函数概念及其性质-2023年高考数学（新高考）（解析版）

专题05函数概念及其性质

函数概念及其性质

视

忽

点

使

用

零

分

段搞不

元

在

存

换

函

数

忽

定

性清复

法

的

单

新

理

和徐使合函

调

性

视

一

用

范数自

4换元法求解彳勺数值域时，≡力入新变量的£.攵错；

国

，、-变量

围

■.l,l,ɪ.,Il高端≡fr

司区间、判断i禺性时，容易.?范勺定义域致错;

点值致错

错

错致

3.研究分段函数的」致错容易忽略端JJ、致错；

4.求定义域中有零f罩析式时，容易忽略自变量0的函数fL

5.处理函数的单调性问题时，容易忽略混淆“单调区间”和“在区间上单调”而致错;

6.有关复合函数的问题，弄不清自变量而致错；

易磊合折

一、求函数的单调区间忽视定义域致错

1.函数y=d=+3x的单调递减区间为（）

3

2'+∞

C.[0,÷∞）D.（―8,—3]

【错解】选A令f=r+3χ,y=Yx2+3x是由y=3与f=∕+3x复合而成,又外层函数y

=3在[0,+8）上单调递增，内层函数-Λ2+3X在（一8,—上单调递减，在[―5，+o°）

上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知，函数y=d<+根的单调递减区间为

（ɜ]

【错因】没有考虑函数y=后3的定义域，

【正解】选D由题意，Λ2+3X≥0,可得入∙W-3或函数y=«/+3x的定义域为

（—8,—3]U[O,÷o°）.令∕=jr2÷3x,则外层函数y=W在[0,+8）上单调递增，内层函

数

/=∕+3X在（-8,—3]上单调递减，在[0,+8）上单调递增，所以，函数y=Λ∕x2+3x的单

调递减区间为（-8,—3].

二、判断函数的奇偶性忽视定义域致错

2.判断函数/ω=∣x+ι∣∖∕M的奇偶性：

【错解】∙.∙/(%)=k+1∣JW=Jk+fE=/1+")2£=

.,./(-%)=ʌ/l-(-ʃ)2=Vl-x2=f(x)，所以函数凡*)=∣x+1|

数。

【错因】没有考虑函数Xx)=

【正解】因为/U)有意义，则满足M2o,所以一ι<xWi,所以yu)的定义域不关于原点对

称，

所以火X)为非奇非偶函数.

三、有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错

f(x+l)2,x<l,

3.设函数yu)=J_r-则使得yu),ι的自变量X的取值范围为.

【错解】由已知及7U)21可得,(冗+1)221或4一5一121,

由(x+l)2>l0XW—2或x20,由4一山一121,即出一1W3,所以IWXWI0.

综上所述，X∈[L1O].

(x÷1)2,x<l,

【错因】没有考虑函数/》)=(4_尸(,x>i,的定义域，

【正解】因为/(X)是分段函数，所以人幻与I应分段求解.

当x<l时，y(x)》In(X+1)2'InXW-2或x20,所以xW-2或0Wx<l.

当x2l时，y(x)>1=>4-^∖∣χ-1>1,即出—IW3,所以l≤x<10.

综上所述，Λ∈(-∞,-2]U[0,10].

四、有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错

4.设“CR,己知函数尸本)是定义在[-4,4]上的减函数，且√(α+l)»2α),则α的取值范

围是()

A.[-4,1)B.(1,4]C.(1,2JD.C.(1,+∞)

【错解】•.j=1")是定义在[-4,4]上的减函数,且加+1)次2α),.∙.α+l<2α,解得l<o,选

D.

【错因】没有考虑函数y=〃x)的定义域，

【正解】：函数y=Ax)是定义在[-4,4]上的减函数，且加+l)=√(2α),.∙.-4Wα+l<2.W4,

解得l<a≤2,故选C.

五、有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错

x+1,x<∖,

5.已知函数4X)=,、在R上单调递增，则实数。的取值范围为________.

X—2cιx,x∙^1

【错解】要使yu)在R上单调递增，必须满足：.*x)在(一8,1)上单调递增，外幻

在(1,+8)上单调递增：又》21时，ʃ(ɪ)=X2-2ax+a2-cr-(x-a)2-a^,

作出大致图象如图所示.结合图象可知αWl,故实数”的取值范围为(-8,1].

