东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试卷(含答案)

东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合A={x∈Z∣χ2-x-2≤θ},集合B=卜Iy=Jl-log?x卜则AB=()

A.[-l,2]B.(l,2]C.{l,2}D.{-1,1,2)

2、已知i为虚数单位，复数Z满足∣z-(3+2i)∣=l,则复数Z对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、已知向量非零。、b满足(a+2/0_L(a-2与，且向量b在向量。方向的投影向量是

-a,则向量α与方的夹角是()

4

AJB二C二D.空

6323

4、杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家.著有《详解九章算法》、《日用

算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数

学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些

性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

右

第

用

积0

第

1行

第

2行2

第3

行33

第

行

三

三44

行

六5

6

行

十

π第5

:20

面

δ六

φ①)

命

右

⅛募

以

实

m袤第行

乃”-i1CLci,C

而

;乃

积

方第"行1CIc3∙.

除

隅

皆

数

之

算

廉

图

1图2

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.

1+1+1++1=〃；

1+2+3++CL1=Ct

若杨辉三角中第三斜行的数：1,3,6,10,15,…构成数列{α,,},则关于数列{0,,}叙

述正确的是()

aa

ʌ-n+n+↑=(〃+1)2B.an+an+]=rr

C.数列｛%｝的前n项和为C：D∙数列｛4｝的前n项和为C∖∣

5、若sin(2a+^J+cos2a=百，则tanα=()

A.—B.lC.2-√3D.2+√3

3

6、“阿基米德多面体”也称为半正多面体(Semi-regularsolid),是由边数不全相同的正

多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点

的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六

个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=述，则该半正多面体外接球的表面积为

2

()

A.18πB.16πC.14πD.12π

7、某学校在校门口建造一个花圃的，花圃分为9个区域(如图)，现要在每个区域栽种

一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区

域，则它们在不相邻(没有公共边)区域的概率为()

8、已知函数/(x)=A"+DlnX'*>°，若关于X的方程/(-x)=-∕(x)有且仅有四个

kx-ln(-ɪ)+0

相异实根，则实数々的取值范围为()

ʌ^θ,ɪjB.(1,-HX))

c∙(0,7⅛)(l,+∞)D.(O,l)J(l,+∞)

二、多项选择题

9、函数/(x)=ASin(ox+。)(其中A,ω>。是常数，A>(),ω>O,-∙^<e<∙∣∙)

的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

AJ(X)的值域为[-√Σ,√Σ]

BJ(X)的最小正周期为π

π

C.φ=一

6

D.将函数/(x)的图象向左平移三个单位，得到函数g(x)=√∑cos2x的图象

6

10、抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线

对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物

线的焦点.已知抛物线Uy2=8χ,。为坐标原点，一条平行于X轴的光线4从点

M(5,2)射入，经过C上的点P反射，再经过。上另一点Q反射后，沿直线4射出，经

A.IPQ|=8

B.若延长Po交直线x=-2于。，则点。在直线4上

C.MQ平分NPQN

D.抛物线C在点P处的切线分别与直线4、b所成角相等

11、已知实数α,匕满足。2-。/?+/?=0(。>1),下列结论中正确的是()

A.b>aB.⅛≥4

C」+，>1D.e”+-!→2α>e"+-!r+2b

abeueh

12、已知异面直线。与直线4所成角为60。，平面a与平面β所成的二面角为

80°,直线α与平面a所成的角为15。，点尸为平面α,β外一定点，则下列结论

正确的是()

A.过点P且与直线a、8所成角均为30。的直线有3条

B.过点P且与平面a、，所成角都是30°的直线有4条

C.过点P作与平面a成55。角的直线，可以作无数条

D.过点P作与平面a成55。角，且与直线。成60。的直线，可以作3条

三、填空题

13、(2x-y)6的二项展开式中X2/的系数是.(用数字作答)

14、若/(x)=0里→1为奇函数，则实数a=.

e'-l

15、已知圆C:(X-I)2+(y-4)2=4,直线y="+1交圆C于V、N两点，若ACMN的

面积为2,则实数k的值为.

22

16、已知椭圆C:=+马=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳、F,,点、A、B在椭圆C

ab

上，满足AE∕E=O,AFl=λFiB,若椭圆C的离心率ee,则实数/1取

值范围为.

四、解答题

17、在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作为

条件，证明另外一个成立.

①/_¢2=be；②HbcosA=GasinB;③SinA=GSinC.

18、已知等差数列｛4｝的首项q=l,记｛4｝的前〃项和为S“，S4∙2β2a3+14=0.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)若数列｛α,,｝公差d>l,令CII=""+2求数列｛%｝的前〃项和7；.

an-an+∖'2

19、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为菱形，AC±PE,PA=PD,E为棱

AB的中点.

