教案-函数值域的求题方法

例析求函数值域的方法01.方法总结函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的根底，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。△一直接法：〔利用常见函数的值域来求〕一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1-1．求以下函数的值域①y=3x+2(-1x1)③〔记住图像〕解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]③当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).〔此法也称为配方法〕函数的图像为例1-2求以下函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴假设定义域为R时，①当a>0时，那么当时，其最小值；②当a<0时，那么当时，其最大值.⑵假设定义域为x[a,b],那么应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①假设[a,b],那么是函数的最小值〔a>0〕时或最大值〔a<0〕时，再比拟的大小决定函数的最大〔小〕值.②假设[a,b],那么[a,b]是在的单调区间内，只需比拟的大小即可决定函数的最大〔小〕值.注：①假设给定区间不是闭区间，那么可能得不到最大〔小〕值；②当顶点横坐标是字母时，那么应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.△二、配方法〔是求二次函数值域的根本方法，如的函数的值域问题，均可使用配方法〕例2．求函数〔〕的值域。解：，因为，所以，所以所以，即所以函数〔〕的值域为。△三、别离常数法〔分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法〕例3-1．求函数的值域。解：因为，所以，所以，所以函数的值域为。例3-2求函数的值域解法一：〔逆求法〕解法二：〔别离常数法〕由，可得值域小结：分式函数，如果在其自然定义域〔代数式自身对变量的要求〕内，值域为；如果是条件定义域〔对自变量有附加条件〕，采用局部分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。△四、换元法〔运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如〔、、、均为常数，且〕的函数常用此法求解。例4-1．求函数的值域。解：令〔〕，那么，所以因为当，即时，，无最小值。所以函数的值域为。 例4-2求函数的值域解：〔换元法〕设，那么原函数可化为点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。△五、函数的单调性法〔确定函数在定义域〔或某个定义域的子集〕上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域〔时为减函数；时为增函数〕〕例5-1．求函数的值域。解：因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。所以，所以函数的值域为。例5-2求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。解：〔单调性法〕设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。△六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，因为，所以〔，〕，所以，所以，所以函数的值域为△七、数型结合法〔函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法〕yxo2yxo21-1解：，，图像如右图所示，故原函数的值域为△八，判别式法10例8-1求函数的值域105解法一：〔判别式法〕化为51〕时，不成立2〕时，得综合1〕、2〕值域解法二：〔复合函数法〕令，那么所以，值域例8-2函数的值域〔判别式法〕原式可化为例8-3求函数的值域〔判别式法〕原式可化为除此之外，还有反函数法〔即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域〕。02.例题详解例1求函数的值域解：〔平方法〕函数定义域为：例2求函数的值域解：〔三角换元法〕设小结：〔1〕假设题目中含有，那么可设〔2〕假设题目中含有那么可设，其中〔3〕假设题目中含有，那么可设，其中〔4〕假设题