2023届高考数学二轮复习 6 平面向量 二级结论讲练 学案

专题6平面向量

二级结论1：极化恒等式

【结论阐述】

(1)极化恒等式：α∙*=^[(α+⅛)2-(α-6)2];

(2)极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCO中，4B∙AD=1(∣AC∣2-∣BD∣2),即向量的数量

积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与"差对角线”平方差的;；

4

(3)极化恒等式三角形模型：在AABC中，M为边BC中点，贝!]；AB-AC^∖AM^-^BC^.

说明：(1)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；

(2)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值(定值)、最值、范围等问题.

【典例指引11

(2022.甘肃.高台县第一中学模拟预测)

1.如图，在AABC中，。是BC的中点，EF是A,Z)上的两个三等分点，BACA=4>BFCF=T,

,UUlUUI,,L

则BE∙CE的值是.

2222

【详解】因为&4∙G4=(l4C-∙AQ)∙(.13C-AD)=4AD-BC=36FD二BJ=

2244

M∙b=(PCTAAj9。一3。)=^^=一1，

，22-2∙2

因此尸£),=H，BC2=3,BEcE=(LBC-EDM-'BC-ED)="*。-品=16fDBC=]_.

8222448

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的

数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及

中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解.

【典例指引2]

2.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA.(PB+PC)的最小值是

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.

【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A(0,省)，8(T,0),C(l,0),

设尸(x,y),则尸A=(-x,6-y),PB=(-]-x,-y),PC=(I-X,-y),

则PA.(PB+Pe)=2X2-2√3y+2√=2[x2+(y-ɪ)2-

.∙.当X=0,),=立时，取得最小值2x(-5=-],

242

故选：B.

【针对训练】

(2022•山东日照市•高三二模)】

3.如图，在平行四边形A8CZ)中，己知A8=8,AD=5,CP=3PO,APBP=2,则ABAO的值是()

P

DC

A------------------------B

A.44B.22C.24D.72

【答案】B

【分析】以｛A氏A。｝为基底分别表示出ARBP,再利用平面向量数量积的运算律即可解出.

【详解】因为“=3PD,所以AP=AQ+QP=A3+1A3,

4

一1一一3一

BP=AP-AB=AD+-AB-AB=AD——AB,而AP加=2，所以，

441

22

^AD+iAB^AD-∣Aβj=2,化简得：5-∣ΛB∙ΛD-^×8=2,即A8∙AO=22∙

故选：B.

（2022•河北武强中学高三月考）

4.如图，在平面四边形ABC。中，。为8。的中点，且04=3,0C=5.若AB∙AO=-7,BCDC

的值是.

【答案】9

【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用48∙AD=(AO+OB)∙(AO+OO),求出

∣0B∣=∣0D|=4,再利用BC∙OC=(BO+OC)∙(OO+OC),运算可求出结果.

【详解】在平面四边形ABC。中，。为80的中点，⅛OΛ=3,OC=5,.∙.OB+OD^O^AB-AD=-I，

则

2)22

2

(AO+OB)(AO+OD)=AQ+AOOD+AOOB+OBOD=AO'+OA(OD+OB)-OB'=3-OB

2

=-7,∙0β^ι6,.∙,∣OB∣=∣ODI=4,

:.BCDC=(Bo+OC)(DO+OC)=BO∙DO+BO∙OC+OD∙OC+OC=

-BO'+OC(BO+OD)+OC=4+0+5-=9.

故答案为：9

【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.

（2022•全国福建省漳州市高三期末）

5.在ΔABC中，：A8+AC∣=∣A8-AC∣,AB=2,AC=1,E,尸为8C的三等分点，则AEAF=

A8>0C2526

A.-Or.--Vz.U.

9999

【答案】B

【详解】试题分析：因为kB+AC∣=∣AB-4C∣,所以ABLAC,以点A为坐标原点，A8,AC分别为

x,y轴建立直角坐标系，AB=(2,0),AC=(0,1),又£,尸为BC的三等分点所以，

AE*Wmi),所以AEgl},J{I'I>与,故选B∙

考点：平面向量的数量积.

【一题多解】若∣A8+AC∣=kB-44,贝!)Aβ2+Ac2+2AB∙AC=ΛB2+Ac2-2Λβ∙AC,

即有AB∙AC=O,EF为BC边的三等分点，则

AE∙AF=(AC+CE)∙(A8+BF)=(AC+gcB)(A8+；BC)=CAC+gA8)(gAC+gA“

r)222521()

=-AC^+-Aβ^+-Aβ∙ΛC=-(l+4)+0=-,⅛½B.