【错因】没有考虑端点值2与1_勿的大小关系,

【正解】要使./U)在R上单调递增，必须满足三条：第一条：/U)在(一8,1)上单调递增;

第二条：<x)在(1,+8)上单调递增；第三条：(χ2-2ax)h=i2(x+l)k=i.—J

aWl,1Λ

作出大致图象如图所示.结合图象可知解得“W-5.-Z-i—

.1—2心2,R71

故实数”的取值范围为(一8,—ɪ.

六、有关奇函数的解析式忽视自变量O的函数值致错

6.己知定义在R上的奇函数y(x),当x>0时,y(x)=∕+χ-l,则函数凡r)的解析式为

【错解】设x<0,则一x>0,由题意可知,穴—x)=(-^x)2-∙χ^-1=x2-χ^-1,

因为/(x)是R上的奇函数，所以y(x)=~/(-x)=—x2+x+I.

Λ2+x-l,x>O

综上所述，f(χ)=∖

—x~+X+1,X<0

【错因】没有考虑自变量0的函数值，

【正解】设JVV0,则一X>0,由题意可知/(—x)=(—x)2—五一1=/一1—1,

因为HX)是R上的奇函数，所以yu)=~/(—x)=—/+χ+1,且负0)=0.

Λ2+Λ-1,Λ>0,

综上所述，危)=<0,X=O9

x2÷x+l,XV0.

七、使用换元法忽视新变量的取值范围致错

7.若|2*)=4*—2，，则贝X)=.

【错解】由题意，y(2x)=4'-∙2'=(2')2-2∙v,设f=2',则√(f)=r2-f,所以HX)=/—X.

【错因】没有考虑2'的取值范围，因为2'(大于零，所以f大于零，

【正解】由题意，∕2,)=4*—2'=(2x)2—2*,设r=2'>0,则式f)=>-j,00,所以述X)=X2-χ,

.v>0.

八、忽视零点存在性定理前提条件而致错

8.对于函数段)，若4—1/3)<0,则()

A.方程40=0一定有实数解B.方程KX)=O一定无实数解

C.方程KX)=O一定有两实根D.方程兀V)=O可能无实数解

【错解】因为《-1次3)<0,由零点存在性定理知函数y(x)在(-1,3)上必有零点，

故方程T(X)=O一定有实数解，所以选A。

【错因】零点存在性定理要求7U)的图象在区间[a,0上连续。

【正解】选D因为函数“r)的图象在(-1,3)上未必连续，所以尽管人一1加3)<0,

但方程段)=0在(-1,3)上可能无实数解.

9.若函数y=Λx)在区间俗，6]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()

A.若几2求份>0,则不存在实数c∈[a,句，使得火C)=O

B.若加皿0<0,则存在且只存在一个实数c∈俗，/?],使得火C)=O

C.若仙跟)>0,则可能存在实数c∈[a,句，使得<c)=0

D.若先幽V0,则可能不存在实数c∈[a,切，使得7(c)=0

【错解】选A,因为贝-2求2)>0,与零点存在性定理火4次力<0不符，所以不存在实数

C∈[.3,自，使得.c)=0o

【错因】零点存在性定理是T(X)在区间[a,夕上存在零点的充分不必要条件。

【正解】选C,取y(x)=x2—1,区间取为[-2,2],满足负-2加2)>0,但是式X)在[-2,2]内存

在两个零点一1,1,故A说法错误，C说法正确；取y(x)=sinx,区间取为去ɪ],满足信)

.产得)=：义(一；)=—(<0,但是,(r)在等]内存在三个零点兀，2π,3π,故B说法错误：

根据函数零点存在定理可知，D说法错误.

九、搞不清复合函数的自变量而致错

10.已知大犬2一[)的定义域为[0,3],则y(2χ-l)的定义域是()

【错解】选C（X2一］）的定义域为［0,3］,,∙.0≤Λ≤3,ΛO≤X2-1≤3,Λ1≤Λ-2≤4,

.∙.1WXW2或一2WXW-1,所以1W2X-1W2或一2W2x—1W-1,

3.1则火2χ-l)的定义域是1,∣1∪-ɪ,θ

所以1≤x≤—或一一≤x≤0,

22

【错因】搞不清复合函数的自变量是哪个，f(x2-l)的定义域为。3],是说0≤xW3.

