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文档简介
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案
曲线y=x\n(e+占)的斜渐近线方程为(
1.【单项选择题】
A.y=x+e
B.y=x+l/e
C.y=x
D.y=x-l/e
正确答案:B
知识点:第1章第1节》第一节函数、极限、连续
参考解析:
,/1、
xhi(e+--)
k=lim—=liin-----------"—I=liinln(e+------)=1
x—x—x—x-1
b=lim(y-kx)=lim[.Yln(e+—x]=limx[lii(e+—)-1]
X-^X>.x-^x>X一]X->00X一]
1x1
=limxln[l+---------]=lim---------=—
x*e(x-l)e(x-1)e
所以斜渐进方程为y=x+l/e
函数/(x)=\4+户”°的一个原函数为()
2.【单项选择题】I(x+Octsz.T>0
F(,)IInx2—xjz40
I(z+1)cosa;—sinT,T>0
In(-1+——工)+i,IW0
{(x+1)cosz-sini:,x>0
(:)|In+12+①),]WO
1(1+1)sinx+cosjr,J:>0
*)fInx/l+x2+H)+1,iW0
dI(i+1)sinz+cos],x>0
正确答案:D
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
当0时,定.看2gM
当x>0时,J/(x)^=j(X4-1)COSAYIV=j(x+l)<ysinx=(x+l)sinA+cosx+C,
原函数在(-8,+OO)内连续,则在X=0处连续
所以£=1+G
ln(71+x-+x)+l+C,x<0
(x+l)sinx+cosx+C?x>0
结合选项,贝Uf(x)的一个原函数为尸(x)J1n(小M+x)+l,xS°
I(x-t-l)sinx+cosx,x>0
3.【单项选择题】
已知{工n},{%}满足:I\=y\=In+1=sini.j/i=yj(n=1.2,••),则当nToc时,(
innn+
A.Xn是Yn的高阶无穷小
B.yn是Xn的高阶无穷小
C.Xn与yn是等价无穷小
D.Xn与Yn是同阶但不等价的无穷小
正确答案:B
知识点:第1章》第1节》第一节函数、极限、连续
参考解析:
22
在IO.jI中,7.<sinx,故与“=sin%
k=5=.<©)"==(分
2K4*4
二>liin&=0
if
故y”是X”的高阶无穷小
4.【单项选择题】若微分方程y''+ay'+by=O的解在(-°°,+°°)上
有界,则()
A.a<0,b>0
B.a<0,b>0
C.a<0,b>0
D.a<0,b>0
正确答案:C
知识点:第1章》第6节》第六节常微分方程
参考解析:
要使微分方程的解在(-8,+8)有界,则a=0,再由△=a?-4b<0,
知b>0.
设函数1/=/(工)由(工二彳+胤确定,则()
5.【单项选择题】=小皿
A.f(x)连续,f'(0)不存在
B.f'(0)连续,f'(x)在x=0处不连续
C.f'(x)连续,f-(0)不存在
D.f''(0)存在,f'(x)在x=0处不连续
正确答案:C
知识点:第1章》第2节》第二节一元函数微分学
参考解析:
3fx=3rdvsiiir+rcosf
当t>o时,,十=------------
y=tsinrax3
3」fx=,出.
当t>o时,,—=-smt-tcost
y=-tsintdx
当t=o时,因为£(0)=liin/(、)-/⑼=Ihn物U=0
X—0+xr-g3t
/(V)/(0)
Z(0)=lim--=lim^=0
X"Xr"t
所以r(o)=o
smZ+fcosZSmZrcOSf
Em/'(x)=Hm=0=/<0),如/(x)=fan--=0=/(0)
x-»04-r-><Xt-3idr-*0-3
所以,Hm/'(x)=/'(0)=0,即f(x)在x=0连续,
x->0
当t=0时,因为
夕74rI-sinr+rcosr2
f.(0)=liiii------------=lim-----------=—
ex…3-3r9
,”仆i-/'(x)-/,(0)v-sinr-rcosr
f(0)=Imi-—―、=lun-----------="2
x->0-xt
所以f”(0)不存在
6.【单项选择题】
,+8i
若函数〃a)=/7r在a=。。处取得最小值,则的=()
J2^\*nX)
1
In(ln2)
A.
-In(ln2)
B.
1
C,京
In2
D.