99999

(2022・海南海口•二模)

6.在正三角形ABC中，点E,F是线段AB,AC的中点，点P在直线E尸上，若三角形ABC的面积为2,

则PC-PB+BC2的最小值是

【答案】迫

22

【分析】取BC中点。，由题意，计算得DC'=量I,A4BC的高为正BC,数形结合可知，Pz)的

32

最小值为APBC的高近8C,利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为

4

PC-PB+BC2=(PD+ɪBCjIPD-ɪBC^∣+BC=PD2,代值计算.

【详解】取BC中点。，由正ZVWC的面积为2,

'.S=--BC2-sin-=2=>BC2=—,

abiicc233

△4BC的高为〃=BC∙sin工=@,

32

数形结合得，PO的最小值为的高，即PQ≥L=正BC,

24

所以PO2≥∙^BC∖所以尸C∙PB+8C2=(PO+JBC)(PD-IBC]BC2

PD2-LBC^+BC2=PD2+-BC2>—BC2+-?-星空—.

4416431632

故答案为：—

2

A

（2022•南通期末）

7.在面积为2的,.ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点P在直线E尸上，则足.明+潴?的

最小值是.

【答案】2√3

【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得∣P8∣∙∣PC∣=而幼不，由平面向量数量积的运

LinnUUrɔme/RPCCd—4rnc/RPC

算可得PCPB="嗡=，由余弦定理结合基本不等式可得忸q-≥4J,进而可得

sinZ.BPCsinZBPC

,

ULKlULrLIL1Πɔ4—DCCq/RP（~4—2CCqY

PC∙PB+BC≥4号，令fW=X∈（0,乃），利用导数求得/O）的最小值后即可得解.

sinZ.BPCSinx

【详解】因为E、尸分别是AB、AC的中点，

所以E尸到BC的距离等于点A到BC的距离的一半,

所以SABC=2SPBC，

又SA时=2,所以SM=I=JPBHPq.sin/BPC,

2UlInUlr2cos/BPC

因此IPBHPq=所以PCPB=IPBHPC|∙cosZBPC=

sinZBPCSinZBPC

又由余弦定理可得：忸q2=∣PBf+∣Pef-2∣PBHPq∙cos∕BPC

4-4cosABPC

≥2∣PB∣∙IPC∣-2∣PB∣∙IPC∖cosNBPC=

SmNBPC

当且仅当I尸BI=IPc时，取等号;

Uimuiruni、2cos/BPC4-4cosZ.BPC4-2cos/BPC

所以PC∙P8+3C≥----------------1--------------------

SinNBPCsinZBPCSinZBPC

令X=NBPC,/(x)=4~2c0s^,X∈(0,Λ-);

Sinx

2sin2x-(4-2cos%)cosX2-4cosx

又f,M=

sin2xsin2x

Iτr1rr

由/'（x）>0得CoSX<5,所以1<x<Λ∙;由f'（x）<O得CoSX>5，所以0<x<§；

所以/（X）在（0,5）上单调递减，在（?，乃）上单调递增；

2

因此品我+胎的最小值是2√L

故答案为：2#.

【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解

能力与转化化归思想，属于中档题.

(天津高考)

.__.__3

8.如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,B.AD=XBC,ADAB=-一,则实数/1

2

的值为,若M,N是线段BC上的动点，且IMNl=I,则。M∙ON的最小值为.

【分析】可得NB4。=120,利用平面向量数量积的定义求得/1的值，然后以点B为坐标原点，BC所

在直线为X轴建立平面直角坐标系，设点M(X,0),则点N(x+l,0)(其中04χ≤5),得出。M∙ON

关于X的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DMDN的最小值.

【详解】AD=ABC,AADHBC,.-.ZBAD=ISO-ZB=120»

ABAD=ABC-AB=λ∖BC∖∙∣AB∣cos120

=λχ6x3x(—g)=-9λ=—g,

解得4=g,

6

以点8为坐标原点，BC所在直线为X轴建立如下图所示的平面直角坐标系XBy,

BC=6,.∙.C(6,0),

VIAβ∣=3,ZABC=60o,.∙.A的坐标为A

VXVAD=-BC,^∖D,设M(X,O),贝IJN(X+1,0)(其中0≤x≤5),

6J

DM≈fx-ɪ,--1,DN=(x--

I22JI2~2^

113

故答案为：：；v∙

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力,

属于中等题.

二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件

【结论阐述】设。为A4BC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为“，b,,贝U

（1）。为ΔA8C的外心

Olod=画=Ioq=^∙^O（0A+0B）∙A8=（0B+0C）∙8C=（0A+0C）∙AC=O.

