河北省保定市部分高中2023-2024学年高一年级上册12月期中考试 数学

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高一数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4,本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第五章5.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.命题“祗«1'2)，》”>3，，的否定是()

A.Bxe(l,2),x2+2X>3B.(l,2),x2+2r<3

C3xe(l,2),x2+2x<3D.VxG(l,2),x2+2X<3

2.设集合Z={x|x〉一3},3=卜产+2%<o},则()

A.A[}B=AB.A<JB=A

C.Au(^B)=AD,入低/)=R

3.在半径为10cm的圆上，有一条弧的长是5cm,则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（）

1712

A.-B.—C.—D.2

2271

4.已知/（x）是定义在［—2,6］上的减函数，且/（—2）〉0,/（-1）＞0,/（0）＞0,/（3）＜0,/（6）＜0,

则/（x）的零点可能为（）

A.—1.5B.—0.5C.2D.4

5.溶液酸碱度是通过计算pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg［H+］,其中［H+］表示溶液中氢离子的

浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度为2x10-7摩尔/升，取坨2=0.301,则该溶液的pH值为

()

A.7.201B.6.799C.7.301D.6.699

6.已知/(x)=("一1)，X<1在R上是增函数，则加的取值范围是(

)

Jog5"+2,x21

A.(2,4)B.(2,3)C.[3,4)D.(2,3]

7.已知函数/(2x—l)的定义域为(—1,9),则函数/(3x+l)的定义域为(

)

B.3,3)D.(-2,28

8.已知函数/(x)=0.32Z,设a=log34,6=log32,c=log9A，则()

A.B./(«)</(^)</(c)

C./(c)</(6)</(«)D./(6)</(c)</(a)

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设a为第二象限角，则2a可能是()

A第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

10.下列命题为真命题的是()

A,函数y=(啦-1产1是指数函数

B.幕函数/(x)=(2a2-7a+4)x"是增函数

C."/为偶数”是“广为偶数”的充分不必要条件

D.集合｛引1--1｝与集合｛吊j=|x|-l,xeR｝相等

11.已知/(x)是定义在12,2]上的函数，函数p(x)=[/(x)-log23][/(x)+l](-2<x<2)恰有5个零

点，则/(x)的大致图象可能是()

12.某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级x与

消费券面值V(元)的关系式为歹=2"+8+b(x=l,2,3,4),其中a/为常数，且。为整数.已知单张消费券

的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则()

A.消费券的等级越小，面值越大

B.单张消费券的最小面值为5元

C.消费券的等级越大，面值越大

D.单张消费券的最小面值为10元

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知函数/(x)=3a21+1(。>0且。w1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为.

14.函数/(x)=|x—7|+|x+7|(xeR)是(填入“偶''"奇”"非奇非偶”中的一个)函数.

15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：/(%)=.

①/(X)的定义域为(0,+力)；②函数y=在(0,+“)上是单调递减的对数函数.

X

41

16.已知工〉1/>0,且x+—=2,则——+y的最小值是________.

yx-1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(、)=--+ln(x+l).

2x

⑴求/(O)J(a+2)的值;

(2)求/(x)的定义域.

18.从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你

选的两个题的题号.

VctyjCl_21、

(I)已知7a~=a(a>I),求加的值;

(2)已知10“=3,3'=25,求21g2+而的值;

(3)求方程log收[炮(一-15x)]=2的解集.

19.已知函数/(x)=2x4*+4一、.

(1)求/(x)的最小值；

(2)证明：当x>0时，f(x)>2x+x+Tx

20.如图，在正方形/BCD中，4B=6m,/,G分别为的中点，E为N3边上更靠近点A的三

等分点，一个质点P从点尸出发(出发时刻/=0),沿着线段/CCD,OG作匀速运动，且速度v=lm/s,

(2)在质点尸从点厂运动到点G的过程中，求S关于运动时间/(单位：s)的函数表达式.

