9九年级数学世纪金榜教师用书配套课件

第九讲一元二次方程1.了解:一元二次方程及一元二次方程的解的概念.2.理解：配方法及一元二次方程的一般形式.3.会：用因式分解法、公式法和配方法解简单的数字系数的一元二次方程.4.能：列出一元二次方程解决实际问题，并检验结果是否合理.一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有______未知数的_____多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：______________________________________一个二次ax2+bx+c=0(a,b,c是数，a≠0).【即时应用】1.方程5a2=6a-8化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为_________.2.方程(2x-1)(3x+1)=x2+2化为一般形式为__________.3.假设(m-2)xn-3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，那么__________.5，-6，85x2-x-3=0m≠2，n=2二、一元二次方程的解法1.因式分解法(1)依据：如果pq=0，那么_______或_______.(2)步骤：①先化成一元二次方程的_________；②对含未知数的二次三项式进行___________；③令每个因式为0，求出一元二次方程的根.2.直接开平方法：形如ax2=b(ab>0)或(mx+n)2=a(m≠0,a≥0)的方程可用直接开平方法求解.p=0q=0一般形式因式分解3.配方法(1)配方法把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程通过配方变形为(x+m)2-n=0(n≥0)的形式，然后用因式分解法或直接开平方法解一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤①把方程化为一般形式；②化二次项系数为1：在方程的两边同除以二次项系数a；③配方：把方程左边配方，即左边加上一次项系数____________，再减去这个数；④把方程左边分解因式或直接开平方；⑤解两个一元一次方程，从而得到原方程的解.一半的平方4.公式法(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=(2)用求根公式法解一元二次方程的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，一般把a化为正数；②确定公式中__________的值，要注意符号；③求出_______的值；④假设__________,那么把a，b，c及b2-4ac的值代入公式即可求解，假设__________,方程无实数根.______________________.a，b，cb2-4acb2-4ac≥0b2-4ac<0【即时应用】1.方程(x-2)2=1的解为____________.2.把方程x2-6x-5=0配方得____________.3.用公式法解方程x2-x-1=0得___________________.4.方程x2-2x=0的解是____________.x1=3,x2=1(x-3)2=14x1=0,x2=2三、一元二次方程的根的情况1.b2-4ac>0⇔方程有______________的实数根.2.b2-4ac=0⇔方程有______________的实数根.3.b2-4ac<0⇔方程____实数根.两个不相等两个相等无【即时应用】1.方程x2-2x+3=0的根的情况是___实数根.2.关于x的方程x2-mx=-2有两个相等的实数根，那么m的值是______.3.关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是____________.4.关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的根的情况是____________的实数根.m≤3且m≠2有两个不相等无【核心点拨】1.在一元二次方程的定义中，要注意二次项系数不能等于0这一条件.2.在用直接开平方法解一元二次方程时，右边不要忘记“±”号.3.解一元二次方程时不要在方程两边同时除以含未知数的整式.如由(x-2)(x-3)=2(x-3)得到x-2=2，便是错误的.4.用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值.5.解一元二次方程时要根据方程特点选择适当的方法，选择的顺序是：直接开平方法因式分解法公式法配方法.6.根的判别式的作用有三个：一是不解方程直接判断方程根的情况；二是根据方程根的情况确定未知系数的值；三是证明方程根的情况.一元二次方程的根本概念◆中考指数:★★★★☆知识点睛1.一元二次方程的三个特点(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程.2.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程.特别提醒判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,应首先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),但一元二次方程的一般形式不是唯一的.

【例1】(2012·安顺中考)1是关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0的一个根，那么m的值是()(A)1(B)-1(C)0(D)无法确定【教你解题】选Bm-1+1+1=0，∴m=-1结果求m代入把x=1代入原方程，得(m-1)12+1+1=0【对点训练】1.(2011·兰州中考)以下方程中是关于x的一元二次方程的是()(A)(B)ax2+bx+c=0(C)(x-1)(x+2)=1(D)3x2-2xy-5y2=0【解析】选C.A项分母中含有未知数，不一定是一元二次方程；B项中未强调a≠0，不一定是一元二次方程；D项中含有两个未知数，不是一元二次方程．2.(2011·乌鲁木齐中考)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，那么实数a的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)-1或1【解析】选A.把x=0代入方程,那么|a|-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a=-1．应选A.3.(2011·淄博中考)a是方程x2+x-1=0的一个根，那么的值为()(A)(B)(C)-1(D)1【解析】选D.根据题意，得a2+a-1=0，∴a2+a=1．∴原式4.(2011·百色中考)关于x的方程x2+mx-2m2=0的一个根为1，那么m的值为()(A)1(B)(C)1或(D)1或-【解析】选D.将x=1代入方程，得1+m-2m2=0，解得m1=1,m2=-,应选D.一元二次方程的解法◆中考指数:★★★★★知识点睛1.一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解.2.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解法中,选择顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.特别提醒1.配方法较为复杂，除指定外，一般不选用.2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),(1)当b=0,c≠0时,考虑直接开平方法(a，c同号时方程无解).(2)b≠0,c=0时,考虑用因式分解法.