（如图1）

（2）如图2,。为AABC的重心=OA+OB+OC=0∙

（3）如图2,。为AABC的垂心=04∙0B=0B∙OC=OC∙0A∙

（4）如图3,。为AABC的内心oaOA+hOB+cOC=0osinA∙OA+sinB∙OB+sinC∙OC=O.

说明：三角形"四心”---重心，垂心，内心，外心

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心一角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.

【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.

【典例指引1】

9.在,ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是（）

A.满足IoAl=IOBI=IOCI,则点。是,ABC的外心

B.满足NA+NB+NC=O,则点N是ABC的重心

C.满足PA.P8=P8∙PC=PC∙PA，则点P是ABC的垂心

D.满足（黑Afi+*ΛΓ）BC=0,且A*R_.A上C==1，则ABC为等边三角形

∖AB∖∣AC∣IABIlACl2

【答案】ABCD

【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC,用向量的数量积和运算律判断

D即可.

【详解】解：对于A,因为IOAl=IO8∣=∣OC∣,所以点。到ΛBC的三个顶点的距离相等，所以。为

ABC的外心，故A正确；

对于B,如图所示，。为8C的中点，由NA+NB+NC=0得：2ND=-NA所以IANl:|NO|=2:1,所

以N是:ABC的重心，故B正确；

对于C,由P4∙PB=P8∙PC得：（PA-PC）∙PB=O,即AC∙PB=O,所以AC，PB;同理可得：ABVPC,

所以点尸是ABC的垂心，故C正确；

ΛD

对于D,由（含+告ABC=。得：角A的平分线垂直于8C,所以AB=AC；

∣AB∣∣AC∣

由"工=:cosλ='所以A=J,所以一ABC为等边三角形，故D正确.

IAB∣IACI223

故选：ABCD.

【典例指引2]

10.已知SA民C是平面上的4个定点，48,C不共线，若点尸满足OP=Q4+A3+AC）,其中

2wR,则点P的轨迹一定经过.ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【分析】设BC边的中点为。，则4B+AC=24O,进而结合题意得AP=2∕U。，再根据向量共线判

断即可.

【详解】解：根据题意，设BC边的中点为£>,则AB+AC=2AO,

因为点尸满足OP=OA+彳(A8+AC),其中XeR

所以，QP-OA=AP=∕l(Aβ+AC)=2∕lAP,即AP=2∕lAO，

所以，点P的轨迹为:ABC的中线AQ,

所以，点尸的轨迹一定经过，43C的重心.

故选：A

【针对训练】

11.在4ABC中，A8=3,AC=4,BC=5,。为△ABC的内心，若AO=/UB+MBC,则4+〃=()

ʌ2c3c5c3

A.—B.-C.-D.一

3465

【答案】C

【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.

【详解】由A0=∕M8+"8C得AO=4(QB-Q4)+〃(OC-OB),

贝IJ(I-∕l)Q4+(∕l-〃)03+∕QC=0,

因为0为4A8C的内心，所以忸qQ4+∣AC∣Q3+∣ABQc=O,

从而(1-4)：(力-〃)：〃=5：4:3,

715

解得力=/，//=4,所以2+〃=?

1246

故选：C.

12.已知。是平面上的一、个定点，4、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

ABAC

OP=OA+λ+(2eR),则点P的轨迹一定经过ABC的()

HM7

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P轨迹.

【详解】因为网为AB方向上的单位向量，网为AC方向上的单位向量,

ΔΩΛΓ

则*_+的方向与/B4C的角平分线一致，

∖AB∖∖AC∖

C\

由Op=OA+4普+生,可得OP-QA=Zl当+生，

ABAC

即AP=A+l——Γ

所以点P的轨迹为/84C的角平分线所在直线，

故点P的轨迹一定经过ABC的内心.

故选：C.

13.设G为.ABC的重心，若AB=2,BC=2√3,AC=A,则AG∙BC=

【答案】4

【分析】由G为ASC的重心，易得AG=g(AB+AC),又BC=AC-A8,结合数量积运算律即可得到结

果.

【详解】由已知可得，ΛBC是以B为直角顶点的直角三角形，

因为G为ABC的重心，所以AG=IM=2∙A8+AC=1(GB+AC),

3323'

.,.AG∙BC=g(A8+4C)∙(AC-砌=g

BC=AC-AB>IACI2-IAB∏I4

故答案为：4

14.设。为ABC的外心，若AB=4,BC=2y∣3,则5。AC

【答案】-2

【分析】根据条件和几何意义，将B0.AC转化为相应的向量投影即可求解.