21.设。>0,且。彳1,/(%)=。2—「+1是定义在区上的奇函数，且/(x)不是常数函数.

(1)求。的值；

(),门、

(2)若/logjX-lnm对xe—,91恒成立，求加的取值范围.

22.已知函数/(X)的定义域(0,+"),且对任意国,马6。，当西</时，/(xi)-/(x2)>log2—

X2

恒成立，则称/(X)为。上的T函数.

(1)若定义在(0,+8)上的函数g(x)为减函数，判断g(x)是否为(0,+力)上的T函数，并说明理由；

(2)若〃x)为(0,+力)上的T函数,且"2)=5,求不等式/(2x)>log2(32x)的解集；

(3)若Mx)=(log2X+/)log2X为；,2上的T函数，求a的取值范围.

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注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4,本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第五章5.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.命题“祗«1'2)，》”>3，，的否定是()

A.3xe(l,2),x2+2x>3B.(l,2),x2+2r<3

C.3xe(l,2),x2+2¥<3D.Vxe(l,2),x2+2X<3

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题“心«1,2),炉+2工>3”的否定是：3XG(1,2),X2+2X<3.

故选：C

2.设集合Z={x|x〉一3},3=卜产+2%<o},则()

A.A[}B=AB.A<JB=A

C.Au(^B)=AD,入低/)=R

【答案】B

【解析】

【分析】确定3=卜卜2<%<0},再根据集合的运算法则依次计算得到答案.

【详解】8={x卜2+2x<0}={x卜2<x<0},

对选项A：Zc8={H—2<x<0}=5,错误；

对选项B：A＜JB=[X\X＞-3\=A,正确；

对选项C：a8=（—%―2]U[0,+8）,则ZU（、5）=R,错误；

对选项D：亳/=（一叫一3],5U（a，）=（—叫―3]U（—2,0）,错误；

故选：B

3.在半径为10cm的圆上，有一条弧的长是5cm,则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（）

1兀2

A.-B.—C.—D.2

22兀

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用弧长公式计算得到答案.

【详解】该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为

102

故选：A

4.已知/（x）是定义在[—2,6]上的减函数，且/（—2）〉0,/（-1）＞0,/（0）＞0,/（3）＜0,/⑹＜0,

则/（x）的零点可能为（）

A.-1.5B.-0.5C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性结合/（0）/（3）＜0得到答案.

【详解】/⑴是定义在[—2,6]上的减函数，M/（0）/（3）＜0,

所以/（x）的零点必在区间（0,3）内，所以/（x）的零点可能为2.

故选：C

5.溶液酸碱度是通过计算pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的

浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度为2x10-7摩尔/升，取坨2=0.301,则该溶液的pH值为

（）

A.7.201B.6.799C.7.301D.6.699

【答案】D

【解析】

【分析】由对数的运算性质运算即可.

【详解】因为溶液中氢离子的浓度为2x10-7摩尔/升，所以该溶液的pH值为

-lg（2xl0-7）=7-lg2=6.699.

故选：D.

6.已知/（x）=（"一1），X<1在R上是增函数，则加的取值范围是（）

log5_mx+2,x>l

A.（2,4）B.（2,3）C.[3,4）D.（2,3]

【答案】D

【解析】

m-1>1

【分析】根据分段函数单调性得到5-冽〉1,解得答案.

1

（m-l）<log5_„,l+2

【详解】=加T，X<1在R上是增函数，

log5_nix+2,x>l

m-1>1

则《5-m>1,解得加£(2,3].

(加-l)21og5_“J+2

故选：D.

7.已知函数/（2x—l）的定义域为（—1,9）,则函数/（3x+l）的定义域为（

B.D.(-2,28)

3'3)

【答案】B

【解析】

【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.

【详解】因为函数/（2x—l）的定义域为（—1,9）,即—l<x<9,所以—3<2x—1<17,

所以函数/（x）的定义域为（—3,17）,

一416，所以函数/（3x+l）的定义域为1—g，T

由一3<3x+1<17>得—<x<—

33

故选：B.