(1)证明：平面平面ABCr)；

(2)若A4=4),ZBAD=60°,求二面角E—~D—A的正弦值.

20、某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况,

随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：

天数［。，句(5,10](10,15](15,20](20,25](25,301

人数4153331116

(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻栋天数X近似服从正态分布N(〃Q2),其

中〃近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且by6.1,若全校有3000名

学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；

(2)调查数据表朋，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中有30名男

生，天数在［0,15］的学生中有20名男生.学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过

15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

合计

并依据小概率值e=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号

有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

附：参考数据：P(,μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827；

(〃-2σ<X<μ+2b)≈0.9545；

P{μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.

n{ad-bc)2.,

Z2----------------------5=Q+A+C+d).

(。+b)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

22

21、已知双曲线C：鼻-2=l(α>0,8>0)过点43,-0),且渐近线方程为

ab~

X±∖∣3y=O.

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图，过点8(1,0)的直线/交双曲线C于点M、N,直线MA、NA分别交直线X=I

于点P、Q,求也的值.

IBQl

2

22、已知函数/(》)=*2*+(4-2)1-r(划为函数/(x)的导函数.

(1)讨论了'(X)的单调性;

…、.2

⑵若XΛ为/(x)的极值点，证朋：X-x<ln(3-α)-lnα+——1.

ΛPΛ2(∙∣<⅛)2∖

参考答案

1、答案：C

解析：

2、答案：A

解析：

3、答案：B

解析：(α+2b)JL(α-2。)，即(4+2。)・(〃-2。)=0,a-4Z?2=O,可得|d二2忖，向量b

在向量〃方向的投影向量是Ja，即IAICoS〈〃,/?〉•』■=LQ，即，acos〈a,〃〉--a,

4∖a∖424

1-τr

cos<α,⅛>=-,(α,⅛>∈[0,π],所以向量。与沙的夹角是孑.

答案为B.

4、答案：A

解析：

5、答案：C

解析：

6、答案：A

解析：

7、答案：D

解析：

8、答案：D

解析：因为当x>0,/(x)=(x+l)InX,

求导,∕,(x)=1∙1∏x+(x+l)—=InX+'+1>0'

XX

所以/(x)在(0,+8)单调递增，

因为/(τ)=-Λχ),

令/(X)=±x,

因此得到ʃ(ɪ)=X和/(x)=-X在X>O上各有一个交点，

因此保证在y轴左侧有两个交点即可，

利用对称思想，转化为-"-友r+Z=±x的根的情况，

当一AX-Inx+攵=%,即(x+l)k=-x-∖nx,

⅛-kx-∖nx+k=-x,即(X+1)Z=X-InX,

得至IJ0<k<—ɪ-或Z>1,

e-1

所以女的取值范围为(o,2)(l,+∞),

故选：C.

9、答案：AB

解析：

10、答案：BD

解析：

11、答案：ABD

解析：

12、答案：BC

解析：依次分析各个选项：

A选项，因为异面直线α与直线A所成角为60°,所以过点P且与直线“、方所成角均

为30°的直线只有一条，故A错误；

B选项，因为平面a与平面β所成的二面角为80°,则过点P与平面a，β所成

角都是30°的直线各自对称，分别有2组，

所以共有2x2=4条，故B正确；

C选项，因为点P在平面。外，且过点P与平面。成55°的直线，则在以P为顶

点，底面在α上的圆锥的母线，所以可以作无数条，故C正确；

D选项，过点P作与平面α成55°角，且与直线e成60°的直线，形成的分别是

以P为顶点，底面在α上的圆锥的母线，且角度不同，因此两个圆锥没有交点，所

以不能作出直线，故D错误，

综上，选择：B,C.

P

b

13、答案：60

22

解析：在(2x+y)6的展开式中，fy4这一项为：c6(2χ)/=60X/,

故本题的答案为60.

14、答案：1

解析：

15、答案：-7或1

解析：

16、答案:[3,5]

解析：AK∙KE=O,即A耳玛,Ac,-,设B(x,y),根据AK=>16B,则

a

h2\

-2c,-----=λ(x+c,ʃ),

aJ

—c(2+λ)

-2c=2(x+c)X=------------

λ

h21

—二4yb2

ay=------

aλ

∕c(2+4)「垣,代入椭圆方程可得.(I+,2)2+g=1,整理可得

Iλaλaλa

W+4N3)TaT，吟,»*击，-4堂

,屋'卜⑵引，>1+白e[2,3-[2,4],Λ∈[3,5].

17、答案：见解析

解析：选①②作条件，③做结论,

由②，得：sinB+sinBcosA=ʌ/ɜsinAsinB=>sinIA--j=-,

I6J2

所以，A=-9贝U储=/+寸一力C,a?=02+bc,所以Q=√‰,即：sinA=ʌ/ɜsinC.