【详解】如图，

A

设。、E分别为AB,BC的中点，则OWAB,OE1BC,

所以80.AC=BO.(BC-BA)=BO-BC-BO-BA=|叫叫COSZOBC-|叫.网∙cosZOBA

=|螂网-网I阿W国(彳网2一,

故答案为：-2.

15.设/为,.ABC的内心，若AB=2,BC=2后，AC=A,则A∕∙BC=

【答案】6-2G

［分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.

【详解】解法1：不难发现，ABC是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆/与A3、AC、8C分

别相切于点力、E、F，设圆/的半径为r,则/O=/E=/F=r,显然四边形BDIF是正方形,所以Q=8F=r,

从而AD=2-r,CF=2√3-r,易证AE=A£>,CE=CF,所以Λf=2-r,CE=2√3-r,故

AE+CE=2+2√3-2r=4C=4,从而r=6-1,AD=2-r=3-√3>

A/-BC=A/-(AC-AB)=A/∙AC-A/∙AB=∣A∕∣-∣AC∣∙cosZMC-∣A∕∣∙∣AB∣-cosZZAS

=IA£|.|Acl-M∙∣Afl∣=M(IAqTAβ∣)=2∣43∣=6-2G.

故答案为：6-2√5.

解法2：按解法1求得；ABC的内切圆半径r=∕-I,由图可知A/在BC上的投影即为百-1，

所以A∕∙8C=(√5-1)X2√5=6-2√5.

二级结论3:奔驰定理

【结论阐述】奔驰定理：设。是AABC内一点，ΔBOC,MOC,AAOB的面积分别记作枭，SB,SC

则当QA+SBOB+SLOC=。.

说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

①。是ΔASC的重心OSjSB:Sc=1:1:1OA+OB+OC=0-

②。是ΔASC的内心o枭：SB：Sc=ɑ:h:cOɑ0A+b0B+c。C=0.

③0是ΔABC的外心oSA：S8：Sc=sin2A:sin28:sin2Cosin2A•04+sin2B•0B+sin2C•0C=0.

④。是MBC的垂心OSA:S":Sc=tanA:tan8:tanCOtanAoA+tan8∙OB+tanC∙OC=0∙

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.

【典例指引1】

(2022・四川西昌•高二期末)

16.在平面上有ABC及内一点O满足关系式：S04+SMAL03+S/"OC=O即称为经典的“奔

驰定理“，若，ABC的三边为4,b,c,现有α∙O4+RO8+c∙OC=0则。为ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】利用三角形面积公式，推出点。到三边距离相等。

ah

【详解】记点。到AB、BC、CA的距离分别为%h2,⅛,S0BC=~'2>SMr='1力"，SOAB=

因为SM0C∙C¼+SACMC∙O3+SACM8∙OC=O,贝∣jgG∕b∙QA+gb∙∕¾∙OB+gc∙Λ3∙OC=0,即

α∙A2∙QA+%∙∕⅛∙OB+c∙%∙OC=0,又因为“∙QA+∕>∙OB+c∙OC=0,所以％=也=%，所以点尸是△ABC

的内心.

故选：B

【典例指引2】

17.设G是AABC重心，且(56SinA)GA+(40SinB)GB+(35SinC)GC=O,则/3=.

【答案】J

【分析】将重心G满足的向量关系式代入己知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再

由平面向量基本定理，得到对应系数为0,最后利用正、余弦定理求解.

【详解】如图，设.ABC三边AB中点为，G是ASC的重心,

-.GA=-^AD=-^AB+AC）,

一1一.1

同理可得，GB=——(BA+BC),GC=——(CA+CB),

33

.∙.G4+G8+GC=0,即GA=-GB-GC，

(56sinA)GA+(40sinB)GB+(35sinC)GC=056sinA(-GB-GC)+40sinB∙GB+35sinC∙GC=0

Λ(40sinB-56sinA)GB+(35sinC-56sinA)GC=O

40sinβ-56sinA=O

又GB与GC不共线，由平面基本定理得,

35SinC—56SinA=0'

,7

b=-a

5b=7a5

由正弦定理得,,即《

5c=Sa8

c=-a

5

由余弦定理得，CoSB=

2ac2a∙-

5

TT

又B为CABC的内角，.∙.8=§

故答案为：—

【点睛】关于ABC四心的向量关系式:

O是ABC的外心OlOAROBI=IoClOa√=OB1=OC:

。是二ABe的重心OoA+08+OC=O;

。是ABC的垂心=OA∙O8=O3∙OC=OC∙OA;

。是ABC的内心<=>4。4+/208+°0。=0.（其中以b、C为AfiC的三边）

【针对训练】

一、单选题

18.若。是平面上的定点，A,B,C是平面上不共线的三点，且满足。P=OC+2(CB+α)(4∈R),

则P点的轨迹一定过ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】由OP=OC+∕l(CB+C4)(ZleR),得到CP=∕l(C8+α),再根据C3+CA经过在ABC

的重心判断.

