四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学（理）试题（解析版）

凉山州2023届高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第∏卷（非选择题），共4页，满分

150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0∙5毫米的黑色签字笔填写在答题

卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书

写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的K答案X无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知复数Z满足Z,N是Z的共辗复数，则z+N等于（）

A.-2iB.-2C.-4iD.-I

K答案DB

K解析员

R祥解D化简等式得到z,计算得到共规复数2,即可得到z+N的值.

K详析2解：由题意

^l-3i,y

在----=]+[中，

Z

l-3i（l-3i）（l-i）3i2-4i+l4i+2、

Z=------=⅜----r?——r∙=--------ʒ—=---------=-l1-2ι

1+i（l+i）（l-i）l-i22

.,.z=-l+2i

z+z=-l-2i-l+2i=-2

故选：B.

2.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙

两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（）

甲班乙班

1512

3206337

63372

218123

392

A.甲班数学成绩的中位数比乙班大

B.甲班数学成绩的平均值比乙班小

C.甲乙两班数学成绩的极差相等

D.甲班数学成绩的方差比乙班大

K答案》A

R解析》

K祥解XA选项，根据中位数的定义计算出甲乙两班的中位数，比较大小;

B选项，根据平均数的定义计算出甲乙两班的平均数，比较出大小;

C选项，根据极差的定义计算出甲乙两班的极差，两者不相等;

D选项，由茎叶图分析可得到甲班数学成绩更集中在平均数的周围，故方差小.

K详析X甲班的数学成绩中位数为必辿二73,乙班的数学成绩中位数为包土卫二69.5,甲班数学成

22

绩的中位数比乙班大，A正确;

51+60+62+63+73+73+76+81+82+93

甲班的数学成绩的平均数为=71.4,

10

51+52+63+63+67+72+81+82+83+92

乙班的数学成绩的平均数为=70.6,

10

故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B错误;

甲班的数学成绩的极差为93—51=42,乙班的数学成绩的极差为92—51=41,

故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C错误;

从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数71.4的附近，而乙班的成绩更分散，没有集中到平均

数70.6的附近，

故甲班数学成绩的方差比乙班小，D错误.

故选：A

3.设集合A=J-l,2°,e∣n2,-^-卜8=Jl,2,lne3,彳卜则AcB子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

K答案》C

K解析』

K祥解』首先根据对数的运算性质化简集合，从而得到A6=再求子集个数即可.

K详析DA=j-l,20,eln2,^j=,B=jl,2,lne∖^j=∣l,2,3,^j,

所以A8={1,2,当},ACB的子集个数为23=8.

故选：C

4.设XeR,向量α=(x,l),b=(1,-1),且&匕，则,-W=()

A.1B.√2C.√3D.2

K答案，D

K解析2

R祥解H由向量垂直的坐标表示求X,再由向量减法的坐标表示和模的坐标表示求k一。|.

K详析11因为α=(χ,i),8=(L-I),且。工人，

所以X-I=0，所以X=1,则α-b=(0,2),可得∣α-1∣=J()2+22=2∙

故选：D.

5.已知尸为抛物线7∖y2=2*(p>0)焦点，过尸作垂直X轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN

为直径的圆交y轴于c,D两点，若ICq=26,则T的方程为()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=2√3xD.y2=6%

K答案，B

K解析H

R祥解》由题意可知圆是以焦点为圆心，。为半径的圆，根据弦长公式即得.

R详析》由题可知由X=曰，可得V=“2,

所以IMNI=2p,所以以MN为直径的圆的半径是〃，圆心为尸

解得，=2,

所以抛物线方程V=4x.

故选：B.

x1÷x9=-b

6.一兀二次方程J?+6x+C=0的两根芯,工2满足，-,这个结论我们可以推广到一元三次方程

X1X2=C

中.设玉,%2，%3为函数〃%)=三一6£+1a-6的三个零点，则下列结论正确的是()

A.X1+X2+X3=-6B.X1X2+X1X3+X2X3=-11C.X1X2X3=-6D.

11111

--1---1--=—

x1x2X36

K答案》D

K解析X

K祥解D设加+"2+cχ+d=o(α≠0且dwθ)的三个实根分别为和X2,X3，依题意可得

O(X-X)(X-X2)(X-W)=O,再根据整式的乘法展开，再根据系数相等即可判断.