8.已知函数〃X)=0.32I2,设a=log34,6=log32,c=log9>/i?,则()

A.f(a)<f(c)<f(b)B./(o)</(Z))</(c)

C.f(c)<f(b)<f(a)D./(Z))</(c)</(«)

【答案】B

【解析】

【分析】确定/(x)=0.3212在(_*1)上单调递减，关于直线x=1对称，根据°+6<2得到/(a)</伍)，

b=log94>log9V15=c,得到大小关系.

【详解】/(x)=OB?**=0.3一(1)、，/(x)的图象关于直线》=1对称.

j=0.3"为减函数且M=2x-/在(—叫1)上单调递增，

所以/(x)=0.32x*在(—叫1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

因为a=log34〉l,b=log32<l,且。+6=10838<10839=2,所以/(a)</(b).

因为I>6=log32=log94>log9>/i^=c,所以[伍)</(c).

综上所述：/(«)</(6)</(c).

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设0为第二象限角，则2a可能是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】CD

【解析】

【分析】0为第二象限角，得到4E+7r<2a<4E+27r(AeZ),得到答案.

【详解】0为第二象限角，故2E+]<a<2E+M左eZ),

所以4hi+兀<2a<4E+2n(keZ),

所以2a可能是第三象限角，也可能是第四象限角，或了轴的负半轴.

故选：CD

10.下列命题为真命题的是()

A,函数y=(啦-1广1是指数函数

B.幕函数/(x)=(2a2-7a+4)x"是增函数

C."/为偶数”是“广为偶数”的充分不必要条件

D.集合｛x|1｝与集合｛y[j=|x|-l,xeR｝相等

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,结合指数函数的定义即可判断；对B,结合幕函数的定义及单调性即可；对C,结合充分不

必要条件判断；对D,结合集合相等判断.

【详解】因为(血-1)㈤不能化为"的形式，所以函数歹=(、历-1)'M不是指数函数，A错误.

若/'(x)=(2/—7a+4”是幕函数，则2a2—7a+4=l，得a=g或a=3,

则/(x)=4或/(x)=d,这两个函数在其定义域内都是增函数，B正确.

因为偶数与偶数的乘积为偶数，所以若f为偶数，则户为偶数，反之不成立，C正确.

因为歹=|x|—GT(当且仅当x=0时，等号成立)，

所以=3-l，xeR｝=[—1,+co),D正确.

故选：BCD

11.己知/(x)是定义在12,2]上的函数，函数0(x)=[〃x)—log23][/(x)+l](—2<x<2)恰有5个零

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合图象的交点、方程解的个数以及函数的零点之间关系进行判断

【详解】令0(x)=0,得/(x)=log23或=,

设直线y=log23与/(x)的图象的交点个数为加,直线y=-1与/(x)的图象的交点个数为〃，

依题意则有加+〃=5,又log23e(l,2),

对于选项A,m=n=3,则加+〃=6,不符合题意；

对于选项B,m=3,7?=2,则加+〃=5,符合题意；

对于选项C,m=3,77=2,则加+〃=5,符合题意；

对于选项D,m=l,n=4,则加+〃=5,符合题意.

故选：BCD

12.某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级工与

消费券面值7(元)的关系式为y=2网+8+b(x=l,2,3,4),其中为常数，且。为整数.已知单张消费券

的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则()

A.消费券的等级越小，面值越大

B.单张消费券的最小面值为5元

C.消费券的等级越大，面值越大

D,单张消费券的最小面值为10元

【答案】AB

【解析】

【分析】分a>0,a=0,a<0进行讨论，根据已知条件确定。，3的值，从而得出结论.

【详解】设a>0,则y=238+"x=l,2,3,4)为增函数，则等级4的消费券的面值为68元，

22“+8+6—20233

所以'24fl+8+人［68,两式相减得238—22*=48，则区"7—=«，令”22°(/〉1),则/—=而，

解得/=22。=>立，止匕时。不是整数，所以a>0不满足条件.

