人教版九年级数学下册同步练习 第二十七章 相似（章末测试）（原卷版+解析）

第二十七章相似一、单选题：1．若，且，，，则EF的长度为（

）．A． B． C． D．2．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝3．如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中相似三角形的对数是（

）．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．125．为了加强视力保护意识，小明在书房里挂了一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是，那么小视力表中相应“”的高度是（

）A． B． C． D．6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：247．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）8．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（

）

A．18

B．

C．

D．9．如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BD交于点E，则等于()A． B． C．1－ D．10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有()①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②二、填空题：11．已知，且面积比为9∶4，则与的对应角平分线之比为____．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为________．13．如图，平分，，，当______时，.14．如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是________．15．如图，与中，，，，，的长为______．16．如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么________．17．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=______．18．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，那么DB∶CD＝__________.19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为_____．20．如图，在中，，，点是的中点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下五个结论：①；②；③点是的中点；④；⑤．其中正确结论的序号是________．三、解答题：21．根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；(3)四边形AA2C2C的面积是平方单位．23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：．24．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点处，可以开始看到“明珠”的顶端；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）25．如图，已知为的直径，是的切线，连接交于点取的中点，连接交于点，过点作于点．（1）求证：；（2）若，，求和的长．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？27．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，（1）求AE的长；（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．第二十七章相似一、单选题：1．若，且，，，则EF的长度为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得再代入数据建立方程，解方程后可得答案.【详解】解：，，，解得：经检验：符合题意，故选：C【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键.2．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝【答案】C【分析】△ADE≌△ABC根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵，∴，A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中相似三角形的对数是（

）．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】B【分析】根据旋转的性质得到，，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，，，所以，于是可判断．【详解】解：如图，∵把绕点A旋转得到，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度．【详解】解：∵DEBC，∴，∠AED＝∠C．又∵∠ADE＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC，∴，∵CF＝6，∴，∴DE＝10．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．5．为了加强视力保护意识，小明在书房里挂了一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是，那么小视力表中相应“”的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【详解】如图，由题意，得，，．，，，，．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24【答案】C【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：4，得到BE：CE＝1：4，于是得到BE：BC＝1：5，根据DE∥AC，推出△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：CE＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝．∴S△BDE：S△ADC=1：（25-1-4）=1：20．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）【答案】D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．8．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（

