专题一二次函数

专题一二次函数[差不多知识]二次函数的图象和性质；二次函数、二次不等式、二次方程的关系。[例题]例1、假如函数在区间上有最小值，那么实数的值为（）A、2B、C、D、例2、已知二次函数的最大值为3，求的值。例3、二次函数且时，当时，恒成立；（1）求之间的关系；（2）当时，是否存在实数，使得在区间上是单调函数？若存在，求出的范畴，若不存在，说明理由。例4、设二次函数，方程的两根为，满足；（1）当时，证明：（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。[练习]1、二次函数（I）用定义证明：当时，在上是减函数；（II）当时，在上是否存在一个使得；（III）若且上，恒成立，求的取值范畴。集合设全集，集合，集合，则的真子集共有个。已知集合，则（）A、B、C、D、已知全集I=R，集合，那么（）A、B、C、D、4、已知集合，若，则实数（）A、B、C、D、全集为R，（a为常数），且则（）A、B、C、D、已知集合，且，则实数m组成的集合是设全集，集合，那么等于设集合，则集合Q的元素个数为定义，若，则=10、某中学高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，求既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值。专题二：抽象函数[差不多知识]抽象函数的差不多模型。抽象函数的性质。抽象函数的求解方法。[例题]1、（1）设函数定义在实数集上，函数与的图象关于（）A、直线对称B、直线对称C、直线对称D、直线对称（2）设是R上的奇函数，则函数是R上的函数；是R上的函数。（3）假如奇函数在在区间[3，7]上是增函数，那么在区间[-7，-3]上是（）A、增函数且最小值为-5B、增函数且最大值为-5C、减函数且最小值为-5D、减函数且最大值为-5（4）设函数定义域为R且满足：1）；2）；3）3）且；4）（5）设是R上的奇函数，，当时，，则等于（）A、B、C、D、2、设函数的定义域为R，并满足条件：存在，使得，又对任何成立，证明：（1）；（2）对任何都成立。3、已知函数的定义域为，且对任意，恒有；（1）证明：当时，；（2）若时，恒有成立，则必有反函数；（3）设是的反函数，则在其定义域内恒有成立。4、设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且；（I）求，（II）证明是周期函数；（III）记，求。练习：1、已知是定义在[-1，1]上的奇函数，且，若有；（I）证明是[-1，1]单调函数；（II）解不等式。2、定义在上的函数，对任意的都，当且仅当时，成立；设，求证：；（2）设，若比较的大小；（3）解不等式专题四：函数[差不多知识]1、的性质和图象。2、性质的应用。[例题]例1、（1）设函数的图象如图所示，则的范畴是（）A、B、C、D、（2）函数的值域为知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意横成立，试求实数的取值范畴。例3、已知函数（1）解不等式（2）设时，的最小值为6，求的值。例4、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上、下各留8空白，左右各留5空白，如何样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？假如要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？练习：1、设定义域为的奇函数是增函数，若当时，求的取值范畴。2、已知，函数；（1）当时，若对任意都有，证明：；（2）当时，证：对任意，的充要条件是；（3）当时，讨论：对任意，的充要条件。3、已知二次函数：的图象与轴有两个不同的公共点，若，且时，；（1）比较与的大小；（2）证明：；（3）当时，求证：4、二次函数若的根在内，（1）求证：；（2）（3）若有一个根为，且当时，的最大值为M，求证：。5、已知（1）若，在上的最大值为2，最小值为，证明：且。（2）若，是满足的实数，且对任意的实数均满足，证明：。高考数学填空题如何填填空题是数学高考的三种差不多题型之一，其求解方法分为：直截了当运算推理法、赋值运算法、规律发觉法、数形互助法等等.解题时，要有合理的分析和判定，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的差不多要求.下面将按知识分类加以例说.函数与不等式例1已知函数，则讲解由，得，应填4.请摸索什么缘故不必求呢？集合的真子集的个数是讲解，明显集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.快速解答此题需要记住小结论;关于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是若函数的图象关于直线对称，则讲解由已知抛物线的对称轴为,得，而，有，故应填6.假如函数，那么讲解容易发觉，这确实是我们找出的有用的规律，因此 原式＝，应填 本题是2002年全国高考题，十分有味的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得三角与复数已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.讲解由已知得从而角的终边在第二象限，故应填二.不等式（）的解集为.讲解注意到，因此原不等式可变形为而，因此，故应填假如函数的图象关于直线对称，那么讲解，其中.是已知函数的对称轴，，即，因此故应填. 在解题的过程中，我们用到如下小结论： 函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则讲解应用复数乘法的几何意义，得，因此 故应填例9设非零复数满足，则代数式的值是____________. 讲解将已知方程变形为，解那个一元二次方程，得 明显有,而,因此 原式＝ ＝ ＝ 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.数列、排列组合与二项式定理例10已知是公差不为零的等差数列，假如是的前n项和，那么 讲解专门取，有，因此有故应填2.数列中，,则 讲解分类求和，得 ，故应填．有以下四个命题：①②③凸n边形内角和为

④凸n边形对角线的条数是其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是.讲解①当n=3时，，不等式成立；当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则；③，但假设成立，则④，假设成立，则故应填②③.例13某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999.若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为. 讲解中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，因此中奖面为 故应填的展开式中的系数是讲解由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有故应填1008.4.立体几何例15过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上，那个球的表面积是________.讲解长方体的对角线确实是外接球的直径,即有从而，故应填例16若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）．讲解本题是一道专门好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是如何样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形状，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后运算出这三个四面体的体积分别为：,,，故应填.、、中的一个即可.