第七章 参数估计72,73

7.2点估计的评价标准一、问题的提出二、无偏性三、有效性四、小结一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的点估计可能不相同.而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的点估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.7.2.1

无偏性

定义7-3

设是

的一个估计，

的参数空间为Θ，若对任意的

Θ，有

则称是

的无偏估计，否则称为有偏估计。证例1特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,证例2(这种方法称为无偏化).对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩

k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于，样本方差不是总体方差

2的无偏估计，对此，有如下两点说明：

(1)当样本量趋于无穷时，有，我们称为

2的渐近无偏估计。

(2)若对作如下修正：则s2是总体方差的无偏估计。7.2.3

有效性

定义7.2.3

设是

的两个无偏估计，如果对任意的

Θ,有且至少有一个

Θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。

例7-15

设x1,x2

,

…,xn

是取自某总体的样本，记总体均值为

，总体方差为

2，则,都是

的无偏估计，但显然，只要n>1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。

四、小结估计量的评选标准无偏性有效性第三节区间估计一、区间估计的基本概念二、单个正态总体参数的置信区间

一、区间估计的基本概念

例

设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N(,2),其中

未知,

2已知(

=45公斤·米),试对总体均值作区间估计.对于区间估计,首先要选择一个合适的统计量.

若在该总体取一个容量为n的样本x1,x2,…,xn,样本均值为

的点估计(矩估计)为然后需要选择一个合适的估计函数对于总体为正态分布的问题,估计函数可取(1)u中包含所要估计的未知参数

(2)u~N(0,1),且与未知参数

无关由于u~N(0,1),因此有上式说明未知参数

落在区间或又当

=0.05时,1-

=0.95,的概率为0.95当

=0.01时,1-

=0.99,则未知参数

落在区间的概率为0.99上式说明未知参数

落在区间的概率为1-

这里,不仅给出了未知参数

的区间估计还给出了这一区间估计的置信度(或置信概率)为1-

当

变小,1-

=变大时,区间的长度增大当

变大,1-

=变小时,区间的长度减小变小,区间估计的定义

定义7.5.1

设

是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1,x2

,

…,xn是来自该总体的样本，对给定的一个

(0<

<1)，若有两个统计量

和若对任意的

Θ，有则称随机区间[]为

的置信度为1-

的置信区间，或简称[]是

的1-

置信区间.和分别称为

的置信下限和置信上限.称为置信区间的长度。

这里置信度1-

的含义是指该置信区间以100(1-

)%的概率含有

。

说明置信区间的长度可视为区间估计的精度,置信度和精度具有如下的关系:(1)当置信度1-

增大,样本容量n固定时,置信区间的长度增大,此时区间估计的精度降低;当置信度1-

减小,样本容量n固定时,置信区间的长度减小,此时区间估计的精度提高。(2)设置信度1-

固定,当样本容量n增大时,置信区间的长度减小,此时区间估计的精度提高。二、单个正态总体参数的置信区间1、

已知时

的置信区间2、

2未知时

的置信区间3、

2的置信区间1、

已知时

的置信区间

设总体X服从正态分布N(,2),，其中

已知，而

未知，求

的置信度为1－α的置信区间所以，

的置信度为1－α的置信区间为当

=0.05时,1-

=0.95,当

=0.01时,1-

=0.99,例

某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）：

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若总体方差

2=0.06。试求该总体均值的置信区间（

=0.05，

=0.01

）。当

=0.05时，u0.025=1.96，解：n=6,

2=0.06

，该总体均值为0.95的置信区间为

例

某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）：

14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1若总体方差

2=0.06。试求该总体均值的置信区间（

=0.05，

=0.01

）。当

=0.01时，u0.005=2.576，解：n=6,

2=0.06

，该总体均值的的0.99置信区间为

例

用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。由于1-

=0.95，因此

=0.05，u0.025=1.96解：因此于是该物体重量

的0.95置信区间为

[15.3347，15.4653]又n=9,

=0.1，

这时可用t统计量，因为，完全类似于上一小节，可得到

的1-

置信区间为

此处是

2的无偏估计。

2、

2未知时

的置信区间

例

假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70试求平均寿命的0.95置信区间。解：经计算有，s2=0.0615

由

=0.05，查表知t0.025(11)=2.2010于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）3、

2的置信区间

由，由于

2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用

2的两个分位数

2

/2(n-1)和

21-

/2(n-1)，在

2分布两侧各截面积为

/2的部分，使得

由此给出

2的1-

置信区间为上述区间两端开方可得标准差的

的1-

置信区间例7-22

某厂生产的零件重量服从正态分布N(,

2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6

试求总体标准差

的0.95置信区间。解：由数据可算得s2=0.0325，(n-1)s2=8

0325=0.26查表知

20.025(8)=17.5345，

20.975(8)=2.1797可得

2的0.95置信区间为从而

的0.95置信区间为:[0.1218，0.3454]。所估参数条件估计函数置信区间

2已知

2未知

2未知三、小结：正态总体参数区间估计表二、两个总体的情况讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.推导过程如下:例7为比较І,ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取І型子弹10发,得到枪口速度的平均值为随机地取ІІ型子弹20发,得枪口速度平均值为假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差相等,求两总体均值差信区间.解由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),解由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),例8为提高某一化学生产过程的得率,试图采用一种新的催化剂,为慎重起见,在试验工厂先进行体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等,求两总体