第三章 点、直线及平面的投影

第三章点、直线及平面投影§3－1点的投影§3－2直线的投影§3－3平面的投影通过上一节的学习及画图实践，可以体会到画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱线是由两个端点决定的。因此，为了迅速而正确地画出物体的视图，还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的投影。点线面的投影规律§3－1点的投影Pb

●APB1●B2●B3●一、点在一个投影面上的投影a

●●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置采用多面投影，可确定点的空间位置。HWV二、点的三面投影投影面正投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）侧投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直WHVoX空间点A在三投影面体系上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影a

●a●a

●A●ZY空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaa

yayaXYYO

●●az●x①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到

V面的距离a

ax=a

ay=z=A到

H面的距离aay=a

az=x=A到

W面的距离●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay点的投影规律连影垂轴例1：已知点的两个投影，求第三投影。●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通过作45°线使a

az=aax用圆规直接量取a

az=aax侧面投影a"反映A点Y和Z的坐标。OAVHWa'aa"XZY点的三面投影和坐标的关系为：水平投影a反映A点X和Y的坐标；正面投影a'反映A点X和Z的坐标；xzyxzya′aa″作图步骤：（1）画出坐标原点及各轴;（2）根据A点的坐标求其V、H面的投影

a′,a;（3）根据点的投影规律求出第三投影

a″。例1.已知A点的坐标为（5，10，15）,求其三面投影。A特殊位置点：投影面上的点点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。d′dee′f′f″e″fd″zxYW

YH0例：已知点的两投影，求其第三投影aa′a″三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x坐标大的在左

y坐标大的在前z坐标大的在上XYHYWZObab

a

a

b

a′a″B点在A点之前、之右、之下b″b′作图步骤：（2）根据点的投影规律,求其第三投影b”。（1）根据B的相对位置求其V.H面的投影b’,b;例2.已知B点在A下10，A后5，A左10

mm处，求B点的三投影。AB空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、B为V面的重影点重影点●●●XYZOVHWAaa

a(b’)xaazay●Bbb’’被挡住的投影加()●●●XYZOVHWAaa

(a

)b’xaazay●Bbb’’重影点的判别与标注重影点的判别：投影在V面上重合时，前者可见(Y坐标大的可见)投影在H面上重合时，上者可见(Z坐标大的可见)；投影在W面上重合时，左者可见(X坐标大的可见)。标注：将在某投影面上不可见的点加括号标注以示区别。作图步骤：2.求D点的三投影

d,d

’,d

”

1.求C点的三投影

c,c’,c”;

ABCD（C）例3.已知C点距W面5、距V面10、距H面10mm，D点距W面15、距V面10、距H面5mm，求

C、D二点的三面投影,并判别其可见性。一、直线的三面投影b´b"ba´a"a直线的投影由线上二点A、B确定:将A、B的同面投影相连即为线的三面投影§3－2直线的投影AMB●a≡b≡m●●●1、直线对一个投影面的投影特性二、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点

ab=0积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα直线投影的基本特性

一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。●●abαABA●●

◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法：ABCVHbcc

b

a

a定比定理2、直线上的点直线上的点具有两个特性：

1)从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2)定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即ABbb

aa

XOcc

CAC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

例1：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。abka

b

k

●●例2：线段AB上的一点K把AB分成AK：KB=1：2，求作点K的投影。a

b

●k

abka

b

k

k1b1作图步骤：1、过a作直线ab1

，并取ak1：

k1b1=1：22、连bb1，过k1作bb1的平行线与ab相交，得点K的水平投影k3、作点K的侧面投影和正面投影。例3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。Ob

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV三、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线：投影面垂直线：正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线：统称特殊位置直线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜的直线平行于V面的直线

Y坐标相等，称为正平线；直线与V面的夹角称为

;在所平行的投影面上的投影反映实长及倾角的真实大小另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴1.投影面平行线——总有一组坐标相等,一个倾角为零.定义：

倾角：

投影规律：

(总有一个倾角为0)投影面平行线水平线正平线侧平线直线与V面的夹角称为

；垂直于V面的直线X.Z坐标相等，称为正垂线；

H

X.Y

铅WY.Z侧H

W

——

总有二组坐标相等,二个倾角为零.定义：

倾角：

投影规律：

2.投影面垂直线

(总有二个倾角为0)投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线直线与V面的夹角称为

;H

W

a´

ab´

bb"a"3.投影面倾斜线

——

一般位置直线定义：

倾角：

投影规律：

H与三投影面均倾斜的直线；三投影均小于实长，三倾角均不是真实大小。(三倾角不为0

和90

)四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置可分为：两直线平行两直线相交两直线交叉（异面）平行相交交叉⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其同名投影必然相互平行。反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例4：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD例5试判断直线AB、CD是否平行X方法一补画第三投影,判断是否平行ad’b’a’dcbc’d’’b’’a’’c’’方法二ab:cd不等于a’b’:c’d’结论:AB与CD不平行要用两个投影判断空间两直线是否平行时，其中应包括反映实长的投影。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必须符合点的投影规律(kk′⊥ox轴)。交点K是两直线的共有点●●cabb

a

c

d

k

kd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影例2试作一直线MN与AB、CD两直线相交,且平行EF(m’)af’OXe’fdecbc’(a’)b’d’分析作图步骤（1）过m’作直线m’n’平行e’f’,且与c’d’交于n’n’(2)由n’求得nn过n作nm平行ef,交ab于m,直线MN即为所求。md

b

a

abcdc’1

(2

)3(4)投影特性：

1)同名投影可能相交，但“交点”不符合空间点的投影规律。

2)“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●12●●3

4

●●HV3.两直线交叉（异面）例判断两直线的相对位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1两直线交叉判断两直线重影点的可见性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。例判断两直线重影点的可见性b

Obc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)练习1：已知立体上直线AB、CD的空间位置，在投影图中标注其投影位置，并填空。(C″)(d″)练习2：已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

1、不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

2、直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●3、两平行直线abca

b

c

●●●●●●4、两相交直线●●●●●●abca

b

c

5、任意平面图形(三角形、四边形、圆等)§2－3平面的投影平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影反映实形★平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面:特殊位置平面

正垂面:

侧垂面:铅垂面:

正平面:

侧平面:

水平面:垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜VWHQQV投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

为ABC的类似形

3、a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面(⊥V面)侧垂面(⊥W面)VWHSWS投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

为

ABC的类似形

3、a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

VWHPPH投影特性：1、

abc积聚为一条线

2、

a

b

c

、

a

b

c

为

ABC的类似形

3、

abc与OX、OY的夹角反映

、

角的真实大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

铅垂面(⊥H面)VWH投影特性：

1、水平投影abc

、侧面投影

a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、正平面投影a

b

c

反映

ABC实形c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA正平面(∥V面)VWH投影特性：

1、正面投影a

b

c

、侧面投影

a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、水平投影abc反映

ABC实形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

水平面(∥H面)投影特性：

1、水平投影abc

、正面投影a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形

VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

侧平面(∥W面)一般位置平面投影特性

1、abc

、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形

2、不反映

、

、

的真实角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB

练习1:已知立体上平面P、Q、R的空间位置，在投影图中标注其投影位置,并填空。水平铅垂侧垂

练习2:已知平面的两个投影,求作其第三投影,并填空。

1(6)26″5″4″3″1″2″7″(6″)3″1″(2″4″5″)21(6)1(6)1(6)三、平面上的直线和点1、平面上取任意直线判断直线在平面内的依据定理一:若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内.定理二:若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内.abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：根据定理一根据定理二有多少解？有无数解例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？⒉平面上的点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定