湖南省2024届高三数学新改革提高训练五（九省联考题型）（教师版）

湖南高三数学新改革提高训练五（九省联考题型）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是（）A.74 B.78 C.83 D.91【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因为，所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.故选：C.2.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由代入即可求得.【详解】，当时，，当也满足，所以数列的通项公式为.故选：D3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】由，由，．故选：C4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据直线和平面平行和垂直的性质即可判断出它们的位置关系，逐项得出结论即可.【详解】对于A，若，则可能平行或相交，可得A错误；对于B，若，则，即B正确；对于C，若，则或，可知C错误；对于D，若，则或，可知D错误；故选：B5.已知，，且，则（）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用二项式的通项公式求出的表达式，根据题意列方程，即可求得n的值.【详解】通项公式为，二项式的展开式中项的系数为，项的系数为，，，即，即，（负值舍），故选：A.6.圆和圆的公切线方程是（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【详解】解：，圆心，半径，，圆心，半径，因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，由方程组解得，故圆与圆的切点坐标为，故公切线方程为，即．故选：A.7.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【详解】取线段的中点，则，，由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，连接，则，同理，由正六边形的几何性质可知，，所以，，则、、三点共线，则，即，当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，同理可知，，当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，所以，当取最大值时，点在折线段上运动，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、、、、，设点，（1）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，则；（2）当点在线段上运动时，，，则，所以，；（3）当点在线段上运动时，，直线的方程为，即，所以，线段的方程为，所以，，因函数在上单调递增，故.综上所述，的最大值为，故，故的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD.【详解】由题意知，，则，所以曲线在点处的切线方程分别为，因为切线均过原点，所以，即，得，故AB错误；由，得，画出函数与图象，如图，设，如上图易知：，由正切函数图象性质，得，即，又，所以，即，解得，故C正确，D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据三角恒等变换可得，即可代入验证求解对称轴以及对称中心，利用整体法即可判断D，根据周期公式即可求解A.【详解】，对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B,,故的图象关于直线对称，B正确，对于C，，故的图象关于点对称，C正确，对于D，时，，故在上单调递增，D正确，故选：BCD10.若、为复数，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用共轭复数的定义、复数的加法可判断B选项；利用复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘法可判断D选项.【详解】对于A选项，取，，则，，所以，，，所以，，所以，，，故，A错；对于B选项，设，，则，，，，则，所以，，B对；对于C选项，不妨取，，则，，，所以，，故，C错；对于D选项，设，则，所以，，所以，，D对.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（）A.若，则 B.若，则C.则的面积最小值为 D.则的面积大于【答案】ABD【解析】【分析】对A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似比可得解；对B，易证，可得为等边三角形，得解；对C，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出，表示出利用三角函数求出最小值，对D，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出可证，得解.【详解】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，又，，则，所以，故A正确；对于B，设点在准线上投影为点，易证，又，，即，又，则为等边三角形，所以，且，，故B正确；对于C，分两种情况：当点都在第一象限，如图1所示，设，，由焦半径公式可得，，，令，设，且，，当且仅当时取得最小值.当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，所以，同理令，且，，所以，当且仅当时取得最小值，综上，面积的最小值为，故C错误；对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，则，所以，即，，当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，综上，的面积大于，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C,D选项，关键是利用抛物线焦半径公式求出，从而易求出三角形面积.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为______．【答案】##【解析】【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，得到答案.【详解】，令得，其中，当且仅当，即时，等号成立，其中，则的解集为，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，此时解集为，此时.故答案为：13.如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为__________.【答案】##【解析】【分析】由题意可得两两垂直，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，补成长方体后计算体对角线即可得其外接球的半径，即可得外接球的体积.【详解】如图，由题意，当平面平面，是的中点，，即两两垂直，又，如图，作长方体，则三棱锥的外接球，即是长方体的外接球，设长方体的外接球的半径为，则，.当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为.故答案为：.14.若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先讨论m的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.【详解】令，即，当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，则当时，，即，不满足题意；当时，令，则，令，则，因为单调递增，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，有最小值，又对恒成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】难点点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用m，n的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点（1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.【小问1详解】证明：取中点，连接，如图所示，为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】，易知，又，得.由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，16.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列.【答案】（1）甲班（2），（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则需要求和，而这需要先求和，再根据全概率公式求出，最后用贝叶斯公式求解即得；（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得的分布列.【小问1详解】由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.【小问2详解】由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；乙班中有的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则，，，，所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.【小问3详解】依题的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：17.设，为实数，且，函数（），直线．（1）若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；（2）当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得，即，令，构造，求导得其单调性，即可得到切点在直线上，即可得证；（2）根据题意，转化为有2个不同的解，即证，然后构造函数有其单调性即可得证.【小问1详解】设切点横坐标为，可得，得，即，化简得，令，得，记，所以时，单减，且时，当，单增，，所以，，，所以切点在直线上．【小问2详解】当时，由（1）得切线的斜率为，直线与函数有两个不同的交点，得，即有2个不同的解，由题意得，，做差得，即，欲证，即证，即证，即令，，即证即下面先证明，令，即证，即，先证，令，，单调递增得，因为，所以，证得成立，用替换，可得成立，所以，即成立，得.18.已知圆，与x轴不重合的直线l过点，且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．（1）判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．【答案】（1），（2），且【解析】【分析】（1）根据平面几何可得，故点的轨迹为椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹的方程；（2）设直线：，，直线与曲线联立方程组，根据的范围得且，再根据四边形的面积为，代入即可求解.【小问1详解】圆，，，，，，∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．【小问2详解】设直线，由题意知且，设，，由，则，所以，令且，，当时，；当，；当时，；，且，，且．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于项数为的有穷数列，若，则称为