2024年九年级中考数学一轮复习讲义-方程（组）与不等式（组）

PAGE20PAGE1PAGE1编号：①学生姓名：年级：九年级辅导科目：思维拓展（高阶）授课日期及时段年月日:——:课题中考专题复习：方程（组）与不等式（组）教学内容一次方程（组）及其应用【知识梳理】1.方程：含有_________的等式叫做方程。能使方程两边_________的未知数的值叫做方程的解。2.等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是_________；（2）等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为零），所得结果仍是_________。3.一元一次方程：只含有_________未知数，并且未知数的次数是_________，这样的整式方程叫做一元一次方程。4.解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，验根。5.二元一次方程：含有_________未知数，并且含有未知数的项的次数都是_________，像这样的整式方程叫做二元一次方程。6.二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组，这个方程组中一共有两个未知数。7.解二元一次方程组的关键是消元，有_________消元法和_________消元法两种。8.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审，设，_________，解，验，_________。【例题精讲】考向1：方程（组）的解（2015•常州）已知x＝2是关于x的方程a（x+1）＝a+x的解，则a的值是．（2019·常州）若x=1y=2是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的解，则实数a=考向2：方程组的解例3．已知关于x，y的二元一次方程组．（1）解该方程组；（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，求代数式2b﹣4a的值．【变式3.1】若二元一次方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A．1 B．2 C．3 D．5考向3：一次方程（组）的实际应用例4．某商场销售羽毛球拍和乒乓球拍.（1）已知购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需60元，小明一共用400元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍.求羽毛球拍和乒乓球拍的单价；（2）小丽同学用420元购买羽毛球拍和乒乓球拍，乒乓球拍的数量比羽毛球拍的3倍还多2副，求小丽同学分别购买羽毛球拍和乒乓球拍多少副；（3）因产品进价发生变化，商场对售价进行调整，调整后，每副羽毛球拍的单价降低5%，每副乒乓球拍的单价上调10%，小红用388元购买的球拍总数与小丽同学一样，求小红同学分别购买羽毛球拍和乒乓球拍多少副.不等式（组）及其应用【知识梳理】1.不等式的概念：用不等号表示_________关系的式子，叫做不等式。2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，叫做这个不等式的_________。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做_________。3.不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向_________；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向_________；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向_________。4.一元一次不等式：一般地，不等式中只含有_________未知数，并且未知数的次数是_________，不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。5.解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，将含x项的系数化为_________。6.一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组（共含一个未知数）。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的_________。求不等式组的解集的过程，叫做_________。列一元一次不等式解决实际问题时，注意弄清楚“超过”“不超过”最多“最少”不大于“”不小于“等术语与不等号之间的关系。【例题精讲】考向1：不等式的性质例1．（2016•常州）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2考向2：不等式（组）的解例2．（2020•科尔沁区模拟）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8 B．m＜8 C．m≥8 D．m＞8考向3：在数轴上表示不等式（组）的解集例3．（2019•威海）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．考向4：解不等式组例4．（2020•温州模拟）关于x的不等式组的解集是（）A．x≥2 B．x＞5 C．﹣2≤x＜5 D．﹣2≤x＜3考向5：不等式的应用例5．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．7分式方程及其应用【知识梳理】1.分式方程的概念：分母中含有_________的方程叫做分式方程。2.解分式方程的基本思路：将分式方程转化为_________方程。它的一般解法步骤：（1）在方程的两边同时乘_________，约去分母，化成整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）验根:把整式方程的根代人最简公分母，使最简公分母为零的根是_________，必须舍去。在上述步骤中，去分母是关键，验根时只需代人_________。一般思路和做法：解完分式方程必须检验，可以把求出的整式方程的解代入原方程的左边和右边，如果_________相等，那么这个数就是原方程的解。3.列分式方程解决实际问题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，答题。【例题精讲】考向1：分式方程的化简例1．（2018•荆州）解分式方程﹣3＝时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）＝4 B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4 ﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4 D．1﹣3（2﹣x）＝4考向2：分式方程的解例2．（2018•张家界）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2考向3：分式方程的增根例3．（2019•巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为．考向4：解分式方程例4．解方程：（1）．（2）．考向5：分式方程的应用例5．（2019•苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝例6．（2019•常州）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？一元二次方程及其应用【知识梳理】1.一元二次方程：含有_________未知数，并且未知数的最高次数是_________的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2.一元二次方程的解法：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________。3.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，_________叫做一元二次方程根的判别式，通常用“△”来表示，即△=_________。（1）当△>0时，原方程有_________实数根；（2）当△=0时，原方程有_________实数根；（3）当△<0时，原方程_________实数根。4.根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么x1+x2=_________，x1x2=________。5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并且慢据其体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。6.列一元二次方程解决实际问题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，答题。【例题精讲】考向1：一元二次方程的定义（2017•曲靖一模）若关于x的方程（a﹣1）＝1是一元二次方程，则a的值是．考向2：配方法的应用例2．（2019•滨州）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3考向3：一元二次方程的解例3．（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1考向4：解一元二次方程例4．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．考向5：一元二次方程根的情况例5．（2019•盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定考向6：一元二次方程的应用例6．（2019•达州）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【基础过关】1．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（）A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky2．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A．230元 B．250元 C．270元 D．300元3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A． B． C． D．4．我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（）A． B． C． D．5．某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，697．用适当的方法解方程（1）x2+10x+21＝0（2）3x（x+1）＝3x+3（3）4x2+12x+9＝81（4）2x2﹣4x+1＝0．（5）x（x﹣8）＝16．8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+4＝0 C．x2﹣x+＝0 D．x2﹣3x＝09．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列方程为（）A．3000（1+x）＝3630 B．（1+x）2＝3630 C．3000（1+x）2＝3630 D．3000（1+x2）＝363010．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1011．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．612．解分式方程：（1）2＝；（2）＝1．13．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程．14．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时15．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元16．A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg，且A型机器人搬运100kg所用时间与B型机器人搬运80kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．17．甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？18．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．19．若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣420．某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8 B．6 C．7 D．921．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．22．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为．23．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则ab的值是．24．已知关于x的一元二次方程k2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根．【能力提升】1．母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种2．已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝﹣3，求a的值．3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×34．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或45．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元．（1）设销售单价降低了x元，用含x的代数式表示降价后每天可售出的个数是；（2）问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？6．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．7．若分式方程＝a无解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣28．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣569．已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为个．10．关于x的分式方程+2＝0的解为正数，则m的取值范围是．