经济类专业学位联考综合能力数学基础线性代数模拟试卷11-真题(含答案与解析)-交互

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷11(总分52,做题时间90分钟)计算题1.

若D==d≠0，则D1==()．A

dB

2dC

4dD

8d

分值:2答案:D解析：在已知D=|aij|=d的条件下，通过行列式性质将D1还原为原行列式，即有D1故选D．2.

若n阶行列式Dn=＜0，则n为()．A

任意正整数B

奇数C

偶数D

4k－1或4k－2，k=1，2，…

分值:2答案:D解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有Dn=(－1)τ(n(n－1)…321)=(－1)[n(n－1)]／2，若Dn＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D．3.

设A，B均为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A－1－B|=2，则|A－B－1|=()．A

－3B

－2C

2D

3

分值:2答案:A解析：由矩阵与行列式的关系，有|A－1－B|=|A－1(E－AB)|=|A－1||E－AB|=2，|E－AB|=2|A|=6，从而有|A－B－1|=|AB－E||B－1|=(－1)3|E－AB||B－1|=－6×=－3．故选A．4.

设αj与βj分别是n阶矩阵A的第j行元素构成的行向量和第j列元素构成的列向量，ej是n阶单位矩阵E的第j列元素构成的列向量，则()．A

Aei=αjB

eja=αjC

Aej=βjD

ejA=βj

分值:2答案:C解析：选项C，依题设，A=(β1，β2，…，βn)，E=(e1，e2，…，en)，于是有A=AE=A(e1，e2，…，en)=(Ae1，Ae2，…，Aen)，即有Aej=βj(j=1，2，…，n)，故选C．选项A，由Am×n(ej)n×1知是n×1的矩阵，而αj是1×n的矩阵，显然两者不相等．选项B，D，ej是n×1的矩阵，A是n×n的矩阵，两者不能相乘．5.

设A为n阶矩阵，且满足4(A－E)2=(A+2E)2，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为()．A

4B

3C

2D

1

分值:2答案:B解析：将方程展开并整理为A2－4A=O，从而有A(A－4E)=O，推得|A||A－4E|=0．同理，有(A－E)(A－3E)=3E，推得|A－E||A－3E|≠0；(A－2E)2=4E，推得|A－2E|≠0．可以确定|A－E|≠0，|A－2E|≠0，|A－3E|≠0，即矩阵A－E，A－2E，A－3E必定可逆，但无法判断矩阵A是否可逆，故选B．6.

E2017(1，2)E2018(2，3)=()．A

B

C

D

分值:2答案:B解析：由于Em(i，j)因此有故选B．7.

设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是()．A

α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B

若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C

若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D

若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关

分值:2答案:B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．8.

设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=()．A

2B

3C

6D

8

分值:2答案:C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．9.

设α1，α2，α3，β均为4维向量，则下列结论正确的是()．A

若β不能被向量组α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β必线性无关B

若向量组α1，α2，α3，β线性相关，则β可以被向量组α1，α2，α3线性表示C

β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则可以被α1，α2，α3线性表示D

β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，则β可以被其任何一个部分向量组线性表示

分值:2答案:C解析：选项C，β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则必定可被整个向量组α1，α2，α3线性表示，故选C．选项A，α1，α2，α3可能是线性相关向量组，因此，α1，α2，α3，β可能线性相关．选项B，向量组α1，α2，α3，β线性相关，则其中必定有向量可以被其余向量线性表示，但这个向量未必是β．选项D，β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，但未必可以被其任何一个部分向量组线性表示．如向量β=(1，1，1，0)可以被α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，α3=(0，0，1，0)线性表示，但不能被其中任意两个向量线性表示．10.

设四元齐次线性方程组若该方程组仅有零解，则λ()．A

≠1B

≠－1C

≠±1D

可取任意实数

分值:2答案:C解析：方程组的系数矩阵为=1－λ4，又方程组仅有零解，从而知，λ≠±1．故选C．11.

设A为n(n＞2)阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则方程组Ax=0的基础解系含无关解的个数是()．A

nB

n－1C

1D

0

分值:2答案:C解析：根据n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩的关系，当r(A*)=1时，r(A)=n－1．因此，齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含无关解的个数为n－r(A)=1，故选C．12.