4

设。=0,则歹=2"+8+艇》=1,2,3,4)为常数函数，显然不满足条件.

设.<0,则^=238+6卜=1,2,3,4)为减函数，则等级1的消费券的面值为68元,

22a+8+6—2023

所以<2〃+8+b168’两式相减得2*—22*=48，贝U2“—(2〃y=正，令f=2°(0</<1),则

313

t2-t=——,解得/=2"=—或一，因为。为整数，所以。=-2,此时6=4,所以消费券的等级越小，面

1644

值越大，且单张消费券的最小面值为2-2X4+8+4=5元.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知函数/@)=3。2尸4+15>0且的图象恒过定点A,则点A的坐标为.

【答案】(2,4)

【解析】

【分析】考虑a°=l，可以解决这个问题.

【详解】令2x—4=0,得x=2,贝iJ/(2)=3+l=4,所以点A的坐标为(2,4).

故答案为：(2,4)

14.函数/(x)=|x—7|+|x+7|(xeR)是(填入“偶”“奇”"非奇非偶”中的一个)函数.

【答案】偶

【解析】

【分析】确定函数定义域为R,计算/(-x)=/(x),得到答案.

【详解】函数/(x)的定义域为R,/(-x)=|-x-7|+|-x+7|=|x+7|+|x-7|=/(%),

所以〃x)是偶函数.

故答案为：偶

15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：/(x)=.

①/(x)的定义域为(0,+力)；②函数了=/&1在(0,+s)上是单调递减的对数函数.

x

【答案】log2x(答案不唯一，形如logaX(a〉1)均可)

【解析】

【分析】利用对数函数的运算法则与性质即可得解.

【详解】因为函数y=/II在(0,+“)上是单调递减的对数函数，

X

注意到log/T=-xlogflx,所以可设/(x)=log”,

f(x-x\

止匕时y=---logax=log!X»

X7

因为函数y=在(0,+力)上单调递减，所以0<1<1,则。>1,

xa

所以/(x)=logax(«>1)满足这两个条件.

故答案为：log2x(答案不唯一，形如logaX(a〉1)均可).

41

16.已知x>1,j>0,且x+—=2,则--+y的最小值是

yx-1

【答案】9

【解析】

【分析】变换，+y=(x-展开利用均值不等式计算得到答案.

x—lIyAx-1)

44

【详解】x+—=2,所以x—1+—=1,

JJ

1(4V1A4「

--+v=x-l+——-+y=5+(x-l)j+-———>5+2V4-9,

IIy)\x-\)(x-l)j

4时,

当且仅当(x—i)y=,即(x—l)y=2,即x=±y=6等号成立.

(I》3'

所以y的最小值是9.

x—\

故答案为：9

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(%)=--一+ln(x+l).

2x

⑴求/(O),/(a+2)的值；

(2)求/(x)的定义域.

【答案】⑴/(0)=1,/(a+2)=—：+ln(a+3)

(^2)(-1,2)。(2,+co)

【解析】

【分析】(1)直接计算得到答案.

2—xw0

(2)函数定义域满足x+i〉。’解得答案.

【小问1详解】

/(0)=—+lnl=—,/(^+2)=--――-+ln(^+3)=+ln(<7+3).

222Ia+2)ci

【小问2详解】

函数/(%)=」一+In(x+1)定义域满足＜2—xw0

八，得%>-1且xw2,

2xx+1l>0

故/(x)的定义域为(一l,2)u(2,+s).

18.从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你

选的两个题的题号.

(1)已知一-2=伍〉1),求加的值;

(2)已知10"=3,3"=25,求21g2+而的值;

(3)求方程log4*——15X)]=2的解集.

【答案】(1)m=-3

(2)2

⑶{-5,20)

【解析】

【分析】(1)先化为分数指数幕，再根据指数塞的运算性质即可化简;

(2)由题意可得。=lg3,b=log325,再结合对数的运算性质即可求解;

(3)根据对数的定义可得——I5x=IO?,求解即可.

