第15讲拓展三三角形周长（边长）与面积问题

第15讲拓展三：三角形周长（边长）与面积问题题型01三角形周长（边）定值问题【典例1】（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）在中，角所对的边分别为，已知，且．(1)求的值；(2)若的面积，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，将代入，，即，所以．故.（2）由于，又为锐角，即.，.所以，结合解得.故.【典例2】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）在中角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，因为，所以，由于，所以，所以，所以，又，故.（2）由题得的面积，故①，而，且，故②，由①②得，，所以.【典例3】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且__________.在①；②两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求；(2)若外接圆的半径为的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）若选①：由及正弦定理，得.，.又，.若选②：由，得.由正弦定理，得.由余弦定理，得.因为，所以.（2）设外接圆的半径为，由正弦定理，得.又，所以.由，可得，解得，所以的周长为.【变式1】（2023下·上海松江·高一统考期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)求的值；(2)若的面积为，且，求a的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，得，得，因为，所以，所以.（2）由（1）知，，又，所以，因为的面积为，所以，得，由余弦定理得，所以.【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求；(2)若的面积为且，求的周长.【答案】(1)(2)20【详解】（1），因为，所以，解得；（2）在中，由（1）可得，，∵，即，因为，则，由正弦定理可得，即，由余弦定理得，∴，则，∴三角形周长.【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，，，，的面积为．(1)求；(2)若，，求CD的长度．【答案】(1)(2)【详解】（1）的面积为，即，解得．因为，所以，所以，由余弦定理得，，所以．又，所以．（2）方法一：设，设，则．由，得，所以．在中，由余弦定理得，，即将代入得．由得或2．当时，，与不符，故，所以．在中，由余弦定理得．方法二：以B为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知，，，由得，则点D到BC的距离为，设，．因为，所以，解得，即，所以．题型02三角形周长（边）最值问题【典例1】（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）.(1)求；(2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，由正弦定理可得：,所以因为在内，有,所以，所以,所以,或，即，或，由，故.（2）因为是角的内角平分线，且，所以,即，整理得：，所以，所以，当且仅当时，上式取到最小值，在中由余弦定理可得：，所以周长：，当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为.【典例2】（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且.(1)求角的值；(2)已知点为的中点，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为、，则，由正弦定理可得，所以，，故.（2）解：因为为的中点，则，所以，，所以，，由余弦定理可得，所以，，，由基本不等式可得，即，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.【典例3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记的角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)3【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）由正弦定理：，，则，又因为代入得：，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3．【典例4】（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，且.(1)求角：(2)已知D为边上一点，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，于是，由及正弦定理，得，因为，，，，所以，由，得.（2）方法一：因为，则所以，则，化简得：∵，，∴则，故，当且仅当时，等号成立.故的最小值是.方法二：因为，如图，可设，，，在中，由余弦定理①，在中，由余弦定理，即：②，得：，化简得，，在中，由余弦定理，即，则代入得，，整理得，∵，，∴即，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值是.【变式1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知内角、、的对边为、、（其中），若.(1)求角的大小；(2)若点是边上的一点，，，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，，即有，∵，∴，则，而，∴.（2）由余弦定理有；，而，，∴，，又，所以.又由（1）∴，，设，，则由正弦定理有，，且，所以，故，当时取到.【变式2】（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的周长的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，所以，又，所以.（2）由（1）得，所以，则由正弦定理可得，即，，所以的周长，又在中，，则，又在中，，所以，所以当时，周长取最大值为.【变式3】（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．(1)求；(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，则，所以，化简可得，又在中，，所以，则，即，又，，所以，，所以；（2）由（1）得，设，则，在中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以当，即时，取得最大值为，所以的最大值为.【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，而且.(1)求；(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：将整理得：，由余弦定理得，因为，所以.（2）解：由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，即周长的最大值为.题型03三角形周长（边）范围问题【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.(1)求的取值范围；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为锐角三角形，所以，，.又因为，所以，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，即，所以的取值范围为.（2）因为，由（1）知，，由正弦定理，得，故的周长，令，由（1）知，则，因为函数在上单调递增，所以周长的取值范围为.【典例2】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，．(1)求角；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理可得，即，因为，，故，，又，故.（2）

