四川省成都石室锦城外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷

四川省成都石室锦城外国语学校2023-2024学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C．x2﹣x﹣3＝0 D．ax2+bx+c＝02．（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）已知点M（﹣4，﹣1），则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（）A．（2，2） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣4，1） D．（﹣2，﹣2）4．（4分）已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的周长比值是（）A．2 B．4 C． D．5．（4分）下列说法正确的是（）A．相似图形一定是位似图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．有一组邻角相等的平行四边形是矩形6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若，C（3，2），则△OAB与△OCD的面积的比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：17．（4分）在边长为3cm的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（）A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm28．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A．y值随着x值的增大而减小 B．图象关于原点中心对称 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．图象可能与坐标轴相交二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是．10．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝4，BC＝5，DE＝3，则DF的长为．11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，则ab﹣2a﹣2b的值是．12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为．13．（4分）Rt△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）解下列方程：（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；（2）x2+2x﹣4＝0．15．（8分）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF．16．（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．17．（10分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形：（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．18．（10分）综合运用如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．（1）求a的值及反比例函数的表达式；（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是．20．（4分）从1，2，﹣3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作（m，n），那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是．21．（4分）如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边BC取点E，使BE＝2CE，连接AE，OB交于点D，已知△AOD的面积3．若反比例函数的图象恰好经过点D，则k＝．23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？25．（10分）综合与探究如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．（1）求证：△ADF∽△BGF．（2）若E为BC的中点．①求证：DF＝AD．②连接CF，若CF＝4，求正方形ABCD的边长．26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OCB绕点O逆时针旋转，得到△OFG，点C的对应点为点F，点B的对应点为点G，且点G在y轴正半轴上，OF与AB相交于点D，反比例函数y＝的图象经过点D，交BC于点E，点D的坐标是（2，4）．（1）如图1，k＝，点E的坐标为；（2）若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接PD，当线段PD被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求点P的横坐标；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接DE，当四边形DENM是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．参考答案与解析一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C．x2﹣x﹣3＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A．，不是整式方程，不符合题意；B．，不是整式方程，不符合题意；C．x2﹣x﹣3＝0，符合题意；D．ax2+bx+c＝0，不一定是一元二次方程，不符合题意；故选：C．2．（4分）如右图所示，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，可得选项C的图形．故选：C．3．（4分）已知点M（﹣4，﹣1），则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（）A．（2，2） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣4，1） D．（﹣2，﹣2）【解答】解：∵点M（﹣4，﹣1）在反比例函数的图象上，∴k＝xy＝4，A、2×2＝4，不符合题意，B、（﹣1）×（﹣4）＝4，不符合题意，C、（﹣4）×1＝﹣4，符合题意，D、（﹣2）×（﹣2）＝4，不符合题意，故选：C．4．（4分）已知△ABC∽△DEF，AB＝2，DE＝4，则△ABC与△DEF的周长比值是（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：由题意得：△ABC与△DEF的相似比为：，故周长比为：故选：D．5．（4分）下列说法正确的是（）A．相似图形一定是位似图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．有一组邻角相等的平行四边形是矩形【解答】解：A、相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，不符合题意；D、有一组邻角相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意．故选：D．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若，C（3，2），则△OAB与△OCD的面积的比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1【解答】解：∵，C（3，2），∴，，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是：，∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9，故选：C．7．（4分）在边长为3cm的正方形健康码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此估计黑色部分的总面积约为（）A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4（cm2）．故选：C．8．（4分）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（）A．y值随着x值的增大而减小 B．图象关于原点中心对称 C．当x＞1时，0＜y＜1 D．图象可能与坐标轴相交【解答】解：A、因为反比例函数在二、四象限内，所以在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；B、反比例函数是双曲线，所以是中心对称图形，正确，符合题意；C、当x＞1时，y＜0，原说法错误，不符合题意；D、x和y均不等于0，故图象不可能与坐标轴相交，原说法错误，不符合题意．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是100﹣100．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC＞BC，AB＝200，∴AC＝AB＝100﹣100．故答案为：100﹣100．10．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝4，BC＝5，DE＝3，则DF的长为．【解答】解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，BC＝5，DE＝3，∴AC＝AB+BC＝9，∴，即，∴，故答案为：．11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，则ab﹣2a﹣2b的值是﹣4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根分别为a，b，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣8，∴ab﹣2a﹣2b＝ab﹣2（a+b）＝﹣8﹣2×（﹣2）＝﹣4．故答案为：﹣4．12．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为24．