专题30等比数列通项与前n项和-2024年数学高频考点重点题型（原卷版）

专题30等比数列通项与前n项和公式一、核心体系等比数列定义：二、关键能力1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会:1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；2．等比数列的性质及应用.3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．四、自主梳理 1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数)，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列及前n项和的性质(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．【必会结论】等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}是递增数列；满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}是递减数列．五、高频考点+重点题型考点一、等比数列的基本量运算例11.【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2−A．14 B．12 C．6 D．3例12.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2 B．3C．4 D．5例13、若{an}为等比数列，a5＋a8＝－3，a4a9＝－18，则a2＋a11＝______________.训练题组一1.(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－12.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}．若，，则q＝______________．训练题组二在数列中，，且，则___________.2.【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.训练题组三设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于()A.230B.210C.220D.215考点二、等比数列的性质应用例21.（2020·全国高三二模（理））已知数列是等比数列，若，则（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值例22.在等比数列{an}中，公比为q，已知a1＝1，则是数列{an}单调递减的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件例23.（2023·全国Ⅱ高考T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．例24.(2021·沈阳二模)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)，则an＝___________________.训练题组一（项的性质）1.已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.2.(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30 D．32题组二（单调性）1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.记数列{an}的前n项积为Tn，写出一个同时满足①②的数列{an}的通项公式：an＝_____．①{an}是递增的等比数列；②T3＝T6.训练题组三（前n项和的性质）1.（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．102.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26 D．16训练题组四（1.已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点三、等比数列通项及前n项和的综合应用例31.（多选）在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是()A.q＝3B.数列{Sn＋2}是等比数列C.S5＝121D.2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)例32.已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（

）A．是递增数列B．是递减数列C．是递增数列D．是递减数列训练题组1、设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2022a2023>1，eq\f(a2022－1,a2023－1)<0，下列结论正确的是()A.S2022<S2023B.a2022·a2024－1<0C.T2023是数列{Tn}中的最大值D.数列{Tn}无最大值2．（2023·天津·统考高考T19）已知是等差数列，．(1)求的通项公式和．(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．考点四、等比数列证明与判定例41.(2021新高考八省联考卷)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求数列{an}的通项公式．例42.在数列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.例43.（2020·江苏卷）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．训练题组1.（2018·全国卷）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．2.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.3.【2019年新课标2卷理科】已知数列和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.考点五、数学文化小型应用题例5．（2023·北京·统考高考T14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．训练题组1.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里2.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.3．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏巩固训练一、单项选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（2020·全国高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–14．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是()A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列5．如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46 B．47 C．48 D．496.(2023·镇江期中)已知等比数列{an}中，an>0，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且S2＝48，S4＝60，则使得Tn<1成立的正整数n的最小值为()A.9 B.10C.11 D.127．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是()A.eq\r(2) B．－16eq\r(2)C．2 D．16eq\r(2)8．我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))12＝1(i＝1,2，…，12)．若某一半音与D#的频率之比为eq\r(3,2)，则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A．F# B．GC．G# D．A二、多项选择题9．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．10．在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，eq\f(a99－1,a100－1)＜0，下列选项中，结论正确的是()A．0＜q＜1B．a99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于19811.设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5<K6，K6＝K7>K8，则下列选项中成立的是()A.0<q<1B.a7＝1C.K9>K5D.K6与K7均为Kn的最大值12.(2022·龙岩三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是()A.若a1＝1，q＝2，则S6＝63B.若q>1，则数列{an}是递增数列C.若a1>0，q>0，bn＝lgan，则数列{bn}是公差为lgq的等差数列D.若a1>0，q>0，且(a1＋a10)2＝a5a6＋12，则a1＋a10的最小值为4三、填空题13．已知数列满足，则________，________．14.如图所示，正方形上连结着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连结正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为eq\f(\r(2),2)，则其最小正方形的边长为________．15.已知等比数列{an}满足a