第02讲 5.2导数的运算（原卷版）

第02讲5.2导数的运算课程标准学习目标①能根据定义求函数的导数。②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。1.掌握基本初等函数的求导；2.熟练掌握导数的运算公式；3.能准确应用公式计算函数的导数；4.会求简单的复合函数的导数；5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题..知识点01：基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点02：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即【即学即练1】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）知识点03：复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．【即学即练2】（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，则=.【答案】3【详解】由题意知，，所以.故答案为：3.知识点04：切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.【即学即练3】（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线在处的切线方程为．【答案】【详解】，则当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.【即学即练4】（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为.【答案】或【详解】设切点为，由可得，，由导数的几何意义可得，切线的斜率，因为，所以切线方程为，将点代入，得，即，得，解得或，当时，切点坐标为，相应的切线方程为；当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，所以切线方程为或.故答案为：或题型01导数公式与运算法则的简单应用【典例1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.(1)(2).【变式1】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．题型03解析式中含的导数问题【典例1】（2022下·吉林长春·高二统考期中）若，则等于（

）A．2 B．0 C．-2 D．-4【典例2】（2022下·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，是的导函数，则．【变式1】（2022·四川攀枝花·统考一模）已知函数，则（

）A． B． C．6 D．14【变式2】（2022下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知函数，则的值为．题型04求切线斜率【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都师范大学附属中学校考期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（

）A．1 B． C． D．【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（

）A．2 B． C． D．1【变式1】（2022上·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．题型05求切线方程（在型）【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是【变式1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是．【变式2】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为题型06求切线方程（过型）【典例1】（2023下·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程.【典例2】（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．【变式1】（2022上·山西·高三统考阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为．【变式2】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．(1)用导数的定义，求函数在处的导数；(2)过点作的切线，求切线方程．题型07利用相切关系求最小距离【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【典例2】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为.【变式1】（2023下·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为.【变式2】（2023上·高二课时练习）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C．1 D．25．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（

）A． B． C． D．6．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．7．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C．-2 D．8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（

）A． B．1 C．2 D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（

）A． B．C．＝ D．10．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（

）A． B． C． D．三、填空题11．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知函数，则.12．（2023·广东佛山·统考一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则.四、解答题13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.14．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.B能力提升1．（2023下·四川雅安·高二校