【解答】解：如图，连接AC，BD，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，由纸条的对边平行可得：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ADC，∴BC•AE＝CD•AF，∵纸条等宽，则AE＝AF，∴BC＝CD，∴四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×8＝24，故答案为：24．13．（4分）Rt△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则k的值是﹣6．【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°．∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC．∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴＝＝，∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴＝，∴＝＝＝，设A（m，n），则B（﹣n，m），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴mn＝2，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣n•m＝﹣3×2＝﹣6，故答案为：﹣6．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）解下列方程：（1）x（x﹣5）＝2x﹣10；（2）x2+2x﹣4＝0．【解答】解：（1）x（x﹣5）＝2x﹣10，x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝2，x2＝5；（2）x2+2x﹣4＝0，a＝1，b＝2，c＝﹣4，b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，．15．（8分）如图，楼AB的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼CD的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼AB的底部B处观望楼CD的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼CD的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米，B、F、D位于同一水平直线上，且AB、EF、CD均与BD垂直．求小树的高度EF．【解答】解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴①，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴②，①+②得，由题意得AB＝5×2.8＝14（米），CD＝9×2.8＝25.2（米），∴，∴EF＝9（米）．答：小树EF的高度为9米．16．（8分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），补全条形统计图如下：（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，画出树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．17．（10分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形：（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECA+∠DCF＝90°，∴∠EAC＝∠DCF，∴△AEC∽△CFD，∴＝＝，∴EC＝2AE＝，∴＝＝＝．18．（10分）综合运用如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．（1）求a的值及反比例函数的表达式；（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x+2得，a＝2×2+2＝6，∴A（2，6），把A（2，6）代入，得k＝12，∴反比例函数的函数表达式为；（2）当x＝0时，y＝2x+2＝2，∴B（0，2），∴OB＝2，∴S△AOB＝OB•xA＝×2×2＝2，∴S△POB＝2S△AOB＝4，又∵S△POB＝OB•xP＝×2×xP＝4，解得：xP＝4，∴，∴点P坐标为（4，3）；（3）存在；理由如下：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作AQ1∥y轴交x轴于Q1，则∠BOA＝∠OAQ1，∴点Q（2，0）；②当点Q在x轴负半轴上时，如上图，设AQ2与y轴交于点D（0，b），∵∠BOA＝∠OAQ2，∴OD＝AD，则22+（6﹣b）2＝b2，解得：，∴，设直线AQ2表达式为y＝mx+n，代入得：，解得，∴直线AQ2的表达式为，当y＝0时，，即点Q2的坐标为，综上所述，点Q的坐标为（2，0）或．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知，b+d+f＝3，那么a+c+e的值是．【解答】解：∵，b+d+f＝3，∴＝，∴a+c+e＝，故答案为：．20．（4分）从1，2，﹣3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作（m，n），那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的有：（1，﹣6），（﹣6，1），（2，﹣3），（﹣3，2），∴点（m，n）在函数y＝图象上的概率是：＝．故答案为：．21．（4分）如图在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长是．【解答】解：连接BE，BD，设EF与BD相交于点O，如图，∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，∴EF垂直平分BD，∠BFE＝∠DFE，∴ED＝EB，FD＝FB，EF⊥BD，∴∠EDB＝∠EBD，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE，∴DE＝EB＝BF＝FD，∴四边形DEBF为菱形，在Rt△ABD中，BD＝＝＝10，设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝DE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴BE＝，∵S菱形DEBF＝S三角形DEB，∴×EF•DB＝DE•AB，∴×EF×10＝6×，∴EF＝．故答案为：．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边BC取点E，使BE＝2CE，连接AE，OB交于点D，已知△AOD的面积3．若反比例函数的图象恰好经过点D，则k＝．【解答】解：过点D作DF⊥AO于F，设E（a，b），则CE＝a，CO＝b，∵四边形ABCD是矩形，∵BE＝2CE，∠BAO＝90°，∴BE＝2a，BC＝3a，∴CO＝AB＝b，BC∥AO，BC＝AO＝3a，∴△BDE∽△ODA，∴，即，∴，∵∠BAO＝∠DFO＝90°，∠DOF＝∠BOA，∴△ODF∽△OBA，∴，即，∴，，∴，∵△AOD的面积3，∴，∴，又反比例函数的图象恰好经过点D，∴．故答案为：．23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一点，且AE＝2，F，G是AB，CD上的动点，且BE＝FG，BE⊥FG，连接EF，BG，当EF+FG+BG的值最小时，CG的长为3．【解答】解：过点G作GT⊥AB于T．则四边形BCGT是矩形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，∵CT⊥AB，∴∠GHB＝90°，∴四边形BCGT是矩形，∴BC＝GT，∵BE＝GF，∠A＝∠GTF＝90°∴△ABE≌△TGF（ASA），∴AE＝FT＝2，设CG＝BT＝x，则AF＝AB﹣FT﹣BT＝6﹣2﹣x＝4﹣x∴EF+BG＝+，欲求+的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，6），N（4，2）的距离和最小．如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，﹣6），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．∵N（4，2），M′（0，﹣6），∴直线M′N的解析式为y＝2x﹣6，∴P（3，0），∴x＝3时，EF+BG的值最小，∵BE＝FG＝定值，∴当CG＝3时，EF+FG+BG的值最小．故答案为：3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；（2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？【解答】解：（1）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上，∴，解得：k＝400，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是；（2）解：在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，解得：x＝1，在降温过程中，水温为40℃时，，解得：x＝10，∵10﹣1＝9，∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．25．（10分）综合与探究如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．（1）求证：△ADF∽△BGF．（2）若E为BC的中点．①求证：DF＝AD．②连接CF，若CF＝4，求正方形ABCD的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD．∵BF⊥AE，∴∠BFG+∠AFG＝90°，∵FG⊥DF，∴∠AFG+∠AFD＝90°，∴∠BFG＝∠AFD．∵四边形AGFD的内角和为360°，∠BAD＝∠GFD＝90°，∴∠AGF+∠ADF＝180°．∵∠AGF+∠BGF＝180°，∴∠BGF＝∠ADF，∴△ADF∽△BGF；（2）①证明：∵E为BC中点，∴，∴，由（1）知：△ADF∽△BGF，∴，∴AD＝2BG，DF＝2GF，∴AB＝2BG，∴G为AB的中点，∵AF⊥BF，∴，∴AD＝2GF，∴DF＝AD；②解：过点F作FH⊥BC于点H，如图，设正方形的边长为2x，则AB＝BC＝2x，BE＝EC＝x，∵，∴设BF＝a，则AF＝2a，∵AF2+BF2＝AB2，∴（2a）2+a2＝（2x）2，∵a＞0，x＞0，∴，∴，．同理求得：，∴．∴．∵FH⊥BC，