正确答案:A
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
00
当a>o时/(a)=r--_rdx=———iI:=
八卜Xlnxr1(lnx)aa2(In2)(
1____1_Inin212_1
所以,1(a)=—a■(—+InIn2)=0
(In2/7(ln2)0a~a(ln2)
1
即%=
lnln2
7.1单项选择题】设函数f(x)=(x?+a)ex,若f(x)没有极值点,但曲
线y=f(x)有拐点,则a的取值范围是()
A.[0,1)
B.[1,+8)
C.[1,2)
D.[2,+8)
正确答案:C
知识点:第1章》第2节》第二节一元函数微分学
参考解析:
f(x)=(f+a)e3/V)=(x2+2x+crX,/1(x)=(x2+4x+<7+2)eJ
由于f(x)无极值点,所以4-4aWo,即Bl;由于f(x)有拐点,所以16-4(d+2)>0,即。<2;综
上所述a€[1,2)
8.【单项选择题】
设AB为n阶可逆矩阵,E为"阶於位矩阵,M'为矩阵Af的伴随矩阵.则(7)=()
(|A|B*-B*A*\
A.\。田阳J
/|A|B*-A*B*\
B.\。田⑷J
/\B\A*-B*A*\
C,\。口四)
(\B\A*-A*B*\
D.\。⑷牙)
正确答案:D
知识点:第2章》第2节》第二节矩阵
参考解析:
结合伴随矩阵的核心公式,代人计算得
'A七丫|B|N*"8*、
源。=\A\\B\E
9\A\B\
9.【单项选择题】
2
二次型f(xl,x2,x3)=(X1+X2)+(11+工3)2-4(12-二)的规范形为()
Ayl+yl
口
D.yl-yl
「犹+城一4成
u.
D/+诏一成
正确答案:B
知识点:第2章》第6节》第六节二次型
参考解析:
由已知/(国,》)
2,h=-3君-3宕+2再匕+2XJX3+Sx2x3
‘211、
则其对应的矩阵.4=1,34
J4-3,
2—2—1—1
由|花一.4卜-12+3-4=9+7乂2-3)=0,得A的特征值为3,-7,°
-1-42+3
10.【单项选择题】
/1\/2\/2\/1\
已知向量6=2,02=1A=5,优=0,若)既可由6.。2线性表示,
I9/111
H\11
也可由仇必线性表示,则)=()
正确答案:D
知识点:第2章》第3节》第三节向量
参考解析:
设r+x2a2=.11区+乃百,则x1al+x2a2-y1/3l-y2^2=0
’12-2一讣fl003、
又回a-=21-50^010-1
、31-9-UI。o11>
故(王,、2,九必尸=c(TL-LT)ZeR
所以r=-c&+以4=c(-L—5,-8)T=—。(1,8尸=左QtB)3■,左c&
11.【填空题】
当zt0时,函数/(i)=or+而2+ln(l+工)与g(1)=e,-cosr是等价无穷小,则ab
我的回答:
正确答案:
知识点:第1章》第1节》第一节函数、极限、连续
参考解析:
i2i
./(x)Q+&+in(l+x)ax+bx+x--x+o(x)
lim------=lim--------------------------=--------------------------------------------=1
'f'g(x)fe'-COSTl+x*+O(X2)-[l-yX2+O(;,r*)]
可得,a+l=0,b-0.5=1.5,a=-l,b=2,ab=-2
曲线y=f,寸存di的弧长为_____
12.【填空题】)-6
我的回答:
正确答案:
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
v'=V3-x2,由弧长公式可得
1=J:.Jl+y'dx=J:\l4-x2dx—,-%皿>4cos2tdt
4
=1+cos2tdt-、月+一万
3
13.【填空题】
必
设函数rhz确定,则
z=z(x.y)e+xz=2x-y—£
ox(1」)
我的回答:
正确答案:
知识点:第1章》第4节》第四节微分学多元函数
参考解析:
e0+z+x经=2
两边同时对x求导:&&
,&&-d2zdzdzd2z
€~'-----F夕---H-------1----------FX-=
两边再同时对X求导:dxdxdx^dxdxdx^
孑二__3
将x=l,y=l带入原方程可推出交一2
14.【填空题】
曲线3/=喊+2/在工=1对应点处的法线斜率为一
我的回答:
正确答案:
知识点:第1章》第2节》第二节一元函数微分学
参考解析:
9x2=5y4-y'+6y2-y'
两边对x求导:
当x=l时,带入原方程可得y=l,
将x=l,y=l带人可得.卜”11
11
所以曲线在x=l处的法线斜率为一§
15.【填空题】
设连续函数/(工)满足:/(1+2)—/(工)=工,,2/(工)%=0,则
我的回答:
正确答案:
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
ff(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx
=J;+二f。+2)dx
=1/(x)去+£"(x)+幻小
二(/(x)去+//(X)去+卜去
1
2
16.【填空题】
叫+方=1
a011a1
工1+5+方=0有解,其中a,b为常数.若
方程组(1a1=4,则12a
11++©3=0
12aab0
叫+姐=2
我的回答:
正确答案:
知识点:第2章》第1节)第一节行列式
参考解析:
由已知
r(J)=r(J.Z>)<3<4
14bl=0
即
00111.1h01
|A,b|==—12(7+21a1=0
12ao…._
Me、abQ12a
ab02|r
1a1
L12o=8
咒+b0
17•【解答题】
2
设曲线L:y=y(X)(x>e)经过点(e,0),L上任一点P(x,j/)到y轴的距离等于
该点处的切线在y轴上的截距.