R详析Il设办3+ZυP+cχ+d=o。。且4。0)的三个实根分别为玉,々，天，

pγl⅛α(x-xl)(x-x2)(x-¾)=O,

所以ɑ[d_(x)+χ2)χ+χlχ2](χ-χi)=O,

2

所以Or3-a{xx÷x2+X3)X+6f(x1x2+x2x3+x1x3)x-axxx2x3=O,

所以-4(X1+%2+X3)=6，。(芭X2+々X3+%X3)=C，-OX1X2X3=d,

πι,bcd

RIJX]+x,+%3=——，ΛX+XX+X↑X=—,xx^x=——

a1a2233aλ3

C

所以Illll二工2七+工”3+3工2a_c

y~~~d

JC2中2尤3

a

所以函数〃力=八64]1>6中％+%+X3=T=6,出+中3+仪

11,

11111

—÷—+—=—

X1X2X3=--=6,

ax1x2x36

故选：D

7.我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高

三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从

后表却行一百二十七步，亦与表末三合.问岛高及去表各几何.这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300

多年.其大意为：测量望海岛AB的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆DE,FG(AB，

DE，FG共面，均垂直于地面)，使目测点〃与8,0共线，目测点C与8,尸共线，测出石”，GC,

EG,即可求出岛高AB和AE的距离(如图).若DE=FG=3,EH=J,HC=T2,GC=9,则海

岛的高AB=()

D.21

K答案，A

K解析》

DEEHFGGC

"羊解H由题可得一=——，——=七，结合条件即得.

ABAHABAC

K详析H由题可知r>E∕∕AB,FGHAB,

«、、DEEHFGGC

所以——=----,——=——又DE=FG=3,EH=7,HC=I2,GC=9,

ABAHABAC

所以—=------,——-----------

ABAE+7ABAE+7+12

解得A£=35,AB=I8.

故选：A.

8.如图，在棱长为6的正方体ABCD-ABC。中，。是底面正方形ABCO的中心，点M在。A上，点

N在A#上，若QVJ.AM,则DW=()

A.1B.2C.4D.3

K答案，D

R解析H

K祥解』以点。为坐标原点，D4、DC、OR所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，设点

N(6,%6),Λ∕(0,0,m),其中0≤加≤6,()≤"≤6,由ON∙AM=O求出加的值，即可得解.

K详析D以点。为坐标原点，D4、DC、OA所在直线分别为x、，、Z轴建立如下图所示的空间直角

坐标系，

则A(6,0,0)∖。(3,3,0),设点N(6,",6),M(0,0,m),其中0≤∕x≤6,0<n<6,

AM=(-6,0,m),ON=(3,"-3,6),

因为ON_LAM,则QV∙AM=3χ(-6)+6W=0,解得加=3,故DΛ∕=3.

故选：D.

ab,,a,8

9.定义CQ=αd—历，己知数列｛4｝为等比数列，且%=2,ɛα=0,则牝=()

CΛg

A2√2B.±2血C.4D.±4

K答案》C

K解析』

"羊解Il根据新定义及等比数列的性质运算即得.

8

K详析11因为。=0,

8⅞

所以4%-64=0,即齿=64,又｛α,,｝为等比数列，％=2,

所以%，%，%同号，%=8，又a；=%%，

所以为=4.

故选：C.

10.小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A,B,。三道题且每个问题的回答结果相互独立.已知三

道题的分值和小明答对每道题的概率如表：

A题分值：3分8题分值：3分C题分值：4分

答对的概率0.60.50.4

P(X=3)

记小明所得总分为X(分)，则八\=()

产(X=10)

K答案XA

K解析工

K祥解》由概率乘法公式分别求出p(X=3),P(X=IO),由此可得结论.

K详析D由已知P(X=3)=0.6χ0∙5χ0.6+0.4χ0.5χ0.6=0.3,

P(X=Io)=O.6X0.5X0.4=0.12,

P(X=3)=5

所以

P(X=IO)-2

故选：A.