因为，故，在中，，得，在中，，得，故，而，，所以，由题意知，，故，即的取值范围为.【典例3】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值．(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的外接圆半径为．由正弦定理，得，，．因为，则，整理得，由余弦定理得，即，又因为，则，可得，所以．（2）由正弦定理可得，则因为是锐角三角形，则，解得，则，可得，所以的取值范围是．【典例4】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由余弦定理可得，.又，所以有，整理可得.由正弦定理边化角可得，.又，所以，，整理可得，.因为为锐角三角形，所以，，，所以，，.（2）由（1）知，，则.因为为锐角三角形，所以，，解得.根据正弦定理可得，，.因为，所以，，，所以，.因为，所以，，，所以，，所以，.所以，的周长的取值范围为.【变式1】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，若．(1)求的值；(2)若的面积为，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，解得：（舍）或，.（2），，，又，，，则，，，，，，，又，周长的取值范围为.【变式2】（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）已知的三内角所对的边分别是，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，求三角形周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，且，，由正弦定理得，，即，，；（2）由余弦定理，得，当且仅当时取等号．，故，又，∴的取值范围是，所以周长的取值范围是.【变式3】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，结合正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以.（2）在锐角中，，，，即，所以..令，，，因为在上单调递增，所以，，所以.【变式4】（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的内心，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.（2）因为，所以，如图，连接，因为为的内心，所以：，所以：，设，则.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因为，所以不妨取，又，所以，其中，当时，取得最大值.因为，所以，又，所以，综上，的取值范围是.题型04三角形面积定值问题【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．(1)求；(2)若为的中点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，化简得．因为，，所以．因为，所以．（2）因为为的中点，所以，等式两边平方得，即①．在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以．【典例2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求：的值．(2)求：的值．(3)若，求：的面积．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），由正弦定理得：将这入上式得，由余弦定理可得.（2），由，则，又，即，，又，又.（3），由知：，由（2）可知，又，的面积为.【典例3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)求角C；(2)若的平分线交AB于点D，且，求的面积．【答案】(1)(2)

【详解】（1）由题意及正弦定理得．又因为，所以，则，所以.又因为所以，所以，则．又，所以．（2）因为CD平分，.所以，则.设点到边的距离为.则.又因为，所以，且，.则在中，在中，由以上两个式子得：或.当，时，，不符合题意．当时，满足三角形三边关系，符合题意，此时.所以.【变式1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)已知，当取得最大值时，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由正弦定理以及，可得，则，则，所以，即，所以，即.（2）解：由余弦定理可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，则的最大值为，此时，所以的面积为.【变式2】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足，．(1)求外接圆的周长；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理可得，且，则．又因为，由正弦定理得外接圆的半径，所以外接圆的周长为．（2）在中，，，，由正弦定理得，可得，又因为，可知，可得，则，所以的面积为．【变式3】（2023上·湖南·高二校联考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，，．已知，，成等差数列．(1)若，求；(2)若，当取得最小值时，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即，即，于是有所以或，解得或（舍去）．因为，，成等差数列，所以．由，得，所以，即，所以．（2）由，得，则，当且仅当时，等号成立，此时，所以的面积．题型05三角形面积最值问题【典例1】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角C；(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又由余弦定理可得，，，又，（2）设边上的中线为，由向量关系可得，，，又，，，，(当且仅当时取等号)所以面积的最大值为【典例2】（2023上·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，.(1)求的值；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意：则，则，则，又由余弦定理得得，所以（2）由余弦定理得，又，所以当即时取得最大值，即，此时，又，满足构成三角形的条件，故的最大值为.【典例3】（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形中，.(1)若，求的大小；(2)若，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由已知，得，所以，所以.在中，因为，所以，又，由正弦定理得，得，因为，所以，所以，所以.（2）在中，由已知，所以，由余弦定理，在中，因为，又，所以所以，所以四边形的面积，因为，所以，当，即时，，故四边形面积的最大值为.【变式1】（2023上·江苏扬州·高三统考阶段练习）内角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)是边上一点，且，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由，根据正弦定理可得因为B为三角形内角可知，，且，所以，即因为A为三角形的内角，，故；所以，即.（2）是边上一点，且，所以；如下图所示：中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得，因为；所以可得整理可得，中，由余弦定理可得；联立两式可得，当且仅当时取等号，此时所以所以面积的最大值为.【变式2】（2023上·江苏连云港·高三校联考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，即，又，则，所以，又因，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为．【变式3】（2021上·四川资阳·高三阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)求角A的大小；(2)若的周长为6，求面积S的最大值．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由余弦定理，得，即则，所以又，所以．（2）由题意，，根据余弦定理，得，则，所以，当且仅当时取等号所以面积，故面积S的最大值为．题型06三角形面积范围问题【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即，再由余弦定理得，又，所以；（2）由是角的平分线，则，所以，又，所以，即，所以，解得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的取值范围是.【典例2】（2023上·湖南常德·高二汉寿县第一中学校考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由已知条件得，由正弦定理得，即．因为在中，，所以．又是锐角，所以．（2）由正弦定理得，则，所以．由，得，所以，所以，所以．所以面积的取值范围为．【典例3】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求锐角的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得．又在中，，所以，则，又，则，所以，又，所以.（2）因为，则，所以，，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，故，则.【典例4】（2023上·河北秦皇岛·高二校考开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∵B为锐角，∴，∵，由正余弦定理可得：，整理可得，解得．（2）∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴【变式1】（2023上·河北邢台·高三校联考期中）在锐角三角形中，内角的对边分别