四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试（二）数学（理科）试卷（教师版）

德阳市高中2021级质量监测考试（二）数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】运用复数的运算求出，再利用复数模的公式即可求解.【详解】由题，，.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，所以.由得，解得，所以.所以.故选：C3.若，满足约束条件，则的最大值为（）A.19 B.13 C.9 D.5【答案】A【解析】【分析】画出可行域，结合图形计算可得.【详解】根据线性约束条件，画出可行域如下所示：目标函数可转化为，因此，当直线在上的截距最大时，目标函数取得最大值，由图象可得当直线过点时，在上的截距最大，所以得最大值为.故选：A.4.已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义列方程来求得的值.【详解】根据抛物线的定义可知，.故选：C5.质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组所以，，所以.故选：D6.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将正四面体放置在正方体中，由正方体的内切球的体积来确定正确答案.【详解】如图所示，正四面体在正方体中，一个球与正四面体的六条棱都相切，则该球与正方体内切，正四面体的棱长为，则正方体的边长为，也即是球的直径，半径，所以体积为.故选：B7.已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.64【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得.【详解】设等比数列的公比为，，依题意，，两式相除得，解得或（舍去），所以.故选：C8.已知函数的定义域为，且满足，则“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、诱导公式、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，，①若，则，所以，此时，是奇函数.②若是奇函数，则由于的定义域是，所以，此时为奇函数，符合题意，所以.所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由与共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解.【详解】因与共线，，，当与共线同向时，则，所以，，这与矛盾，所以与共线反向时，则，，，即，解得，.故选：B.10.已知双曲线：（，），为坐标原点，为的右焦点，以为圆心，为半径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据三角形的面积列方程，求得的关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线的方程为，设其倾斜角为，为锐角，且，由于，所以，，所以，所以.故选：A11.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，分类讨论，结合恒成立，即可求解.【详解】由函数，当时，，可得，要使得在为单调递增函数，则恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得；当时，，可得，要使得在为单调递增函数，则恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得，综上可得，实数的取值范围.故选：D.12.已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明两个线面垂直“平面”和“平面”，进而得到，得到等式，并将其转化为关系式，求解即可.【详解】连接，并延长交于点，连接，连接，由于三条侧棱、、两两互相垂直，易得平面，又因为平面，平面，所以，，因为是的垂心，所以，因为，，且平面，平面，，所以平面，且平面，所以，同理可得，因为，，且平面，平面，，所以平面，平面，所以，因为，所以，，即，所以，由平面，易得，所以，所以.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.在的展开式中，的系数为______.【答案】25【解析】【分析】分别求解展开式中含，的项，再求出展开式中含的项的系数即可.【详解】的展开式中项为，的项为，所以中含的项的系数为.故答案为：25.14.已知数列满足，且对任意，有，则______.【答案】【解析】【分析】利用累加法求得.【详解】依题意，，，，，……，，上述个式子相加得.故答案为：15.已知函数在处取得极大值，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【详解】的定义域是，，由于函数在处取得极大值，所以，且在上单调递增，在上单调递减，所以单调递减，所以，所以，构造函数，显然，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是的极大值也即是最大值，所以，也即取值范围是.故答案为：16.已知正实数，，满足，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为为正实数，故，即，，当且仅当，即，此时，所以的最小值为.故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角、、所对的边分别为、、，且，.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的面积范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；（2）设的外接圆半径为，得到，再由求解.【小问1详解】因为，，所以，因为，所以，则，因为，所以，又，则，所以.【小问2详解】设的外接圆半径为，则，所以，，，，，因为锐角三角形，所以，解得，则，则，所以，所以的面积范围.18.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.使用频数偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）从每天食用轻食1次及以上样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析（2）分布列见解析，数学期望为（3）【解析】【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；（3）设出事件，结合全概率公式得到答案.【小问1详解】列联表如下：

青少年中老年合计食用轻食频率低12595220食用轻食频率高75105180合计200200400故，故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；【小问2详解】每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，的抽取人数为，的抽取人数为，的抽取人数为，的抽取人数为，的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2，其中包含两种情况，即和，故，包含三种情况，，和，故，包含1种情况，即，故，故的分布列如下：012则数学期望为；【小问3详解】记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，则，，，小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，，故，故小李晚餐选择低卡甜品的概率为.19.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积.【小问1详解】以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若P是的中点，则，，，于是，∴，即.【小问2详解】由题设知，，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则取，得.又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时.设（），而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而.将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.20.已知圆：，点是圆上的动点，点是圆内一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时点的轨迹为.（1）求的方程；（2）为直线：上的动点，、为曲线与轴的左右交点，、分别与曲线交于、两点.证明：为定值.【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；（2）设出相应直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合两点间距离公式进行求解即可.【小问1详解】如图所示：连接，由，所以该圆的圆心坐标为，半径为，因为线段的垂直平分线交于点，所以有，由，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，即，所以的方程为；【小问2详解】设，，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，代入椭圆方程中，得，显然有，，即，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，代入椭圆方程中，得，显然有，，即，于是有，，，，因此为常数.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系求出相关点的坐标.21.（）.（1）当时，证明：；（2）证明：.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）放缩得到，构造，得到函数的奇偶性，二次求导，得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，证明出结论；（2）由（1）知，令，且放缩得到，再由得到，从而得到，相加后得到结论.【小问1详解】当时，，令，，故为偶函数，，令，，故为奇函数，其中恒成立，故在上单调递增，其中，故在恒成立，故在上单调递增，其中，故在上恒成立，结合为偶函数，故在上恒成立，故在上恒成立；【小问2详解】由（1）知，，即，当且仅当时，等号成立，令，且，所以，故，即，由（1）可知，当时，，当且仅当时，等号成立，当且时，，故，故，即，所以，故.【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值.【答案】（