2024版高考数学全程学习复习导学案第三章函数及其应用第三节二次函数与幂函数课件

第三节二次函数与幂函数

知识梳理·思维激活【必备知识

精归纳】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数_________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

y=xα

(3)幂函数的性质①当α>0时,幂函数的图象都过点_________和_________,且在(0,+∞)上单调递增;

②当α<0时,幂函数的图象都过点_________,且在(0,+∞)上单调递减;

③当α为奇数时,y=xα为____________;当α为偶数时,y=xα为____________.

2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:y=__________________.

顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为__________.

零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为y的__________.

(1,1)

(0,0)

(1,1)

奇函数

偶函数

ax2+bx+c(a≠0)

(m,n)

零点

(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性点睛对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.减增增减【常用结论】巧识幂函数的图象和性质

教材改编结论应用易错易混1,2,435,6B

C

D4.(教材提升)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为

.

答案:f(x)=x2-4x【解析】因为y=f(x)在x=2处取得最小值-4,所以可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.

6.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是

.

核心题型·分类突破D【解析】幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1.当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减.不妨令x=2,由题图得2-1<2n,则-1<n<0.综上可知,-1<n<0<m<1.

A(3)(2022·长沙模拟)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=

.

答案:2【解析】由幂函数定义,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,因此m=2.【方法提炼】(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

A

B

题型二

二次函数的解析式[典例2](1)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,函数的解析式f(x)=

.

答案:-4x2+4x+7

(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为

.

答案:f(x)=x2-4x+3【解析】因为f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1,所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.【方法提炼】确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

【加练备选】1.已知f(x)为二次函数,且f(x)=x2+f'(x)-1,则f(x)等于()A.x2-2x+1

B.x2+2x+1C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1B2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)满足条件f(-x)=f(x),定义域为R,值域为(-∞,4],则函数的解析式f(x)=

.

答案:-2x2+4【解析】f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2.因为f(-x)=f(x),所以2a+ab=0,所以f(x)=bx2+2a2.因为f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],所以b<0,且2a2=4,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+4.题型三

二次函数的图象与性质角度1

二次函数的图象的识别[典例3]设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是

()【解析】因为abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;C中,a>0,c<0,b>0,不符合题意.D角度2

二次函数的单调性[典例4](1)已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),f(5)的大小关系为()A.f(5)>f(-2)>f(4) B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5) D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).B

D角度3

二次函数的最值[典例5]已知函数f(x)=x2-tx-1.(1)若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围;(2)若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t).【一题多变】本例条件不变,求当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值G(t).【方法提炼】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.角度4

与二次函数有关的恒成立问题[典例6]金榜原创·易错对对碰已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是

;

答案:[86,+∞)【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,有86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是

;

答案:[-10,+∞)(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是

.答案:[118,+∞)

(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞).【方法提炼】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【对点训练】1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A.b=-2a

B.a+b+c<0C.a-b+c>0 D.abc<0AD2.已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f