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)ABDCEFA1B1C1D1讲解因为正方体是对称的几何体，因此四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也确实是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图eq\o\ac(○,2)所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影明显是一条线段，如图eq\o\ac(○,3)所示.故应填eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3).解析几何例18直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.讲解由消去y，化简得设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则故应填.例19椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.讲解记椭圆的二焦点为，有则知 明显当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 故应填或例20一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范畴是___________.讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，同时圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 由消去x，得（*）解出或 要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即 再结合半径，故应填填空题的类型一样可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断显现.因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能预备.高考数学选择题如何选解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”，该算不算，巧判关.因而，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对比选支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择巧法，以便快速智取.下面按知识版块加以例说.函数与不等式已知则的值等于().A.0B.C.D.9讲解由,可知选C.例2函数是单调函数的充要条件是().A.B.C.D.讲解抛物线的开口向上,其对称轴为，因此有是递增区间，从而即应选A.例3不等式的解集是（）.A.B.C.D.讲解当与异号时，有,则必有，从而，解出，故应选A.关于函数，有下面四个结论：（1）是奇函数；（2）当时，恒成立；（3）的最大值是;(4)的最小值是.其中正确结论的个数是（）. A.1个B.2个C.3个D.4个 讲解由是偶函数，可知（1）错； 又当时，，因此错（2）; 当，故（3）错； 从而对比选支应选A.2.三角与复数例5假如函数y=sin2x+acos2x的图象关于ｘ＝对称，则ａ＝（）.A.B.－C.1D.－1讲解因为点（0，0）与点（，0）关于直线ｘ＝对称，因此ａ必满足：sin0+acos0=sin（）+acos（），解出ａ＝－1，从而能够排除A，B，C.，故应选D.例6在内，使成立的的取值范畴是（）．A.B.C.D.讲解将原不等式转化为由，知，从而，故应选C.事实上，由明显满足，从而否定A,B,D,故应选C.亦可在同一坐标系中，作出函数和在上的图象，进行直观求解．例7复数在复平面上对应的点不可能位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限讲解由无解，可知应选A.亦可取特值进行排除．事实上记复数对应的点为P．若取，点P在第二象限；若取，则点P在第三象限;若取，则点P在第四象限，故应选A.例8把曲线先沿轴向右平移个单位，再沿轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）．A.B.C.D.讲解对作变换得即． 故应选C. 记住一些运动变换的小结论是有效的．本题是函数向方程式的变式，较为新颖．3.数列与排列组合由给出的数列的第34项是().A.B.100C.D.讲解对已知递推式两边取倒数,得即. 这说明数列是以为首项,3为公差的等差数列,从而有 即故应选B. 构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法,值得我们重视. 例10一种细胞，每三分钟分裂一次（一个分裂为两个），把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满；假如开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时刻为（）. A.57分钟B.30分钟C.27分钟D.45分钟 讲解设容器内细胞共分裂n次，则，即从而共花去时刻为分钟，故应选A. 例11从正方形的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）. A.8种B.12种C.16种D.20种讲解采纳补集思想求解.从6个面中任取3个面的取法共有种方法，其中三个面交于一点共有8种可能，从而满足题意的取法共有种，故应选B.请读者摸索：关系式：的含义是什么？ 4.立体几何AFDECB例12如图，在多面体ABCDEFAFDECB正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）A.B.5C.6D.讲解本题的图形是专门规的多面体，需要对其进行必要的分割.连EB、EC，得四棱锥E―ABCD和三棱锥E―BCF，这当中，四棱锥E―ABCD的体积易求得,又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积，因此不必运算三棱锥E―BCF的体积，就可排除A，B.，C.，故应选D.“体积变换”是解答立体几何题的常用方法，请予以关注.例13关于直线以及平面，下面命题中正确的是（）.若则若则若且则若则讲解关于选支D,过作平面P交平面N于直线，则，而从而又故应选D. 请读者举反例说明命题A,B,C,均为假命题.解析几何例14过抛物线ｙ＝ｘ2（ａ>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则＝（）.A.2ａB.C.4ａD.讲解由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，的值差不多上的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝，因此=，故应选D.例15点P到曲线（其中参数）上的点的最短距离是（）.A.0B.1C.D.2讲解由两点间的距离公式，得点P到曲线上的点Q的距离为当时，故应选B.将曲线方程转化为，明显点P是抛物线的焦点，由定义可知：抛物线上距离焦点最近的点为抛物线的顶点，故应选B.例16已知椭圆=1(a＞b＞0)，双曲线=1和抛物线y2=2px(p＞0)的离心率分别为e1、e2、e3，则().A.e1e2＞e3B.e1e2＝e3C.e1e2＜e3D.e1e2≥e3讲解故应选C.例17平行移动抛物线，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点的距离比到y轴的距离多，如此得到的所有抛物线所通过的区域是A.xOy平面B.C.D.讲解我们先求出到点的距离比到y轴的距离多的点的轨迹.设P（x,y）是合条件的点，则，两边平方并整理得再设平移后抛物线的顶点为，因此平移后抛物线的方程为按a整理得.，化简得.故应选B.综合性性问题例18某电脑用户打算使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，依照需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A.5种B.6种C.7种D.8种 讲解设购买单片软件片,磁盘盒,由题意得 经检验可知,该不等式组的正整数解为: 当时, 当时,当时,总共有7组,故应选C.例19银行打算将某资金给项目