2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》

2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案

曲线y=x\n（e+占）的斜渐近线方程为（

1.【单项选择题】

A.y=x+e

B.y=x+l/e

C.y=x

D.y=x-l/e

正确答案：B

知识点：第1章第1节》第一节函数、极限、连续

参考解析:

，/1、

xhi(e+--)

k=lim—=liin-----------"—I=liinln(e+------)=1

x—x—x—x-1

b=lim(y-kx)=lim[.Yln(e+—x]=limx[lii(e+—)-1]

X-^X>.x-^x>X一]X->00X一]

1x1

=limxln[l+---------]=lim---------=—

x*e(x-l)e(x-1)e

所以斜渐进方程为y=x+l/e

函数/（x）=\4+户”°的一个原函数为（）

2.【单项选择题】I（x+Octsz.T>0

F(,)IInx2—xjz40

I(z+1)cosa;—sinT,T>0

In(-1+——工)+i,IW0

{(x+1)cosz-sini:,x>0

(：)|In+12+①)，]WO

1(1+1)sinx+cosjr,J:>0

*)fInx/l+x2+H)+1,iW0

dI(i+1)sinz+cos]，x>0

正确答案：D

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

当0时，定.看2gM

当x>0时,J/(x)^=j(X4-1)COSAYIV=j(x+l)<ysinx=(x+l)sinA+cosx+C,

原函数在(-8,+OO)内连续，则在X=0处连续

所以£=1+G

ln(71+x-+x)+l+C,x<0

(x+l)sinx+cosx+C?x>0

结合选项，贝Uf(x)的一个原函数为尸(x)J1n(小M+x)+l，xS°

I(x-t-l)sinx+cosx,x>0

3.【单项选择题】

已知{工n},{%}满足:I\=y\=In+1=sini.j/i=yj(n=1.2,­••),则当nToc时,(

innn+

A.Xn是Yn的高阶无穷小

B.yn是Xn的高阶无穷小

C.Xn与yn是等价无穷小

D.Xn与Yn是同阶但不等价的无穷小

正确答案：B

知识点：第1章》第1节》第一节函数、极限、连续

参考解析：

22

在IO.jI中，7.<sinx,故与“=sin%

k=5=.<©）"==（分

2K4*4

二>liin&=0

if

故y”是X”的高阶无穷小

4.【单项选择题】若微分方程y''+ay'+by=O的解在（-°°,+°°）上

有界，则（）

A.a<0,b>0

B.a<0,b>0

C.a<0,b>0

D.a<0,b>0

正确答案：C

知识点：第1章》第6节》第六节常微分方程

参考解析：

要使微分方程的解在（-8,+8）有界，则a=0,再由△=a?-4b<0,

知b>0.

设函数1/=/（工）由（工二彳+胤确定，则（）

5.【单项选择题】=小皿

A.f(x)连续,f'(0)不存在

B.f'(0)连续，f'(x)在x=0处不连续

C.f'(x)连续，f-(0)不存在

D.f''(0)存在,f'(x)在x=0处不连续

正确答案：C

知识点：第1章》第2节》第二节一元函数微分学

参考解析：

3fx=3rdvsiiir+rcosf

当t>o时，，十=------------

y=tsinrax3

3」fx=，出.

当t>o时，,—=-smt-tcost

y=-tsintdx

当t=o时，因为£(0)=liin/(、)-/⑼=Ihn物U=0

X—0+xr-g3t

/(V)/(0)

Z(0)=lim--=lim^=0

X"Xr"t

所以r(o)=o

smZ+fcosZSmZrcOSf

Em/'(x)=Hm=0=/<0),如/(x)=fan--=0=/(0)

x-»04-r-><Xt-3idr-*0-3

所以，Hm/'(x)=/'(0)=0，即f(x)在x=0连续，

x->0

当t=0时，因为

夕74rI-sinr+rcosr2

f.(0)=liiii------------=lim-----------=—

ex…3-3r9

，”仆i-/'(x)-/,(0)v-sinr-rcosr

f(0)=Imi-—―、=lun-----------="2

x->0-xt

所以f”(0)不存在

6.【单项选择题】

,+8i

若函数〃a)=/7r在a=。。处取得最小值，则的=()

J2^\*nX)

1

In(ln2)

A.

-In(ln2)

B.

1

C,京

In2

D.