π'23π

11.已知函数/(x)=Sin?ωx——-cosCDXH---(--。-〉0),关于函数/(χ)有如下四个命题:

2j2

①/(x)的最小正周期是%

②若/(x)在X=］处取得极值，则/=1；

③把/(χ)的图象向右平行移动嘉个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称;

④/(χ)在区间o,ɪ上单调递减，则一的最小值为

_Q」aω2

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

K答案，c

K解析H

K祥解》由题可得/(x)=CoS(25),根据余弦函数的图象和性质可判断①②，根据图象变换规律及三角

函数的性质可判断③，根据函数的单调性可得色《工，然后根据对勾函数的性质可判断④.

a2

K详析D因为/(x)=Sin—T)-COS=COS%x-sin%x=cos(2(υx),

所以/(x)的最小正周期是至=工，故①正确；

2ωω

若/(x)在X=处取得极值，则(υπ=E,AeZ,即<υ=NkGZ,又。>0,故<y=k"∈N*,故②错

误；

把/(x)的图象向右平行移动;个单位长度,可得y=cos2<υ[x-f~)=cosf2ωx-j=sin(2<υ%),

因为sin(—25)=—Sin(2&x),故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故③正确;

πCC2①冗/、兀

由x∈0,一可得2GX∈0,---,--又“X)在区间0,-上单调递减,

aa

则驷≤τr,即0<∙^≤!,根据对勾函数的性质可知」+o'=g+^≥*,故④正确；

aa2aωωa2

所以真命题的个数为3.

故选：C.

2x2

12.已知/(x)=e'-0x有两个零点Xl,%2&<%2)，(%)=—■——-x+l)则()

A."eB.g(χ)+g(%)>0

C.g(χ)∙g(x2)>OD∙2g(x∣)∙g(Λ2)+g(x2)<O

R答案2B

K解析1

K祥解Ii对于选项A,通过令/(χ)=o,构建新函数MX)=《，求导解出MX)=《的单调性，再结合

XX

有两个不同零点即可得出。与e的大小关系；

对于选项C,通过对g(x)求导得出单调性，再由对称定义得出g(x)关于(1,0)对称，得出g(∙η)<O,且

g(⅞)>0,即可判断；

对于选项D,通过对/(X)零点的分析结合选项A中的证明，得出0<χ<l<9,结合选项C中的证明利用

单调性得出g(%)>g(O)=-万即可判断；

对于选项B,结合选项C,D中的证明，构造新函数i(x)=〃(x)—〃(2—X),求导再构造得出i(x)的单调

性即可由0<玉<1<々于单调性得出斗+々>2，即可证明巧比不离x=l远，再结合对称性得出

Ig(X2)|>|g(%)|，即可判断.

K详析D对于选项A：

令/(x)=e*-tzx=0,

则ex=ax<即α=上，

令MX)

eAx-ev_e'(x-l)

则/?’(X)=

则当x>l时”(x)>O,当x<l时〃'(x)<O,

则〃(X)=《在x>l时单调递增，在x<l时单调递减,

则∕z(x)A(l)=—=e,

则当/(x)=e'-"有两个不同零点时，a>e,

故选项A错误；

对于选项B：

g(χ)=5-彳-%+1，

则g<x)=2v^'ln2+2∣rIn2-1=In2甲+2I^Λ)-1,

由基本不等式可得2χ-'+2l~x≥2，

则如2(2下】+2-*)22如2>1,

则g'(x)>O,则g(x)再定义域上单调递增,

2x+122"A+I2

g(Λ+l)+⅛(-Λ+l)=-----x-l+l++%—1+1=O，

2^Λ+'

则g(x)关于(1,0)对称，

令/(x)=e'-αr=0,则e*=0χ,

，>0，且由选项A得知α>e,

，当/(x)=e*-办=O时，解得的x>0,即玉、x2>0,

v

由选项A中可知MX)=Je在χ>l时单调递增，在x<l时单调递减,

当/(X)=ɑ`-公有两个零点玉,£(玉<工2)时>

则O<%V1<马，

则g(3)<0,且g(w)>O,

令i(x)=∕z(X)一W2-尤),且0<χ<l,

则z"(x)=(X-I)—

(2-

令/(X)=二(0<x<l),

则广⑴「'(「〈o'