【小问1详解】

1

r口5

a"2

a4

所以加=一3.

【小问2详解】

因为10"=3,3,=25,所以。=lg3,b=log325,

所以的=lg3x詈=lg25,

坨3

所以21g2+ab=lg4+lg25=IglOO=2.

【小问3详解】

由log/I5x)]=2,^lg(x2-15x)=(V2)2=2,

则一—15x=l()2,解得工二一5或20,

所以方程loge[lg(X2-15X)]=2的解集为｛-5,20).

19.已知函数/(x)=2x4*+4r.

(1)求/(X)的最小值；

(2)证明：当x>0时，f(x)>2x+x+Tx

【答案】（1）272

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.

（2）计算/（x）—（2川+2-）=（2*—］卜2义：T,确定/（%）—伍+1+2-1〉0,得到证明.

【小问1详解】

/⑴=2x4、+4T>2A/2X4XX4-X=272，

当且仅当2x4、=4-，即42,，=15,即》=一1:时，等号成立，

所以/(x)的最小值为2g.

【小问2详解】

v+1xxx+1J;x

/(x)-(2+2^)=2x4+r-(2+2^)=2x(4-2)+^7-^r

(\1-2X/\2x2—1

—2x2xx12x-1)H--------—(2x-1)x-------------，

\/平\'4X

x>0,故2工〉1，即2'—1>0，2x；T〉（）,所以/（X）—（2向+2一,）>0,

即/（x）>2'+i+2r.

20.如图，在正方形45co中，AB=6m,尸,G分别为的中点，£为N5边上更靠近点A的三

等分点，一个质点P从点/出发（出发时刻/=0）,沿着线段下CC。,OG作匀速运动，且速度v=lm/s,

记的面积为Sn?.

（1）当质点P运动10s后，求S的值;

（2）在质点尸从点尸运动到点G的过程中，求S关于运动时间f（单位：s）的函数表达式.

【答案】（1）5=10

'6+2t,Q<t<3

（2）5=<12,3<r<9

30-2r,9<r<12

【解析】

【分析】（1）确定，尸在线段。G上，且P/=5m,计算面积得到答案.

（2）考虑0</<3,3<t<9,9</<12三种情况，计算面积得到答案.

【小问1详解】

一9

BE=4,FC+CD=9m,所以当质点尸运动到点。时，经过了丁=9s,

所以当质点P运动10s后，尸在线段。G上，且上4=6—（10—9）xl=5m,

所以S=J_X8EXPZ=LX4X5=10.

22

【小问2详解】

当0</<3时，5=—xBExPB=万义4*（3+/*1）=6+2/；

当3</«9时，S=-xBExBC=-x4x6=12；

22

当9<12时，S=；xBExPZ=；x4x[6—«—9）xl]=30—2九

6+2r,0<r<3

综上所述：5=^12,3<r<9

30-2r,9<r<12

21.设a>0,且awl,/(x)=a♦2X-ar+l是定义在R上的奇函数，且/(x)不是常数函数.

(1)求。的值；

；,91亘成立，求加的取值范围.

(2)若/log^-lnm+/(a-l)>0对

\3)J/

【答案】(1)a=2

⑵

【解析】

【分析】(1)直接由奇函数的性质求出参数。，并注意要检验此时的/(X)是否满足题意.

(2)首先由复合函数单调性、奇函数性质将不等式等价转换为logl'_m加〉T对XG9卜恒成立，分

313)

离参数以及结合对数函数单调性即可得解.

【小问1详解】

因为/(X)是奇函数，所以/(—1)=—/⑴，

即2a_。2=—(2a—1),解得a=耳或a=2.

当。=g时，/(x)=0不符合题意；

当a=2时，/(耳=2向―231满足/(_工)=2-£+1_2印=_(2向_2_+1)=_/(%),定