【详解】因为。尸=0C+∕l(CB+C4)(Λ∈∕?),

所以CP=∕l(CB+CA),

所以C8+C4在；ABC的边AB上的中线所在直线上，

则∕l(CB+CA)在一ABC的中线所在直线上，

所以尸点的轨迹一定过ABC的重心，

故选：C

19.若。是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线的三点，若点尸满足OP=丝上生+2APQ∈(0,

2

+⑼)，则点P的轨迹一定通过AABC的()

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】设BC的中点为O,通过向量的线性运算求得DPIIAP，由此判断出P的轨迹经过三角形ABC

的重心.

【详解】设线段3C的中点为。，则有Oo=；(OB+OC),

因此由已知得OP=Oo+%",即OP-OO="P,于是£＞尸=义”，则。P〃AP,

因此P点在直线A。上，又AZ)是AABC的BC边上的中线，

因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.

故选：C

A

20.已知。是平面内一定点，A8,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

/\

OP=OA+λ赢+向We（O，y）），则点尸的轨迹一定通过IABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点尸轨迹.

ABAC

【详解】因为E为AB方向上的单位向量，为AC方向上的单位向量，

MIAq

则」A巴Ki+」A£C的方向为NBAC的平分线AO的方向，

∖AB∖∖AC∖

ABACADAC

又2w(0,+∞),所以4——十-----—的方向与4的方向相同.

IlABl∣AC∣JIABlIAel

T,ABAC,ABAC

而OP=OA÷ΛU1-A-BlF+1I-A-CrIJ可得AλPd=λ［网---—∣∏A-C,∣J

所以点尸在A。上移动，所以点P的轨迹一定通过ABC的内心.

故选：B.

21.在SABC中，CB=a，CA=b,S,OP=OC+mr^--+rj-^—,meR,则点P的轨迹一定

MSinBWSinA

通过ABC的()

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

【答案】A

【分析】过C作C〃_LA8,交AB于77,取AB中点O,连接C£),所以WSinB=WSinA=ICM,根

据向量的线性运算法则，化简可得CP=2mCD,根据三角形的性质，分析即可得答案.

【详解】过C作C4_LA3,交AB于”，取AB中点。，连接C。，如图所示:

根据三角函数定义可得WSinB=WSinA=∖CH∖,

b

因为。P=OC+m

HSinB∣⅛∣sinA

即CP==Co

所以。P-OCI

，即ICHl，

即点尸的轨迹在中线CZ）上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心,

所以点尸的轨迹一定通过A8C的重心.

故选：A

二、多选题

（2022•重庆实验外国语学校高一期中）

22.对于给定的ABC,其外心为0,重心为G,垂心为H,内心为。，则下列结论正确的是（）

B.GAGB=GAGC=GBGC

2

C.HA+HB+HC=OD.若A、P、Q三点共线，则存在实数4使

ABAC)

AP=λ------------1------------

∖AB∖∖AC∖)

【答案】AD

【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、

C、D的结论.

121.2

【详解】解：对于A：给定的,ABC,其外心为。，^∖^AOAB=（AD+DO）AB=-AB^+DOAB=-AB',

故A正确；

对于B：由于点G为给定的.ABC的重心，i^GAGB-GAGC=GACB≠O,故B错误；

对于C：点”为给定的ΛBC的垂心，所以（A∕∕+HB）∙HC=A8∙HC=0,因为重心为G,则有

AG=^（AB+AC）,BG=^（BA+BC）,CG=^（CA+CB）,所以GA+G8+GC=O,若

HA+HB+HC=O＜则点”为重心，与题意矛盾，因为故C错误；

ABACABAC

对于D：由于点P在NA的平分线上，所以向和Xn6为单位向量，所以*∙+4•在-4的平分线

IABlIAq∣AB∣IAel

ABAC

上，所以存在实数/1使A尸="-------十———）,故D正确.

IABl∣AC∣

故选：AD.

（2022•广东・东莞市光明中学高一阶段练习）

23.点。在［A8C所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若。4+OB+OC=0,则点。是-ABe的重心.

ACABBCBA

B.若。A∙=OB=0,则点。是一ABC的内心.

IlACl∖AB∖)JBC∖~ΓBA∖,

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,则点。是：ABC的外心.

D.OA-OB=OBOCOCOA，则点。是，ABC的垂心.

【答案】