）

A．18

B．

C．

D．【答案】B【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，

∴MC=12﹣5=7.∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12﹣=.∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=.故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.9．如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BD交于点E，则等于()A． B． C．1－ D．【答案】D【分析】根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD=+1，再证△ADE∽△BDA，得ED=-1，BE=2．即可得出结果．【详解】连接AD、CD，作AF∥CD，交BE于F，∵点D是的中点，∴可设AD=CD=1，根据平行线的性质得∠AFD=∠CDF=45°．∴△ADF是等腰直角三角形，则AF=，BF=AF=．∴BD=+1．∵∠DAC=∠ABD，∠ADB=∠ADB，∴△ADE∽△BDA，,,故答案是：.【点睛】考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有()①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②【答案】B【详解】(1)由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG(故①正确)；(2)由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，∵FG∥CD，∴∠FGE=∠DEG，∴∠DGE=∠FEG，∴DG∥FE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DE=FE，∴四边形DEFG是菱形(故②正确)；(3)如图所示，连接DF交AE于O，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴，即DE2=EO•AE，∵EO=GE，DE=DG，∴DG2=AE•EG，故③正确；(4)由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，∵AB=4，∠B=90°，∴BF=，∴FC=BC-BF=2，设CE=x，则FE=DE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得：，解得：．故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．二、填空题：11．已知，且面积比为9∶4，则与的对应角平分线之比为____．【答案】3:2【分析】根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比.【详解】∵，且面积比为9∶4，∴与的相似比为3∶2，∴与的对应角平分线之比为3：2.故答案为：3：2.【点睛】本题主要考查了相似三角形相似比的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为________．【答案】（3，2）【分析】先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，∴，而BE=EF=6，∴，∴BC=2，OB=3，∴C（3，2）．故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．13．如图，平分，，，当______时，.【答案】【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵△ABD∽△DBC，∴，∵AB＝4，BC＝6，∴，解得BD＝故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，熟记判定方法是解题的关键．14．如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是________．【答案】【分析】根据面积比等于相似比的平方，先求出AE的长度，然后再求AD即可．【详解】解：由平移可知，AC∥DF，∴△AEM∽△DEF，∵面积的比等于相似比的平方；∴，∵，∴；解得（负值舍去），∴移动的距离AD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是发现相似三角形，明确面积比等于相似比的平方．15．如图，与中，，，，，的长为______．【答案】【分析】首先根据两角对应相等证得，得出，即可得出结论【详解】∵，，∴，∴，∵，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了相似的三角形的性质和判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．16．如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么________．【答案】【分析】首先由四边形ABCD是平行四边形，可知BC＝AD，又由于BE∥AD，可证△BEF∽△DAF，则＝，从而得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，∴＝．又∵BE∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴＝．∴，∴，∴；故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质和平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行线判定三角形相似，列出比例式，求出线段的关系．17．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=______．【答案】4或6【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．【详解】如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故，则，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴，即，解得：MN＝6，故答案为：4或6．【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．18．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，那么DB∶CD＝__________.【答案】1：3【分析】过E点作EF∥BC，根据平行线间的对应线段成比例知EF∶BD＝3∶5，EF∶CD=3∶15，即可求出DB∶CD的值.【详解】过E点作EF∥BC，交AD于F.∵AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，∴EF∶BD＝3∶(3＋2)＝3∶5，EF∶CD＝(6－5)∶5＝1∶5＝3∶15，∴DB∶CD＝5∶15＝1∶3.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线.19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为_____．【答案】5×（）2017【分析】根据勾股定理求出AB，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形的性质求出A1B，计算求出A1C，根据正方形的面积公式求出正方形A1B1C1C的面积，总结规律，根据规律计算即可．【详解】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA=1，OD=2，∵∠AOD=90°，∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=5，∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，∴∠ODA=∠BAA1，∴Rt△ABA1∽Rt△DOA，∴，即，解得，A1B=，∴A1C=，则正方形A1B1C1C的面积=（）2=5×，同理，正方形A2B2C2C1的面积=5×（）2，…则第2018个正方形的面积为5×（）2017，故答案为：5×（）2017．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积，得出求解的规律．20．如图，在中，，，点是的中点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下五个结论：①；②；③点是的中点；④；⑤．其中正确结论的序号是________．【答案】①②④【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，可得由，进而判断结论②，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断⑤．【详解】依题意得，，，，，，又，，故①正确；如图，标记如下角，，，，，在与中，（ASA），，又点是的中点，，，，，，，，在与中，（SAS），，，，，即，故②正确；，，是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确；是等腰直角三角形，，，，，，，，故④正确；，，点是的中点，，，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明和是解题的关键．三、解答题：21．根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．【答案】（1）相似，，；（2）相似，，【分析】（1）由题得，，根据两角对应相等的两个三角形相似可得，，由相似三角形的性质得，，解出，即可；（2）由，从而得出，，由，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，，由相似三角形的性质可解出，．【详解】在图（1）中，，，，，解得：，；在图（2）中，，，，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定．22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；(3)四边形AA2C2C的面积是平方单位．【答案】(1)（2，﹣2）(2)见解析(3)7.5【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可；（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，∴，根据画出点，∴，根据画出点，点与点重合，连接、、，即可得到△A2B2C2；（3）四边形AA2C2C的面积是＝故答案为：7.5【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：．【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质得到，，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE∴，，∴，即．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点处，可以开始看到“明珠”的顶端；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）【答案】大厦主体建筑的高度为.【分析】根据题意可得出与，然后利用相似三角形性质得出AF与AG，利用进一步列出方程求解即可.【详解】由题图，知，易证，∴，即，∴.同理易证，∴，即，∴.∵，∴，解得或（不合题意，舍去）.∴大厦主体建筑的高度为.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.25．如图，已知为的直径，是的切线，连接交于点取的中点，连接交于点，过点作于点．（1）求证：；（2）若，，求和的长．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）利用切线的性质得AB⊥AC，则可判断EH∥AC，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）连接AF，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则可判定△CAF∽△CBA，利用相似比可计算出CA=12，再利用D点为弧BF的中点得到∠BAD=∠FAD，根据角平分线的性质定理得到EF=EH，设EH=x，则EF=x，BE=10-x，由于△HBE∽△ABC，则利用相似比求出x即可．【详解】（1）为的直径，是的切线，，又，，．（2）连接，为的直径，，，又，，，，．为的中点，，又，，．设，则，，由（1）知，，，，即．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算线段的长是几何计算常用的方法．也考查了圆周角定理和切线的性质．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，B