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若使齐次方程组ABx=0必有非零解，则()．A

n＞mB

n＜mC

n=mD

m，n大小关系不确定

分值:2答案:B解析：选项B，齐次方程组ABx=0必有非零解，即必须有r(AB)＜m．又由r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，知只有n＜m，才能确保r(AB)＜m成立，故选B同时也否定了选项D的正确性．选项A，若n＞m，则r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m，不能确保r(AB)＜m成立．选项C，类似地，n=m不能确保r(AB)＜m成立．13.

设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－3x1+3x2－5x3=0，若两个方程组有公共非零解，则a=()．A

2B

1C

－1D

－2

分值:2答案:D解析：两个方程组有公共非零解，即两个方程组的联立方程组有非零解，于是有解得a=－2，故选D．14.

计算行列式Dn=

分值:2答案:

正确答案：构造n+1阶加边行列式，有15.

设n维向量α=(1／2，0，…，0，1／2)，矩阵A=E－αTα，C=E+2αTα，计算|AC|．

分值:2答案:

正确答案：由题设，αTα解法1由AC=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αT(ααT)α=E，所以，|AC|=|E|=1．解法2将行列式|A|按第一行展开，得|A|=|E－αTα|类似地，有|C|=|E+2αTα|因此得|AC|=|A||C|=1．16.

设矩阵A=，矩阵B满足方程ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，求|B|．

分值:2答案:

正确答案：在方程两边右乘A，得ABA*A=2BA*A+A，由A*A=|A|E及|A|=3，方程简化为3AB=6B+A，因式分解化为(3A－6E)B=A，再两边取行列式，有|3A－6E||B|=|A|=3，于是由|3A－6E|==27，得|B|=3／|3A－6E|=1／9．17.

设αT=，β=(3，2，1)，A=αTβ，计算Am(m为正整数，且m≥3)．

分值:2答案:

正确答案：A=αTβ于是，由矩阵乘法的结合律，有Am=3m－1αTβ18.

已知矩阵A=，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是3阶单位矩阵，求X

分值:2答案:

正确答案：将方程整理，有AX(A－B)=BX(A－B)+E，得(A－B)X(A－B)=E．由于|A－E|==1≠0，可知A－B可逆，因此X=(A－B)－1(A－B)－1，其中，由得(A－B)－1故X=(A－B)－1(A－B)－119.

设A=BTCB．求A200．

分值:2答案:

正确答案：注意到B，C均为初等矩阵，且B=E(2，3)，C=E(13(－2))，故有BT=B－1=B，B2=E，Cm=E(13(－2m))，因此A200设向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，问：20.

α1能否被α2，α3线性表示，证明你的结论；

分值:2答案:

正确答案：α1可以被α2，α3线性表示．证明如下：因为α2，α3，α4线性无关，其部分组α2，α3也线性无关，又α1，α2，α3线性相关，于是，α1可以被α2，α3线性表示．21.

α4能否被α1，α2，α3线性表示，证明你的结论．

分值:2答案:

正确答案：α4不能被α1，α2，α3线性表示．证明如下：用反证法．假设α4可以被α1，α2，α3线性表示，即存在数k1，k2，k3，使得α4=k1α1+k2α2+k3α3，由(1)，α1可以被α2，α3线性表示，知α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关，与已知条件矛盾．故α4不能被α1，α2，α3线性表示．解析：讨论向量组的线性关系，要准确把握线性相关概念的含义．如α4可以被α1，α2，α3线性表示，即可写出α1，α2，α3线性表达式，在α1可以被α2，α3线性表示的条件下，可推得α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关．22.

求向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，－1)T，α3=(0，1，1)T的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示．

分值:2答案:

正确答案：解法1由(α1，α2，α3)T知α1，α2为其一个最大无关组，且α3=α1－α2．解法2设存在常数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，于是，由(α1，α2，α3)知α1，α2为其一个最大无关组，解得α3=α1－α2．23.

α1=，讨论a为何值时，(1)β不能被α1，α2，α3线性表示；(2)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；(3)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．

分值:2答案:

正确答案：设一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β，则有下面用两种解法求解．解法1先求系数行列式，即(1)当a=0时，对增广矩阵施以初等行变换，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．解法2直接由初等变换讨论，即(1)当a=0时，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．24.

设A=，求解线性方程组A