【正解】选B∙.√(χ2一])的定义域为Q3],Λ0≤x≤3,Λ-1≤Λ2-1≤8,即./U)的定义域

为

9「91

[-1,8].；.在y(2χ-1)中一l≤2χ一l≤8,Λ0≤x≤2,即函数4入-1)的定义域为[θ,爹.

十、搞不清函数图象左右平移规则而致错

10.将函数)，=大一X)的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.

【错解】y=A—X)的图象向右平移1个单位长度，根据左加右减的原则，可知得到函数—

x—1)的图象。故答案为y=A-χ-l)

【错因】函数图象左加右减变换针对的是自变量X,

【正解】N=K-X)的图象向右平移1个单位长度，根据左加右减的原则，可知得到函数

/[—(x-l)]=∕(-x+l)的图象，故答案为y-√i-.t+l)

易命败遹关

1.已知函数y(x)=ev-er+χ3+3,若加)=5,则_/(-“)=()

A.2B.IC.-2D.-5

【答案】B

【解析】设g(x)=Λx)-3=et-e-jr+x3,则g(-χ)=e~jc-et-χ3=-(ex-e-x+x3)=—g(x),

所以g(x)是奇函数.因为g(α)=7(α)-3=2,所以g(一4)=/(—“)一3=—2,则>/(一“)=1.

2.若函数y=∕(x)的定义域是⑹2],则函数g(x)=售的定义域是()

A.[0,1]B.[0,1)

C.[0,l)U(1,4]D.(0,1)

【答案】B

H2χ)[0≤2x≤2,

【解析】根据已知可得函数g(x)=I的定义域需满足解得0Wx<l,即函数

Ll[x≠l,

的定义域是[0,1).

3.函数y=lg(x+l)-l的图象可以由函数y=lgx的图象()

A.上移1个单位再左移1个单位得到B.下移1个单位再左移1个单位得到

C.上移1个单位再右移1个单位得到D.下移1个单位再右移1个单位得到

【答案】B

【解析】令火X)=IgX,则有/(x+l)-I=Iga+1)-1.明显地,对于函数y=lg(x+l)-l的图

象，可以由函数y=lgx的图象向下移一个单位再向左移一个单位得到，故选B.

4.若a<b<c,则函数7U)=(χ-α)(χ-i>)+(χ-6)(X—c)+(χ-c)(χ-“)的两个零点分别位于区

间()

A.(«,b)和(6,C)内B.(—8,α)和(α,Z?)内

C.(⅛>C)和(c,+8)内D.(—8,q)和(c,÷∞)

【答案】A

"

【解析】'.a<b<c,.*.∕(a)=(a~b)(a~c)>0,fib)=(b-c)(b—«)<0,J(c)=(kc~a)(c~b)>0,由

函数零点存在性定理可知：在区间(α,b),(b,C)内分别存在零点.又函数./U)是二次函数，

最多有两个零点，因此函数兀¥)的两个零点分别位于区间(“，〃)，S,C')内.

5.函数OX)=Λ∕3+2X-/的单调递增区间是()

A.(-∞,I]B.[1,+∞)

C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】D

【解析】设z=3÷2χ-X2,则y=S，由3+2x—/20,解得一∣w%≤3,由于z=3+2χ-

X2在［一Ll］上单调递增，在(1,3］上单调递减，又y=/在定义域上单调递增，可得/U)=

、3+2x—X2的单调递增区间为［一LU.

6.已知"x)=8+2r-昌若g(χ)=42-/2),则g(∕)()

A.在区间(一1,0)内是减函数B.在区间((U)内是减函数

C.在区间(一2,0)内是增函数D.在区间(0,2)内是增函数

【答案】A

【解析】«r)=8+2x—X2在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

/=2一/在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，根据复合函数的单调性：

当χ∈(-8,—1)时，∕∈(-∞,1),函数g(x)单调递增：

当x∈(-10)时，f∈(l,2),函数g(x)单调递减；当x∈(0,l)时,r∈(l,2),函数g(x)单调

递增：

当x∈(l,+∞)B+,r∈(-∞,I),函数g(x)单调递减.

fx÷1,x20,

7.已知函数y(x)=则函数∕u+2x)的图象是()

Lx,Λ<0,

土小4、

ABCD

【答案】B

【解析】由题意得，当1+2x20,即x2一g时，Λ1+2X)=2+2Λ

当1+2ΛV0,

〔2x+2,X

即XV-T时，y(l+2x)=-2χ-l,所以川+Ze)=，

ɪ故选B.