⑴求贝丁);
(2)在L上求一点,是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小,并求此最小面积.
我的回答:
知识点:第1章》第2节》第二节一元函数微分学
参考解析:
(D曲线L在点P(x,y)处的切线方程为Y-y=y(X-x),令X=0,则切线在y轴上的截距为Y=y-x『,
则x=y-xy*,解得,y(x)=x(C-lnx),其中C为任意常数.
又丫皆)=0,则C=2,故y(x)=x(2-lnx).
(II)设曲线L在点(x,x(2-lnx))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小,此时切线方程为
r-x(2-hi.v)=(1—111K)(X-X)
故切线与两坐标轴所围成三角形面积为
1lxf
S(x)=—AT=—•-----x=------------
221nx-l2(bx-1)
3
x(2tax-3)S(x)=Ox=>
则”2(tax-l);,令,得驻点
3
S(M)=J
将驻点带入,最小值即为所求
x2
求函数/(X,y)=比-〃+—的极值.
18•【解答题】2
我的回答:
知识点:第1章》第4节》第四节微分学多元函数
参考解析:
/=产』=0,得驻点为:(一-1,而),其中k为奇数;(一巴丘),其中k为
/=xe0,(-siny)=O
偶
则
ew(-sin.v)
.60Vsin,+x/冈(-cosy)
带入(一。:匕T),其中k为奇数,得AC®<0,故(-€)⑺不是极值点;
带入(一。,后T),其中k为偶数,得AC®>。且A>0,故(一。未了)是极小值点,
/(-e,Kr)=-,为极小值
*
19•【解答题】
已知平面区域D={(x,y)|0(yW菽1薪2,121}.
(1)求D的面积;
(2)求。绕1轴旋转所成旋转体的体积.
我的回答:
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
d.(;W丁=m(/+i)
(||)旋转体体积
展『敌在"广西皆公=]广6一寻严丫="力
20•【解答题】
设平面有攀域D位于第一象队由曲线人y2』=u+八卬=2与直线y=岛,y=0用
成,计算口南二山也
我的回答:
知识点:第1章》第3节》第三节一元函数积分学
参考解析:
=阳外^4^---------J-------;—rdO=f1------------------;—hiJld6
Jo
,二一户(3cos,。+sin'8)Jo(3cos'e+sin®
[了11^1
=—hi2P----------;---------;—d8=—In2「-------——dtan6
2J0(3+tan*&)cos"02(3+tan~8)
tan0jn
=12"anRA/1?
2百
21•【解答题】
设函数/(x)在[—a,@上具有2阶连续导数.证明:
(1)若/(0)=0,则存在fW(-。,。),使得/"(f)=i[/(0)+/(-«)];
(2)若/⑶在(一%。)内取得极值.则存在"€(-a,o),使得|广时|>-L|/(a)-/(-a)|.
我的回答:
知识点:第1章》第2节》第二节一元函数微分学
参考解析:
(l)/(i)-/(0)+/,(0)x+^2xJ=/,(0)i4.£^i2,「介于。和X之间,
△a
则加卜了你+有乙,,0<6<a
/(a)=/(0)o+^2o:,-a<小<0
两式相加得:
又f"(x)在[qwJ上连续,利用介值定理得:存在r风力Ju(-aa),有
=r(n,带入得O<1/(。)+/(-喇
1Q
(II)
证明:设f(x)在xo€(dQ)取极值,目f(x)在x=Xo可导,则f[Xo)=0,又
/(x)=/(r.)*r(x,Xx-x.)*4P(x-x.);,丫介于。与X之间,
£
则,JQ<Y1<O
£.
,
o<y2<a
从而Ra)-/(Y)H;(aTj/U)Y(a+xJ/
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