3

选①③作条件，②做结论

由③，得：ci=ʌ/ɜe,er=c2+be,则h=2c,

r-,2*I⅜I兀c兀—,TT

所以，λA=—9B=—,C=—9

326

所以，h+hcosA=2c+c=ʌ/ɜ百C=∖∣3asinB.

选②③作条件，①做结论,

由②，得：SinB+sinBCOSA=JiSinASinBnSin(A-四］=,，所以，A=—,

I6；23

由③，得：C=二，则α=0c,b-2c,即：a1-C2=be.

6

18、答案：⑴”,,=2〃-1或4=-2〃+3

1

(2)7；,=1-

(2〃+1)2

-

解析:(1)S42α,%+14=4o1+6d—2(d+αj(2d+q)+14=0,

则d=±2,

所以，αfl=2〃-1或a“=-In+3.

2"+3_1___________1

⑵由⑴可得，a=2n-∖

n(2〃—1)(2”+1)•2"-(2〃—1)∙2"T—(2〃+1)•2"

T=c+c+c+

11i2i+n--------------,1i--------------

lk(2n-l)∙2^'(2n+l)∙2

1

所以，（,=1—

(2n+l)∙2n

19、答案：（1）证明见解析

⑵当

解析：（1）证明：取AO的中点0,连接。P,0B,

AClBD

∖ACLOE,

BDHOE

AClOE

AClPEInAC_L平面Pr>E,所以PO,

OEfPE=E

ACl.PD

ADYPD}=>「。_1平面ABCO,

ACAD=D'

PD1平面ABC。

>=>PDA.平面ABCD±平面ABCD,

PDu平面PAO

(2)由(1)得，建立如图所示空间直角坐标系z,

设AD=2,则P(O,O,√J),E-,—,0,0(—1,0,0),

22

设平面PoE的法向量〃=(X,y,z),

X+6Z-O

nDP=Q

则=5>■取X=ʌ/ɜ，则y=-3,z=—l.

3j,√3

n-DE=0—X+——V=O

122'

所以，〃=(8,一3,-1),

n∙m3

取平面PDA的法向量W=(0,1,0),则CoS〈〃,喻

In∖∖m∖>/13

所以‘二面角E-9-A的正弦值为噜

20、答案：⑴476人

⑵

々万土二Zix4×2.5+15×7.5÷33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.8C

解析：(1)〃=---------------------------------------------------------------------------=114.9,

100

则X—N(14.9,6.1),

16827

所以，P(X>21)=P(X>14.9+6.1)=~°∙=0.15865,

2

所以3000人中锻炼超过21天人数约为476人.

(2)见解析

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

203050

女生321850

合计5248100

(2)零假设为“。：学生性别与获得“运动达人”称号无关,

100X(30X32-20X18)^577>3841>

50×50×52×48

依据α=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，即：可以认为学生性别与获得“运

动达人”称号有关;

而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据计算男生、女生中活动天数

超过15天的频率分别为：应=0.6和要=0.36,可见男生中获得“运动达人”称号的

5050

频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的(9x1.67倍，于是依据频率稳定与概

0.36

率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即：男生更容易获

得运动达人称号.

2

21、答案：⑴双曲线方程为：y-∕=l

⑵舟

解析：(1)略

(2)法一：①当直线MN与轴垂直时,

M(-√3,0),2V(√3,O),Λ(3,-√2),

66

直线AM：y=------3=(Λ+√,3),令X=InyP=——=,

3+√3√3

历

同理，％=用n%+y0=0,

②当直线MN不与轴垂直时

设"（N，X）、N（W,必），直线MN:X="+1代入到χ2-3y2=3中得

（z2-3）y2+2fy-2=0,

-2t

X+%I—J

y%=τ¾

Δ>0

又直线AMh+√Σ=小史

(x-3),

x∣一3

X+血_垃=—("+2)y

令X=InyP=­2∙

》一2

同理，y=—®+2)X,

2

ty2-

，力+%=_("+2)必%-勺+“

20,

°tyly2-2t(yi+y2)+4

综上，y+y-0,-1.

'poQ∖I"BQI∖

法二：

设直线MN的方程为y=A(x-l),M⅛y,),N(x2,y2),

Gk2

…二诏T

-

)：(：)尤女3Λ2+3

联立＜"—n(3F-i)2_62χ+3F+3=o,*

x2-3y2-3=Q'>U2=访

Δ=12(l-2^2)>0

所以，AM的方程：y+√5=A±^(X_3)=%=—血—2^±^

Λj-3Xj—3

-近-五+

&k+2k-(√2+2A:),⅛+*1>

、%一3,

同理：‰=-(√2+2⅛)-ɪ-+1