即/(x)在((U)上单调递减,

x∈(0,l),

.∙.x<2-x,

X2-X

.-A---~~7>0,

尤2(2r)2

则i'(x)<0,

即i(x)在((U)上单调递减,

.∙.z(x)>z(l)=0,

即M%)>∕z(2-%),

O<x1<1,

/.Λ(x1)>Λ(2-x1),

∕Z(X1)=A(X2),

.∙.∕z(x2)>A(2-x1),

x2>1f2-xl>1,∕z(x)在(l,+oo)上单调递增，

.∙.x2>2-X1,即玉+々>2,

则才2比*1离X=I远，

则∣g(%)∣>∣g(%)∣,

则g(%)+g(w)>0,

故选项B正确：

对于选项C：

由选项B中可知g(x∣)<0,月一g(x2)>0,

则g(%)∙g(w)<O

故选项C错误；

对于选项D:

2g(Dg(X2)+g(9)=g(X2)12g(xJ+l]

由选项B中可知g(x)再定义域上单调递增，且g(w)>0,O<X,<1,

则g(x∣)>g(0)=-g，

则2g(3)+l>0,

则2g(x,),g(x2)+g(x2)>。

故选项D错误；

故选：B

Rr点石成金D导函数中常见的解题转化方法：

(1)利用导数研究含参函数的单调性，常转化不等式恒成立问题，需要注意分类讨论与数形结合思想的应

用：

（2）函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极值问题处理.

难题通常需要多段求导或构造函数，这时需多注意函数前后联系.

第∏卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

x+γ-2≤0

13.设变量X,y满足约束条件＜x-y+2≥0,则目标函数z=χ+y的最小值为.

x+2y—2≥0

2

K答案】I

R解析D

K祥解》画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在y轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可

求解.

x+y-2≤0

K详析D画出约束条件，x-y+2≥0所表示的平面区域，如图所示，

x+2y-2≥0

目标函数z=χ+y,可化为直线y=-χ+z,

当直线y=-χ+z过点C时在y上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

24

3,3

242

所以目标函数z=*+y的最小值为z,—I—=—

333

故R答案Il为:

（用数字作答）.

K答案，5

R解析』

K祥解D由二项式展开式的通项公式求解即可.

K详析』因为(x+l)6的展开式通项为(+I=CF6-，，

1i

所以7；=C江3,T3=CbX.

故展开式中V的系数为C：一C；=20-15=5.

故K答案》为：5.

15.把正整数按如下规律排列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……，构成数列{4},则%=

K答案，13

K解析D

K样解H根据正整数排列规律结合等差数列求和公式即得.

K详析D由题可知正整数按1个1,2个2,3个3,……，进行排列，

LdMA+1).C-k(k+l)

因为1+2++女=」——当左1=13时，△——^=91，

22

所以“91=13.

故K答案H为：13.

22

16.如图，已知椭圆G:―y+专■=1,=t(a>b>0,0<t<l).若由椭圆Cl长轴一端点P和短

轴一端点。分别向椭圆C2引切线PR和QT,若两切线斜率之积等于-；，则椭圆C2的离心率e=

K解析H

K祥解D设切线PR:y=K(x+a),QT:y=k2x+b,联立椭圆方程根据判别式为零结合条件可得与=4,

a2

然后根据离心率公式即得.

K详析。由题可知P(-α,O),β(0,⅛),

设切线FR>=K(x+a),QT∙.y=k2x+b,

y=kt(%+«)

由“尤2y2,可得(6/+〃卜2+2号^》+^^一口汇=0,

22

所以△=(2后d『—4Wa2+h2乂女"4-tab)=0,

1

.2tb

整理可得跖=7~TW，

(1-f)Q

y-k2x-∖-b

由<Yy2,可得(记々2+〃2b2+2女2々2笈+々2〃2一疗》2=0,

”+广

所以△=(2慎2“一4(抬/+b1^a2b2-ta1b2)=0,

。一"

整理可得好

又两切线斜率之积等于-L,

2

ɔɔtb1上恒」，即今

所以公•公ɪ

2

-(l-f)α2ta4a22

2tc-cτ—b~b"1∕∖

所rr以hie~=—z^=----ʒ—=1—∑^=一,又τ7e£(。n,11),

ta2a2a22''

所以e=42.

2

故R答案H为：交.