［-2Λ-1,

x<-2'

UOgd,0<x<l,

8.已知函数T(X)=L满足对任意即≠X2,都淮叫羡与成立'则实

［(44I)X十2。,X31

数”的取值范围是()

A(O,£)B(O,IC(O,£jD.(I,+∞)

【答案】B

X∖—X2

O<α<l,

所以函数Kr)在定义域内单调递减，所以，4。一1<0,解得0<aw∖.

.logα15≈(4a-l)∙l+2<7,

9.设函数y="r)的定义域为R,则函数y=y(χ-3)与函数y=y(l—x)的图象关于()

A.直线y=l对称B.直线X=I对称

C.直线y=2对称D.直线x=2对称

【答案】D

【解析】设函数y=_/U—3)的图象上任意一点P(X0,和)，则yo=∕(xo-3),且P(X°,泗)关于直

线x=2的对称点为Q(4—Xo,yo).又函数y=∕(l-X)中，当x=4一超时，j'=∕[l-(4—X))]=

J(xo-3),所以。(4一的，州)在y=∕(l—∙χ)的图象上.故函数y=y(χ-3)与函数了=火1—x)的图

象关于直线x=2对称，故选D.

3e-χ≤0,

10.已知函数y(x)=；、'八若Ha2-3)利-2a),则实数a的取值范围是()

—4x÷3,x>0,

A.(-∞,1]B.(~∞,-3]U[I,+∞)

C.(-∞,1]U[3,+∞)D.[-3,1]

【答案】D

【解析】当XWO时，於)=31*单调递减；当x>0时，贝》)=—4x+3单调递减.

又3e0=-4X0+3,则函数y=«x)在R上连续，则函数y=Λχ)在R上单调递减.

由式。2—3)至/(—2a),可得“2—3W—2a,即/+2a—3W0,

解得一3WaWL因此，实数a的取值范围是[-3』.

11.已知函数加v)=P°g"'°："’、满足对任意X1≠X2,都有曲上也<0成立，则实

[(4a-l)x+2a,Gl制一及

数a的取值范围是()

A(O,ɪ)B(O,IC(O,£)D.(I,+∞)

【答案】B

【解析】因为函数对任意由#X2,都有蚱黑<。成立,

∖0<a<∖f

所以函数兀r)在定义域内单调递减，所以卜a-l<0,解得0<a].

l∣ogdl≥(4^-1)1+2«,

12.已知函数yu)=5一则不等式y(2%2)+y(x—D>O的解集是()

A.(-8,—i)u&+ooJB.f—1)C.(-8,—£)U(1,+∞)D.(-1,T

【答案】D

【解析L/U)的定义域为R,且—X)=5=-yu),所以XX)为奇函数.由于“>1,所以

"r)在R上递减.由NZr2)+Kr-I)>0,得√(2x2)>-/(X-I)=ʌl-χ),所以2r2<l-χ,即2/

÷χ-1=(2χ-1)(x÷1)<0,解得一所以不等式的解集是(一1,；).

13.某单位计划建一矩形场地，现有总长度为IOOm的可作为围墙的材料，则场地的面积

S(单位：πf)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为.

【答案】S=Λ(50-X)(0<Λ<50)

【解析】由于场地的长为Xm,则宽为(50—x)m,由题意得S=x(50-x).易知x>0,50-x

>0,所以自变量X的取值范围为0<x<50.故所求函数的关系式为S=Λ(50-X)(0

<Λ<50).

14.已知函数_/U)=/—2办+人是定义在区间[—2238—1]上的偶函数，则函数I幻的值域为

【答案】[L5]

【解析】∙∙7(χ)为偶函数，.∖A-χ)=Aχ),即4=0.又Tu)的定义域为[一26,3/7-1],

：.-2⅛+3⅛-1=0,解得⅛=l.Λ∕x)=x2+l,x∈[-2,2],Λ函数贝x)的值域为口⑸.

15.已知函数T(X)满足D+.(W^9=l+χ,其中XeR且XW0,则函数>(χ)的解析式为

【答案】y(χ)=∣-