《14.1.3 积的乘方》课件（3套）

14．1整式的乘法14.1.3积的乘方教学目标1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．重点和难点教学设计一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103

cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3

cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a(

)b(

)；(2)(ab)3＝________＝________＝a(

)b(

)；(3)(ab)n＝________＝________＝a(

)b(

)．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝anbn.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝an·bn.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝an·bn.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝an·bn·cn.(n为正整数)4．积的乘方法则可以进行逆运算．即an·bn＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于an·bn＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：an·bn＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝an·bn.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝an·bn·cn；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即an·bn＝(ab)n，an·bn·cn＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。实际问题情境的设置，在于让学生感受到研究新问题的必要性，带着问题思考本节课，更容易理解重点、突破难点．教学反思知识点1：积的乘方1．计算(－xy3)2的结果是(

)A．x2y6

B．－x2y6C．x2y9

D．－x2y92．下列计算正确的是(

)A．m2·m4＝m8

B．(3m2)2＝3m4C．(－m3)2＝m6

D．(mn)3＝m3nAC4．(练习变式)计算：(1)(2xy)2＝_______；(2)(－3a)3＝________；(3)(－2×102)5＝____________．B4x2y2－27a3－3.2×10116．若(anbm)3＝a9b15，则(

)A．m＝3，n＝6B．m＝5，n＝3C．m＝12，n＝3D．m＝9，n＝37．若x2n＝2，y3n＝3，则(xy)6n＝__

__．DB728．计算(－x3)2＋(－x2)3的结果是(

)A．0B．－2x6

C．2x6

D．－2x59．一个正方体的棱长为4×103毫米，用科学记数法表示它的体积是_________立方毫米．10．若3x＋2·5x＋2＝153x－4，则x＝__

__．A6.4×1010312．已知n是正整数，且x3n＝2，求(3x3n)3＋(－2x2n)3的值．解：原式＝(3x3n)3－8(x3n)2＝(3×2)3－8×22＝184方法技能：1．在进行积的乘方运算时，应把底数的每个因式分别乘方，当底数中含有“－”时，应将其视为“－1”，作为一个因式进行乘方，防止遗漏．2．推广：(abc)n＝anbncn(n为正整数)．3．逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数)．易错提示：对积的乘方法则理解不透而出错．14.1.3积的乘方运算种类公式法则中运算计算结果底数指数同底数幂乘法幂的乘方乘法乘方不变不变指数相加指数相乘同理：（乘方的意义）（乘法交换律、结合律）（同底数幂相乘的法则）(1)(2)观察、猜想积的乘方(ab)n=?思考：猜想:(ab)n

=

(当m、n都是正整数)即:（乘方的意义）（乘法结合律）（乘方的意义）an·bn(ab)n

=

ab·ab·……·ab=(a·a·……·a)(b·b·……·b)=an·bnn个abn个an个b

(ab)n

=(n都是正整数)an·bn

语言叙述：积的乘方,等于把积的每一因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(1)(2a)3(2)(-5b)3(3)(xy2)2(4)(-2x3)4例题计算(2a)3=23·a3=8a3(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12公式的拓展(abc)n=an·bn·cn(abc)n=[(ab)·c]n=(ab)n·cn=an·bn·cn.(-2xy)4=(-2)4x4y4=16x4y4

×√××(1)(3cd)3=9c3d3;(2)(-3a3)2=-9a6;

(4)(-2x3y)3=-8x6y3;

(3)(a3+b2)3=a9+b6

(5)(-ab2)2=ab4;×下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？公式的反向使用(ab)n=

an·bn

（m,n都是正整数）反向使用:an·bn=

(ab)n

试用简便方法计算:(1)23×53(2)28×58=(2×5)3=103=(2×5)8=108(3)(-5)15×(-2)15(4)24×44×(-0.125)4=(-5)×[(-5)×(-2)]15=-5×1015=[2×4×(-0.125)]4=14=1.(-2×103)3Ｄ（-3xy2)2=

(2ab3c2)4=ＤCBA下列选项中正确的是=(-2)3×(103)3=-8×106-27x6y9=()313知识拓展（1）a3.a4.a+(a2)4+(-2a4)2（2）2(x3)2.x3－(3x3)3＋(5x)2.x7

注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减。拓展训练（5）若n是正整数，且，求的值。检测三：计算:（1）(-3x)3

（2）(-5ab)2（3）(xy2)2

（4）(-2xy3z2)4注意:

（1）负数乘方的符号法则。（2）积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏乘方错误。（3）在计算(-2xy3z2)4=(-2)4x4(y3)4(z2)4

=16x4y12z8的过程中，应把y3,z2

看作一个数，再利用积的乘方性质进行计算。(4)-(-ab2)2=a2b4()(1)（ab2)3=ab6()

×××(2)(3xy)3=9x3y3(

)

×(3)(-2a2)2=-4a4()堂清:一，判断

2、计算:

(1)(ab)8(2)(2m)3

(3)(-xy)5(4)(5ab2)3(5)(2×102)2

(6)(-3×103)3一起探讨（选做题）：(0.04)2004×[(-5)2004]2一起探讨：(0.04)2004×[(-5)2004]2=?=(0.22)2004×54008=(0.2)4008×54008=(0.2×5)4008=14008解法一：(0.04)2004×[(-5)2004]2=1=(0.04)2004×[(-5)2]2004=(0.04×25)2004=12004=1=(0.04)2004×(25)2004

说明：逆用积的乘方法则anbn=(ab)n可以解一些复杂的计算。解法二：(0.04)2004×[(-5)2004]2思维延伸已知,xm=,xn=3.求下列各式的值:(1)x

m+n;(2)x2m•x2n;(3)x

3m+2n.解:(1)xm+n=xm•xn=×3=;(2)x2m•x2n=(x

m)2•(x

n)2=()2×32=×9=;(3)x

3m+2n=x3m•x2n=(x

m)3•(x

n)2=()3×32

=×9=课堂小结：（1）本节课学习了积的乘方的运算性质

积的乘方等于把积的每一个因式乘方后，再把所得的幂相乘。（2）学习了一种常见的数学方法：

把某个式子看作一个数或字母。

（3）今后学习中要注意灵活运用积的乘方的运算性质，注意符号的确定和逆向运用。人教版·数学·八年级(上)14.1整式的乘法14.1.3积的乘方一、问题引入1、若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？它的体积应是V=(1.1×103)3cm32、这个结果是幂的乘方形式吗？不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，应是积的乘方．积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则呢？二、探求新知1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）(ab)2=(ab)•(ab)=(a•a)•(b•b)=a()b()

（2）(ab)3=_____________=_______________=a()b()

探究一22(ab)•(ab)•(ab)(a•a•a)•(b•b•b)33二、探求新知1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（3）(ab)n=________________=_________________________________=a()b()（n是正整数）探究一nnn个ab(ab)·(ab)…(ab)(a•a•••••a)•(b•b•••••b)n个an个a二、探求新知总结规律1、请你总结一下积的乘方法则是什么？积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.2、用字母表示积的乘方法则:(ab)n=an•bn（n是正整数）二、探求新知探究二解决前面提到的问题：正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？正方体的体积V=(1.1