2

三、解答题.(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分)

17.2022年卡塔尔世界杯(英语：FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在

卡塔尔和中东国家境内举行,也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛,

除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举

办的世界杯足球赛.为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了IOO人进行调查，其中

女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的L,男生有5人表示对足球运动没有兴趣.

4

（1）完成2x2列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”?

有兴趣没兴趣合计

男60

女

合计

（2）从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取3人,

抽到的男生人数为X,求X的分布列和期望

P(K2≥%)0.1()0.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

n(ad-be)，

n-a+b+c+d

(α+θ)(c+d)(α+c)(λ>+d)

R答案II（I）填表见K解析*有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”

（2）分布列见K解析X期望为1

K解析H

K祥解》（1）根据题中数据完成列联表，再结合公式求K2,分析理解；

（2）根据分层求得抽取男生2人，女生4人，结合超几何分布求分布列和期望.

K小问1详析）

根据所给数据完成列联表:

有兴趣没兴趣合计

男55560

女301040

合计8515100

K?=]00X(55X*5X30)2=800”5,229〉5^24

85×15×40×60153

所以有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关''.

R小问2详析D

按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生4人,

随机变量X的所有可能取值为0，1，2,则有：

P(X=O)=詈，1P(X=D=罟喘=1,P(x=2)=詈噌1

X的分布列为:

XO12

ɪ3

P

555

I3i

故£(*)=0乂1+1＞＜二+2＞二=1,即X的期望为1.

18.如图，在直三棱柱ABC-44G中，AB=CG=3，BC=4,AC=5,AE=AAA,,。为BC的

中点.

(1)当力=；时，求证：AZ)〃平面BC∣E;

(2)若也，G。与平面BGE所成的角为夕，求Sine的取值范围.

44

K答案D(1)证明见K解析》

^2√393√2^

(2)-------,——

3913

K解析H

K祥解II(I)首先取Bq中点。，连接。。，OE,。为BC的中点，易证四边形AOoE为平行四边形,

从而得到AD//OE,再利用线面平行的判定即可证明AD〃平面BaE.

(2)以8为原点，5。,氏4,64分别为工,％2轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

R小问1详析］

取BG中点。，连接O。，0E,。为Be的中点，如图所示：

B

因为O,力分别为BC1和BC的中点，

所以Oo〃gcc∣且0。=gCG，

又当；I=；时，E为AA的中点，

所以AE〃gcG，且AE=gcC∣,

所以OD〃AE,且。D=A£,

所以四边形ADoE为平行四边形，所以A。〃0七，

因为Ao(Z平面8C∣E,OEU平面BGE,所以AD〃平面BQE.

K小问2详析)

因为AB=3,BC=A,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,即ABlBC.

又因为三棱柱ABC-44CI为直三棱柱，

所以以B为原点，8C,8A,84分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

所以B(0,0,0),C1(4,0,3),D(2,0,0),E(0,3,3%),―≤Λ≤

4

BC1=(4,0,3),BE=(0,3,34),

设平面BClE的一个法向量"=(x,y,z),

所以〈,,令x=3,得〃=(3,44-4).

n∙BE=y+λz=O

又DG=(2,0,3),

DG6

2；

所以sm"∣zj∣∣DC1√B√16λ+25

'又乂人在,所以Sinee［噜,吟］,

44L3913

所以Sine的取值范围为笆9,野.

19.在锐角LABC中，角A，B,C所对的边分别为α,AcS-CsinA=αcosC.

(1)求A；

(2)若b=2,求ABC面积的取值范围.

K答案H(1)A=-

4

⑵(1,2)

K解析H

R祥解Il(I)由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同角关系可得A角；

(2)由(1)及已知得B角范围，利用正弦定理把C表示为8的三角函数，从而得出C的范围，再由三角形

面积公式得面积范围.

R小问1详析H

因为Z7-CSinA=αcosC,

由正弦定理得sinβ-sinCsinA=SinAcosC，

即Sin(A+C)-SinAcosC=SinCsinA,

所以CosAsinC=SinCsinA,

因为SinCH0,所以tanA=l,由AeO,］得A=；.

K小问2详析》

因为b=2,

由正弦定理得2sinC2叫4力2(sinτcosB-cosτsinB)夜

c=---=-------=----------------=---F√2

sinBsinBsinBtanB

3TTTTTT

由——上可得8>!,

424

所以Be二,二贝IJtanB∈(l,+oo),故CW(夜,2夜卜

[42)

所以一A6C的面积S=工匕CSinA=―—c∈(1,2).