【例2】(2012·安徽中考)解方程：x2-2x=2x+1.【教你解题】b2-4ac=16+4=20a=1,b=-4,c=-1化为一般形式原方程式化为x2-4x-1=0写出结果代入公式计算b2-4ac确定系数【对点训练】5.(2012·淮安中考)方程x2-3x=0的解为()(A)x=0(B)x=3(C)x1=0，x2=-3(D)x1=0，x2=3【解析】选D.把选项中给出的数值代入原方程,使方程左右两边的值相等的数值,就是原方程的解.6.(2012·河北中考)用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是()(A)(x+2)2=3(B)(x-2)2=3(C)(x-2)2=5(D)(x+2)2=5【解析】选A.移项得x2+4x=-1，配方得x2+4x+4=-1+4，即(x+2)2=3.一元二次方程的应用◆中考指数:★★★★★知识点睛1.列一元二次方程解应用题的方法与步骤和前面学过的列方程解应用题的方法与步骤相同，但解一元二次方程所求出的方程的解一定要使实际问题有意义,凡不满足实际情况的解(虽然它是原方程的解)一定要舍去.2.增长率问题公式：a(1+x)n=b其中，a为增长前的量，x为增长率，n为增长次数，b为增长后的量.特别提醒1.每个月的增长率应等于每个月的增长量除以上个月的产量.2.计算每个月的增产量应以上个月的产量为基数进行计算.

【例3】(2012·宜宾中考)某市政府为落实“保障性住房政策”，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设.(1)求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程)；(2)设(1)中方程的两根分别为x1,x2,且的值为12，求m的值.【思路点拨】(1)(2)【自主解答】(1)设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x,根据题意得，3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5.(2)由(1)得，x2+3x-0.5=0,由根与系数的关系得，x1+x2=-3,x1x2=-0.5,又∵=12,m［(x1+x2)2-2x1x2］-4m2x1x2=12,m(9+1)-4m2(-0.5)=12,∴m2+5m-6=0,解得，m=-6或m=1.【对点训练】7.(2012·泰州中考)某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的选项是()(A)36(1-x)2=36-25(B)36(1-2x)=25(C)36(1-x)2=25(D)36(1-x2)=25【解析】选C.36(1-x)(1-x)=36(1-x)2=25.8.(2012·兰州中考)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，那么可列方程为()(A)x(x-10)=200 (B)2x+2(x-10)=200(C)2x+2(x+10)=200 (D)x(x+10)=200【解析】选D.宽为x米,那么长为(10+x)米,可得x(x+10)=200.9.(2012·滨州中考)滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，方案安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x支球队参赛，那么每队共打_______场比赛，比赛总场数用代数式表示为_______．根据题意，可列出方程_______．整理，得_______．解这个方程，得_______．符合实际意义的解为_______．答：应邀请_______支球队参赛.【解析】设应邀请x支球队参赛，那么每队共打(x-1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为x(x-1)．根据题意，可列出方程x(x-1)=28．整理，得x2-x=28.解这个方程，得x1=8，x2=-7．符合实际意义的解为x=8．答：应邀请8支球队参赛．答案:(x-1)x(x-1)x(x-1)=28x2-x=28x1=8,x2=-7x=8810.(2012·济宁中考)一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购置了一批树苗，园林公司规定：如果购置树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购置树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购置了多少棵树苗？【解析】因为60棵树苗售价为120×60＝7200元＜8800元，所以该校购置树苗超过60棵，设该校共购置了x棵树苗，由题意得：x［120－0.5(x－60)］＝8800，解得：x1＝220，x2＝80．当x1＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x1＝220(不合题意，舍去)；当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，∴x＝80.答：该校共购置了80棵树苗．【创新命题】b2-4ac的应用【例】(2012·广安中考)关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是()(A)a>2(B)a<2(C)a<2且a≠1(D)a<-2【解题导引】【标准解答】选C.∵方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,∴(-2)2-4(a-1)=4-4a+4=8-4a＞0，解得a<2，又a-1≠0，∴a≠1，∴a的取值范围是a<2且a≠1.【名师点评】通过对b2-4ac的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创新点拨1.b2-4ac的值与方程的根的关系：(1)b2-4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)b2-4ac＜0⇔方程没有实数根.2.根的判别