江苏省南通市海安高级中学2024届高三下学期开学考试数学试题（学生版）

高三第二学期期初学业质量监测数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（）A.极差 B.众数 C.平均数 D.中位数2.3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（）A.6 B.12 C.24 D.723.设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（）A. B.C. D.且4.若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是()A.l至少与a，b中一条相交B.l至多与a，b中一条相交C.l至少与a，b中一条平行D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行5.设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（）A. B. C. D.6.记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.8.已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.关于直线对称C.关于点中心对称 D.的最小值为10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在C上，且，则（）A. B.直线MN的斜率为C D.11.已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设，为虚数单位．若集合，且，则__________．13.一个三棱锥形木料，其中是边长为的等边三角形，底面，二面角的大小为，则点A到平面PBC的距离为__________．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为_________．14.已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.假定某同学每次投篮命中的概率为，（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数概率分布及数学期望．16.己知函数，其中．（1）若曲线在处切线在两坐标轴上的截距相等，求；（2）求函数的单调区间．17.如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小．18.已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点．（1）求直线l被圆所截的弦长；（2）当时，．（i）求的方程；（ii）证明：对任意，的周长为定值．19.设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．（1）设