22v,

即一ABC面积的取值范围为(1,2).

20.已知A,8分别是椭圆。：与+"=1(。＞。〉0)的上下顶点，|阴=2,点1,在椭圆。上，。

为坐标原点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)直线/与椭圆C交于X轴上方两点M,N.若戕.岚=-ι,试判断直线/是否过定点？若是，求出定

点坐标；若否，说明理由.

K答案H(1)—+/=1；

2'

(2)是，直线/过定点

K解析，

分析7(1)由题可得b=l,然后把点L代入椭圆方程可得/=2,即得;

(2)设直线y=履+f,联立椭圆方程，利用韦达定理法结合数量积的坐标表示可得/="，进而即得.

3

K小问1详析』

因为∣A3∣=2,所以人=1，

又点1,在图像。上,

所以—+5户=1>所以a?=2'

2

所以椭圆C的方程为三+y2=1；

2

R小问2详析H

由题可设直线/：y=kx+t,M(X],凶)、N(X2,%)，(yl>0,γ2>0),

y=kx+t

得(公依一

⅛'√2ɪ,2+1)/+4+2/2=0,

.万

则A=8(2^+1一产)>o,

4kt

M+%=-

22⅛2+l

2t2-2

玉工2ΞF+1

UULUUUU.

又QATCW=-I,即XlX2+X%=-1，

2

所以玉W+(依+t)(kx2+/)=-1,即(K+1)X1Λ2+kt(^xl+x2)+r=-1,

4kt

俨+。・分+小+∕2=-l,

2⅛2+l

19/

解得产=一，又一>0,即r>0,

32k+1

rςr∣ʌ/ɜ.ʌ/ɜ

所以ht=—,y=kxH-----»

33

所以直线/过定点

21.已知函数/(x)=Jχ2-(X+1)In(X+l)+x+f.

(1)g(x)是/(X)的导函数,求g(x)的最小值；

(2)已知〃eN*,证明：l+,+'+L+^>ln("+l);

(3)若X*-xlnx+(2-α)x-l≥O恒成立，求。的取值范围.

K答案》(1)O(2)证明见K解析》

(3)(-∞,2]

K解析，

K祥解》⑴求出g(χ)的表达式，求导，通过讨论g(χ)的单调性，即可求出g(χ)的最小值;

(2)通过⑴中g(x)的取值范围得出x≥ln(x+l),即可证明不等式；

(3)分离参数,构造函数MX)=LΞ∆≡=L,通过⑴中的结论XNIn(X+1),可得出MX)的

取值范围，即可求得。的取值范围.

K小问1详析』

由题意，在/(x)=gf-(x+l)ln(x+l)+x+f中，

所以，g(x)=/'(X)=X-In(X+1)—l+l=x-ln(x+l),

在g(x)=x-ln(X+1)中，χ>-l,

1x

g,(χ)=J

x+lx+l

令/(x)=0,解得X=O,

又xe(-l,())时，g'(x)<O,x∈(0,+∞)时，g'(x)>(),

.∙.g(x)≥g(O)=(),即g(x)的最小值为0.

R小问2详析］

在g(x)=x—】n(x+l)中，g(x)=x-ln(x+l)≥0,

可知x≥ln（x+l）,当且仅当X=O时等号成立,

1.1(1八ππ1,n+∖

∙∙∙n∈N*时,一≥In—F1f即一≥In-----

n∖n)nn9

23

Λl÷i÷l÷÷i>ln^÷1∏2÷+in^=ln=In(TI+1).

23n12n12

・・・不等式成立.

K小问3详析』

由题意及(1)(2)得，Λ≥ln(x+1).

当x>0时，ΛA-XlnX+（2—4）x—12O怛成立,

...不等式X士InX+2上!Nα恒成立,

X

XA-xlnx+2x-l

令MX）二

X

则命题等价于X∈(0,+∞),MX)min≥a

Vx≥ln(x÷l),.∙.ev≥x÷l.

./Xeγhu-xlnx÷2x-lxlnx+l-xlnx+2x-lC业[八,2而幼旦

.∙.hf(x)=----------------------≥-------------------