正确答案：A

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

00

当a>o时/(a)=r--_rdx=———iI：=

八卜Xlnxr1(lnx)aa2(In2)(

1____1_Inin212_1

所以，1(a)=—a■(—+InIn2)=0

(In2/7(ln2)0a~a(ln2)

1

即％=

lnln2

7.1单项选择题】设函数f(x)=(x?+a)ex,若f(x)没有极值点，但曲

线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是()

A.[0,1)

B.[1,+8)

C.[1,2)

D.[2,+8)

正确答案：C

知识点：第1章》第2节》第二节一元函数微分学

参考解析：

f(x)=(f+a)e3/V)=(x2+2x+crX，/1(x)=(x2+4x+<7+2)eJ

由于f(x)无极值点，所以4-4aWo,即Bl;由于f(x)有拐点，所以16-4(d+2)>0,即。<2；综

上所述a€[1,2)

8.【单项选择题】

设AB为n阶可逆矩阵，E为"阶於位矩阵，M'为矩阵Af的伴随矩阵.则(7)=()

(|A|B*-B*A*\

A.\。田阳J

/|A|B*-A*B*\

B.\。田⑷J

/\B\A*-B*A*\

C,\。口四)

(\B\A*-A*B*\

D.\。⑷牙)

正确答案：D

知识点：第2章》第2节》第二节矩阵

参考解析：

结合伴随矩阵的核心公式，代人计算得

'A七丫|B|N*"8*、

源。=\A\\B\E

9\A\B\

9.【单项选择题】

2

二次型f（xl,x2,x3）=（X1+X2）+（11+工3）2-4（12-二）的规范形为（）

Ayl+yl

口

D.yl-yl

「犹+城一4成

u.

D/+诏一成

正确答案：B

知识点：第2章》第6节》第六节二次型

参考解析：

由已知/（国,》）

2,h=-3君-3宕+2再匕+2XJX3+Sx2x3

‘211、

则其对应的矩阵.4=1,34

J4-3,

2—2—1—1

由|花一.4卜-12+3-4=9+7乂2-3）=0,得A的特征值为3,-7,°

-1-42+3

10.【单项选择题】

/1\/2\/2\/1\

已知向量6=2,02=1A=5,优=0，若）既可由6.。2线性表示,

I9/111

H\11

也可由仇必线性表示，则）=（）

正确答案：D

知识点：第2章》第3节》第三节向量

参考解析：

设r+x2a2=.11区+乃百，则x1al+x2a2-y1/3l-y2^2=0

’12-2一讣fl003、

又回a-=21-50^010-1

、31-9-UI。o11>

故（王,、2，九必尸=c（TL-LT）ZeR

所以r=-c&+以4=c(-L—5,-8)T=—。(1，8尸=左QtB)3■，左c&

11.【填空题】

当zt0时，函数/（i）=or+而2+ln（l+工）与g（1）=e,-cosr是等价无穷小,则ab

我的回答:

正确答案：

知识点：第1章》第1节》第一节函数、极限、连续

参考解析：

i2i

./(x)Q+&+in(l+x)ax+bx+x--x+o(x)

lim------=lim--------------------------=--------------------------------------------=1

'f'g(x)fe'-COSTl+x*+O(X2)-[l-yX2+O(;,r*)]

可得，a+l=0,b-0.5=1.5,a=-l,b=2,ab=-2

曲线y=f，寸存di的弧长为_____

12.【填空题】）-6

我的回答：

正确答案：

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

v'=V3-x2,由弧长公式可得

1=J：.Jl+y'dx=J：\l4-x2dx—，-%皿>4cos2tdt

4

=1+cos2tdt-、月+一万

3

13.【填空题】

必

设函数rhz确定，则

z=z(x.y)e+xz=2x-y—£

ox（1」）

我的回答：

正确答案：

知识点：第1章》第4节》第四节微分学多元函数

参考解析:

e0+z+x经=2

两边同时对x求导：&&

,&&-d2zdzdzd2z

€~'-----F夕---H-------1----------FX-=

两边再同时对X求导：dxdxdx^dxdxdx^

孑二__3

将x=l,y=l带入原方程可推出交一2

14.【填空题】

曲线3/=喊+2/在工=1对应点处的法线斜率为一

我的回答：

正确答案：

知识点：第1章》第2节》第二节一元函数微分学

参考解析：

9x2=5y4-y'+6y2-y'

两边对x求导：

当x=l时，带入原方程可得y=l,

将x=l,y=l带人可得.卜”11

11

所以曲线在x=l处的法线斜率为一§

15.【填空题】

设连续函数/（工）满足：/（1+2）—/（工）=工,，2/（工）%=0,则

我的回答:

正确答案:

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

ff(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx

=J；+二f。+2)dx

=1/(x)去+£"(x)+幻小

二(/(x)去+//(X)去+卜去

1

2

16.【填空题】

叫+方=1

a011a1

工1+5+方=0有解,其中a,b为常数.若

方程组（1a1=4,则12a

11++©3=0

12aab0

叫+姐=2

我的回答:

正确答案:

知识点：第2章》第1节）第一节行列式

参考解析:

由已知

r(J)=r(J.Z>)<3<4

14bl=0

即

00111.1h01

|A,b|==—12(7+21a1=0

12ao…._

Me、abQ12a

ab02|r

1a1

L12o=8

咒+b0

17•【解答题】

2

设曲线L:y=y(X)(x>e)经过点(e,0),L上任一点P(x,j/)到y轴的距离等于

该点处的切线在y轴上的截距.

⑴求贝丁)；

(2)在L上求一点,是该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小,并求此最小面积.

我的回答：

知识点：第1章》第2节》第二节一元函数微分学

参考解析：

(D曲线L在点P(x,y)处的切线方程为Y-y=y(X-x),令X=0,则切线在y轴上的截距为Y=y-x『,

则x=y-xy*,解得，y(x)=x(C-lnx),其中C为任意常数.

又丫皆)=0,则C=2,故y(x)=x(2-lnx).

(II)设曲线L在点(x,x(2-lnx))处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为

r-x(2-hi.v)=(1—111K)(X-X)

故切线与两坐标轴所围成三角形面积为

1lxf

S(x)=—AT=—•-----x=------------

221nx-l2(bx-1)

3

x(2tax-3)S(x)=Ox=>

则”2(tax-l);，令，得驻点

3

S(M)=J

将驻点带入，最小值即为所求

x2

求函数/(X,y)=比-〃+—的极值.

18•【解答题】2

我的回答：

知识点：第1章》第4节》第四节微分学多元函数

参考解析：

/=产』=0，得驻点为：（一-1,而），其中k为奇数；（一巴丘），其中k为

/=xe0,(-siny)=O

偶

则

ew(-sin.v)

.60Vsin，+x/冈(-cosy)

带入（一。:匕T）,其中k为奇数，得AC®<0,故（-€）⑺不是极值点；

带入（一。,后T）,其中k为偶数，得AC®>。且A>0,故（一。未了）是极小值点,

/（-e,Kr）=-，为极小值

*

19•【解答题】

已知平面区域D={(x,y)|0(yW菽1薪2,121}.

（1）求D的面积;

（2）求。绕1轴旋转所成旋转体的体积.

我的回答:

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

d.（；W丁=m（/+i）

（||）旋转体体积

展『敌在"广西皆公=］广6一寻严丫="力

20•【解答题】

设平面有攀域D位于第一象队由曲线人y2』=u+八卬=2与直线y=岛,y=0用

成，计算口南二山也

我的回答：

知识点：第1章》第3节》第三节一元函数积分学

参考解析：

=阳外^4^---------J-------；—rdO=f1------------------；—hiJld6

Jo

，二一户(3cos，。+sin'8)Jo(3cos'e+sin®

［了11^1

=—hi2P----------；---------；—d8=—In2「-------——dtan6

2J0(3+tan*&)cos"02(3+tan~8)

tan0jn

=12"anRA/1?

2百

21•【解答题】

设函数/(x)在[—a,@上具有2阶连续导数.证明：

(1)若/(0)=0,则存在fW(-。,。),使得/"(f)=i[/(0)+/(-«)];

(2)若/⑶在(一％。)内取得极值.则存在"€(-a,o),使得|广时|>-L|/(a)-/(-a)|.

我的回答：

知识点：第1章》第2节》第二节一元函数微分学

参考解析：

(l)/(i)-/(0)+/,(0)x+^2xJ=/,(0)i4.£^i2，「介于。和X之间，

△a

则加卜了你+有乙,，0<6<a

/(a)=/(0)o+^2o:，-a<小<0

两式相加得：

又f"(x)在［qwJ上连续，利用介值定理得：存在r风力Ju(-aa),有

=r(n,带入得O<1/(。)+/(-喇

1Q

(II)

证明：设f(x)在xo€(dQ)取极值，目f(x)在x=Xo可导，则f[Xo)=0,又

/(x)=/(r.)*r(x,Xx-x.)*4P(x-x.)；,丫介于。与X之间，

£

则，JQ<Y1<O

£.

，

o<y2<a

从而Ra)-/(Y)H；(aTj/U)Y(a+xJ/