m，使得对成立. 此时m的最小值为10.3．解〔Ⅰ〕由∵∴…………2分∴…………6分〔Ⅱ〕∵∴………………8分∵∴∴………………10分〔Ⅲ〕∴∵∴当…………12分当当时，对于……14分4.．〔总分值14分〕〔1〕由；那么数列是公比为2的等比数列.又……4分〔2〕，恒成立，那么故存在常数A，B，C，满足条件.………………9分〔3〕由〔2〕知：…………14分5.〔本小题总分值14分〕〔1〕由,得2分由〔1〕得m=,当a=2时,m=2,满足〔2〕式;当a=3时,m=1,不满足〔2〕式,舍去.得f〔x〕=〔x1〕.3分〔2〕由条件得∴an〔1–an〕=2Sn〔3〕,2分令n=1,得a1=–1,又an–1〔1–an–1〕=2Sn–1,∴〔an+an–1〕〔an+1–an–1〕=0,由an–an–1=–1,a1=–1,得{an}是首项为–1,公差为–1的等差数列,∴an=–1+〔n–1〕〔–1〕=–n.3分〔3〕由〔2〕知,满足条件的数列不惟一.考虑到a11,由an=–an–1及an–an–1=–1和a1=–1,构造数列{–1,–2,2,–2,–3,–4,…,–n+2,…}.2分用数学归纳法证明,该数列满足〔3〕式,当n=1,2,3,4,5时,直接代入可得〔3〕式成立,假设n=k〔k5〕时,〔3〕成立,那么n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=ak〔1–ak〕+ak+1=〔1+ak+1〕·[1－〔1+ak+1〕]+ak+1=ak+1〔1–ak+1〕.所以n=k+1时〔3〕式成立,即该数列满足题设条件.得满足条件的数列不惟一.注：构造数列也可能是:{–1,1,–1,–2,–3,–4,…,–n,…};或{–1,–2,2,–2,2,–2,…,〔–1〕n–12,…}〔n>1〕等等.6.．解：〔1〕由得…………3分 令，由，………………5分〔2〕…………6分 设存在正数k，使成立 那么，………………8分 记，那么 是随n的增大而增大………………12分 即k的最大值为…14卷二BABBCBADCC二、填空题：〔每题5分，共25分〕11、12、13、14、[－1,1)15、三、解答题：16、〔本小题总分值12分〕解：〔1〕设公比为，那么-----------------------6分〔2〕由〔1〕得那么-----------------------〔12分〕17、〔本小题总分值12分〕解：〔1〕当n=1时，当n2时，故----------------------------------6分〔2〕由，于是有最小值是-576，此时；无最大值。------------12分18、〔本小题总分值12分〕解：(1)·------------6分(2)------------12分19、〔本小题总分值12分〕解：〔1〕由得是等差数列-----------------------4分-----------------------6分-----------------------8分〔1〕-〔2〕=----------------------12分20、〔本小题总分值12分〕解：〔1〕设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共因此利润，令