《18.2 菱形的性质、菱形的判定》课件（含习题）

18.2.2菱形第十八章平行四边形第1课时菱形的性质情境引入学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）导入新课图片引入下面的图形中有你熟悉的吗？讲授新课菱形的性质一思考：在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？

平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形邻边相等菱形就在我们身边三菱汽车标志欣赏感受生活

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题:菱形与平行四边形有什么关系？归纳平行四边形菱形集合平行四边形集合菱形活动探究1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？问题2:菱形中有哪些相等的线段？2.发现菱形的性质：菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线BD).菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA).ABCOD已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.

求证:(1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD；（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

3.证明菱形性质:证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD

=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD;

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD（2）∵AB=AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形,

∴OB=OD.

（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中,

∵OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可证∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD4.归纳结论

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.

角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质典例精析例1如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：EB=OA.ABCDOE分析：要证EB＝OA，只需证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB，

∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB，

又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA，∴AO＝BE.ABCDOE菱形的面积公式二例2如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2

）BAOC60°BAOCD解：∵花坛ABCD是菱形，ABDCah(1)S=a·h.(2)S=S△ABD+S△BCD=AO·DB+CO·DB

=AC·DB.O菱形的面积计算公式：总结归纳菱形的面积=

底×高=

对角线乘积的一半1.填一填：根据右图填空（1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.（2）菱形ABCD中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.（3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______.3cm30°ABCOD当堂练习5cm(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的比为1∶2,那么菱形的边长为_______.8厘米(1)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等(2)在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（）A.75°B.60°C.45°D.30°BC2.选择3.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE课堂小结菱形的性质菱形的性质有关计算1.四边相等2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半第十八章平行四边形18.2.2菱形第2课时菱形的判定情境引入学习目标1.理解并掌握菱形的两个判定定理.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）导入新课复习引入问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1.轴对称图形. 2.四边相等. 3.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.ABCD思考：通过菱形的定义我们可以确定四边形是否为菱形，那么还有其他的判定方法吗？讲授新课菱形的判定定理1一合作探究

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.平行四边形，为什么？ABCOD已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O

，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是线段AC的垂直平分线.

∴BA=BC.

∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理例1如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．ABCDEFO12典例精析证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.

又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形.例2如图，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.解:∵四边形ABCD为平行四边形，∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.∴平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）∴又∵AD=5，满足∴AB=AD=5.平行四边形的判定定理2二小刚：分别以A、C为圆心,以大于

AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B

,

D,依次连接A、B、C、D四点.

已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？CABD想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB=BC=CD=AD合作探究证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD,

BC=AD.

∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.四条边相等的四边形是菱形.定理下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C练一练2例3已知：如图,在△ABC中,

AD是角平分线,点E、F分别在AB、

AD上,且AE=AC,EF

=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF证明：∵∠1=∠2,

又∵AE=AC,

∴△ACD≌

△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB四边形ABCD是菱形，为什么？DCBA分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.EF由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.请补充完整的证明过程当堂练习1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√

╳

╳

╳

2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是

.

312cm23.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BCB．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°B解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．ABCDOE4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形