第08讲：三角恒等变换 原卷版

第08讲：三角恒等变换【考点梳理】考点一：两角和差的三角函数公式考点二:二倍角公式考点三：降幂公式的化简求值问题考点四：辅助角公式的应用考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状考点七：三角恒等式变换中化简问题考点八：三角恒等变换综合问题【知识梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式考点五半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考点六辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【题型归纳】题型一：两角和差的三角函数公式1．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）求值（

）A． B． C． D．2．（2023上·江西上饶·高一校考期末）若，，则（

）A． B．C． D．3．（2023下·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（

）A． B．C． D．题型二:二倍角公式4．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知，且，则（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正确的是（

）A． B．C． D．题型三：降幂公式的化简求值问题7．（2021下·浙江·高一期末）已知则（

）A． B． C． D．8．（2020下·高一课时练习）函数是A．最大值是的奇函数 B．最大值是的偶函数C．最大值是的奇函数 D．最大值是的偶函数9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是题型四：辅助角公式的应用10．（2024上·全国·高一期末）已知，且，则的值域为（

）A． B． C． D．11．（2023下·广东佛山·高一校考期中）函数的最大值为（

）A． B． C．1 D．212．（2023下·江苏徐州·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．14．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知，，且满足，，则（

）A． B． C． D．15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（

）A． B． C． D．题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状16．（2023下·陕西西安·高一校考期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形17．（2022下·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，则△ABC为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形题型七：三角恒等式变换中化简问题19．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，则.20．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）已知函数，则该函数的最小正周期是；

当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为.21．（2024上·天津河西·高一统考期末）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值及取得最大值时自变量的集合；(3)求在的单调区间．题型八：三角恒等变换综合问题22．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围.23．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数的单调递减区间；(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.24．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的单调递减区间；(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.【强化精练】一、单选题25．（2024上·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（

）A． B． C． D．26．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知为第二象限角，且，则等于（

）A． B．1 C． D．727．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．或28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．29．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．30．（2024上·全国·高一期末）为了得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度31．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．32．（2023下·四川成都·高一统考期中）下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．33．（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）若函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称二、多选题34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．35．（2023上·河北邯郸·高一校考期末）已知函数，则（）A．函数的最大值为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递增36．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数的单调增区间为D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度37．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．点为函数图象的一个对称中心B．的取值范围为C．的一个单调递增区间为D．图象关于直线对称三、填空题38．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）已知，则.39．（2024上·湖南岳阳·高一统考期末）若，则的值为.40．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且，则.41．（2024上·重庆·高一统考期末）已知满足，则．42．（2024上·天津河北·高一统考期末）已知函数，将化成的形式为；函数在区间上的最小值是．四、解答题43．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，.(1)求的值；(2)求的值.44．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数的最大值为.(1)求的最小正周期和图象的对称轴；(2)当时，求使成立的取值范围.45．（2024上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已已知函数