2024届陕西省渭南市高三一模数学（理）试题（教师版）

渭南市2024届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）命题人：注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数乘除法运算求复数z，即可求模.【详解】由题设，故.故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式求解集合，再求并集即可.【详解】∵，∴．故选：D3.在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果.【详解】取是的中点，连接，如下图所示：设三棱柱底面边长为，可得，由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B4.“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可.【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，由抛物线定义可知，，即，解得，故选：D5.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值.循环结果执行如下：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：，结束循环，输出.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.6.设定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性质可求出，代入即可得出答案.【详解】由得.又为偶函数，所以.故选：A.7.甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.90种 D.120种【答案】B【解析】【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果.【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种；故选：B8.已知圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，当弦长最短时，（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当最短时，直线，，.故选：B.9.如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据梯形各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的，由等体积法可知当底面水平放置时，液面高为5.【详解】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示：由可得，所以四边形与四边形的面积之比为，即可知容器中水的体积占整个容器体积的；当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的,即可得液面高为.故选：C10.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，代入计算即可求得结果.【详解】由题意可得，，，则，又，所以，可得；所以Q，R的余弦距离.故选：A11.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设，为等边三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，双曲线的离心率为.故选：C.12.已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中正期结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数，令，可得，，因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，解得，即，可得，即，解得，即③正确；对于①，当时，，即可得，显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，的最小正周期为，易知，所以的最小正周期可能是，即②正确；对于④，当时，；由可知，由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若，则_______．【答案】【解析】【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案.【详解】根据题意可知该组数据点，所以，所以，故答案为：14.在中，，，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可解得，再由面积公式即可求得结果.【详解】由余弦定理可知，即，解得；所以的面积为.故答案为：15.已知函数满足，，，则满足条件的函数可以是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数性质判断即可.【详解】结合常数函数的性质，即满足，，故答案为：（答案不唯一）.16.已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】利用导数研究函数性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】因为，令，得到，解得或，又当时，，则，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，又时，，时，，时，，其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解，又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解，又时，，则，所以时，，时，，即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，，当时，，又当时，有3个实数解，所以或，解得或，故答案为：或.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列满足：，，其前项和为.（1）求及；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等比中项求出，进而求出等差数列的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n项和.（2）先求等比数列的前n项和，数列的前n项和即为.【小问1详解】是等差数列，，数列公差，首项，，.，为所求.【小问2详解】令，由题意有；数列是以1为首项，3为公比的等比数列其前n项和，，数列的前n项和故为所求.18.如图，在等腰梯形ABCD中，，，将沿着AC折到的位置，使.（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过C做，交AB于E，连接AC，根据余弦定理求得AC，可证，又，根据线面垂直的判定定理，可证平面APC，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求得平面，的法向量，，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案.【小问1详解】由等腰梯形ABCD中，，过C做，交AB于E，连接AC，如图所示，根据对称性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，又因为，且，所以平面APC，又由平面ABC，所以平面平面ABC.【小问2详解】取AC的中点E，AB的中点F，因为，所以，由（1）知，平面平面，易知，而平面平面，平面，所以平面，故两两垂直.以E为坐标原点，EA为x轴，EF为y轴，EP为z轴正方向建立空间坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，得一个法向量，，得一个法向量，所以，设二面角的平面角为，，所以二面角的平面角的正弦值为.19.杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．（1）己知某局比赛中双方比分为，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为0.4．乙发球时乙得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以获胜的概率；（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得.（2）求出X的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得.【小问1详解】在比分为后甲先发球的情况下，甲以获胜的情况分三种：第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为，第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为，所以所求事件的概率为：．【小问2详解】随机变量X的可能取值为2，3，4，5，，，，，所以X的分布列为X2345P数学期望.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得到，分和进行讨论，再利用函数的单调性与导数间的关系即可求出结果；（2）根据（1）中的单调性，得到的最小值为，从而将问题转化成，构造函数，对求导，利用函数的单调性与导数间的关系，求出的最小值，即可证明结果.【小问1详解】因为，所以,易知，恒成立，当时，恒成立，所以在上单调递减，当时，由，得到，当时，；当时，，所以时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上，当时，在上单调递减，当时，函数减区间为，增区间为.【小问2详解】由（1）知，当时，函数的最小值为，所以要证，即证明在区间上恒成立，整理得，令，则，所以当时，，当时，，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故的最小值为，即时，恒成立，所以时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．21.已知椭圆的离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下焦点分别为、，过点作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，直线，分别交椭圆于M，N两点，设直线MN的斜率为.求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于方程，求得的值，即可求解；（2）设直线的方程为，，求得为，联立方程组，求得，得到,同理，利用斜率公式，化简得到，即可得证.【小问1详解】解：由椭圆的离心率为，长轴长为4.可得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：由（1）知，可得，设直线的方程为，设，则，由，所以直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，所以，可得，即,同理可得，所以，即，所以为定值.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修